М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 20
Текст из файла (страница 20)
~=-~ ~ + (см. теорему 2), где знак «+» относится к случаю, когда точка с является нулем ((г), а знак « — » к случаю полюса. Отсюда видно, что вычет д(г) в точке с равен !-Ч!(с)п н, заменяя в соотношении (8) функцию ('(г)/((г) функцией д(г), получим: — ~ ~р(г) с(г = п!<р(а!) + ... + п!ср(а!)— ! ( (2) 2Л(,) ( (2) с — р,р(Ь,) — ... — р„,~(Ь.), ПЦ Полагая, в частности, ч!(2) = г, будем иметь 12 —.) г с(г=«т п«аА — 7 РАЬА.
2»и .) ( (2) .2Л (12) с 2=1 А=! Правая часть здесь представляет разность между суммой всех пулей и суммой всех полюсов функции ((г) в области О, причем каждый нуль или полюс входит в сухому столько раз, какой его порядок. Рассмотрим теперь вместо функции ((г) функцию д(г)= = ((г) — а, где а — фиксированное комплексное число; полюсы д(г) совпадают с полюсами ((г), а нули являются а-точками функции )(г), т. е.
точками, в которых ((г) принимает значение а. Если )(г) аналитична в области 0 всюду, кроме конечного числа полюсов, а па границе С этой области непрерывна и не ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ принимает значения а, причем ('(г) непрерывна на С, то к функции д(г) = ((г) — а применимы формулы (10) н ((2). Мы получаем тогда ю 2и! 3 (я) — а с(г 2и бс агк (! (г) — а) = ',~~ пе ~а~~ ре (13) с и=! е ! л! — „,. ) г, йг=~~) пеа — ~) реЬЫ Г (г) с з=! е=! где ан ая, ..., а! — а-точки функции ((г) в области О порядков*) соответственно п!, пе, ..., пь а Ь|, Ьь ..., Ь вЂ” ее полюсы порядков соответственно р!, ря, ..., ря,. Мы воспользуемся этими формуламн в гл, гг'П. 24.
бесконечно удаленная точка. До сих пор мы рассматривали лишь конечные точки плоскости комплексного переменного, однако для изучения некоторых вопросов полезно ввести и бесконечно удаленную точку. Это нагляднее всего сделать с помощью так называемой стереографической проекции плоскости г на сферу, касающуюся плоскости своим 2. юнсным полюсом. Такая зн проекция ставит в соответствие каждой точке г комплексной плоскости точку 7 сферы, которая получается 1 при пересечении сферы лу- чом, соединяющим г с сеРис. 28. верным полюсом сферы (рис.
28). Стереографическая проекция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между комплексной плоскостью и сферой с выколотым северным полюсом. Точки Л считают сферическими изображениями комплексных чисел г и саму сферу называют числовой. Чтобы распространить соответствие на всю сферу, на плоскости вводят условную бесконечно удаленнуго точку (комплексное число г= оо) и считают ее соответствующей северному полюсу сферы. Число г = оо не участвует в арифметических операциях, как обычные комплексные числа. Однако говорят, например, что последовательность (ги) сходится к бесконечно удаленной точке, !Пп г„= оо, если для любого М > 0 най- *) Порядком а-точки 1(з) называется порядок соответствующего нуля функции 1(г) — а, эг А Е ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ РЯДАМИ м1 дется номер и,, начиная с которого 1г ~ = М (выше мы так н делали в подобных случаях).
Эта терминология оправдывается тем, что стереографические проекции х. точек г, нашей последовательности в самом деле образуют последовательность, сходящуюся к северному полюсу сферы. Плоскость комплексного переменного с присоедннепной к ней бесконечно удаленной точкой называют полной комплексной плоскостью (плоскость без такой точки называют тогда открытой). Как мы видели, полная комплексная плоскость эквивалентна сфере, и для геометрических представлений понятий, связанных с бесконечно удаленной точкой, очень удобно прибегать к сферическому изображению комплексных чисел. Под окрестностшо бесконечно удаленной точки понимают круг на сфере с центром в ее северном полюсе, или, другими словами, совокупность точек г, удовлетворяющих неравенству 1е! ) )с (с присоединением бесконечно удаленной точки).
После введения этого понятия мы можем рассматривать области, содержащие бесконечно удаленную точку внутри нли на границе, т. е. неограниченные области. Определение порядка связности, данное в п. 3 для ограниченных областей, без всяких изменений переносится на неограниченные области (например,' окрестность точки г = ао с включением последней оказывается односвязной областью, а та же окрестность с исключением з = ФФ вЂ” двусвязной).
Также без всяких изменений распространяется на бесконечные еа и шз определение п. 5 предела функции с помощью окрестностей. Прн этом функция, стремящаяся к пределу шз = оо, называется бесконечно большой (см. п. 22, определение полюса). Пусть функция 1(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки г= РФ; понятие аналитичности в этой точке пока еще не определено). На такую функцию без всяких изменений распространяется определение особых точек из п. 22: говорят, что г = оо является устраннмой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции 1(г) в зависимости от того, конечен, бесконечен, или вовсе не существует 1нп 1(г). г-Э Однако критерии типа особой точки, связанные с разложением Лорана (теоремы 1 — 3 п. 22), изменятся, что видно из следующего рассуждения. Положим е = 1/Ь и тогда ф(ь) будет аналитической в некоторой окрестности точки ь = О.
последняя будет для ф(ь) особой точной того же типа, ГЛ. ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ что и г= оо для 1(г), нбо Иш !'(г)=!(ш~в©. Лорановское г-+ ~ с.+о разложение 1(г) в окрестности г= оо можно, очевидно, подучить простой заменой Ь = 11г в лорановском разложении ~р(~) в окрестности ь = О. Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива Теорем а 1.
В случае устранимой особенности в бесконечно удаленной точке лорановское разложение функции 7(г) в окрестности этой точки вовсе нс содержит положительных степеней г, в случае полюса содержит конечное их число, а в слу; чае существенной особенности — бесконечное. Если 1(г) имеет в точке г = оо устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности, и принимают ((оо) = !Пп )(г). В этом случае функция, очевидно, ограничена в некоторой окрестности точки г = оо. Пусть функция ((г) аналитична в полной плоскости. Из аналитичности функции в бесконечности следует ее ограниченность в окрестности этой точки; пусть )Г(г)1 ( М, при (г! ) Й.
С другой стороны, из аналитичности (а следовательно, непрерывности) 1(г) в замкнутом круге !г! ( )7 следует ее ограниченность в этом круге; пусть в нем )1(г)) ( Мь Но тогда функция ((г) ограничена во всей плоскости: для всех г имеем (1(г) (( М = шах(МН Мз) Таким образом, теореме Лиувилля (п. 17) можно придать следующую форму. Теорем а 2. Если функция 1(г) аналитична в полной плоскости г, то она постоянна. В заключение остановимся на понятии вычета в бесконечно удаленной точке, Пусть функция г(г) аналитична в некоторой окрестности точки г = оо (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают: где у- — достаточно большая окружность (г) — — - р, проходимая по часовой стрелке (так что окрестность точки г = оо остается слева так же, как и в случае конечной точки). Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффгщиенту при г — ' в лорановском ее разложении в окрестности точки г = оо, взятому с обратным знаком.
Наконец, легко получается Теорема 3. Если функция 1(г) имеет в полной плоскости «онечное число особых точек, то сумма всех ве вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. о о. НРедстАвление АИАлнтических Функции Рядкми 93 В самом деле, пусть аь ..., а„будут конечные особые точки функции ((г) и у — окружность (г(= р, содержащая их все внутри.
По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечности имеем: 2п',~ ~ ) 2 = гез((а,)+ ... + гез((а„)+ гез((оь), что и требовалось доказать. 25. Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции. Здесь мы рассмотрим вопрос об аналитическом продолжении функций и введем понятие многозначной гиалитической функции, обобщающее понятие аналитичности п. 5. Пусть две области 0о и О, без ,ф' общих точек имеют общий участок границы у (рис. 29) и в этих обла- ." в, »' стих заданы (однозначные) анали- ' » ~,»»г тпческие функции (о(г) и (~(г) соответственно. Будем говорить, что функция (, (г) является непосредо твенным аналитическим продолжением функции (о(г) в область 0ь Рис. 29.
если существует аналитическая в в области 0о+у+0~ функция ((г), равная (о(г) во всех точках О, и равная Г,(г) во всех точках 0Н ( (о(г) в 0о ' ~ ) (г) в 0 По теореме единственности (п. 20) при заданных областях 0, и О, и участке границы у аналитическое продолжение данной функции (о(г) (если оно возможно) определяется однозначно. Приведем одно простое достаточное условие для аналитического продолжения, так называемый принцип непрерывного продолжения: Теорем а 1. Пусть даны две односвязные области 0о и О, бгз общих точек, такие, что их границы имеют один общий кусок у, и в этих областях соответственно заданы аналитические функции (о(г) и (о(г). Если, кроме того, зги функции непрерывны в 0о+у и 01+ у и совпадают во всех тасках кривой у, то функция (,(г) является непосредственным аналитическим продолжением функции (о(г) в область 0ь ГЛ ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ 94 рв Доказательство основано на теоремах Мореры (п.
17) и Коши (п. 12). Действительно, в силу наших условий функция (() в О, )(г)= )о(г)=(!(г) на у, (2) 1(г) в О, непрерывна в области О = Р, + у+ О!, покажем, что ее интеграл по любому замкнутому контуру С, лежащему в О, равен нулю. Если С полностью принадлежит одной из областей Оо или О!, это является непосредственным следствием теоремы Коши. Если же С принадлежит О, и О!, то, обозначив через Со и С! части контура С, лежашие соответственно в О, н О!, через с — часть кривой у, лежашую внутри С (рис. 29), по теореме Коши (в обобщенной форме, см.
теорему 5 и. 12) будем иметь: ~)(г)с(г=О. ~ ~(г)де=О. Сгее С,+с Складывая эти равенства, мы получим: ~ Нг) дг+ ~ Пг) д = ~ Иг) д =9 С.+с с,+с- Отсюда по теореме Мореры заключаем, что функция 1(г) аналитична в области О, а это н означает, что 1!(г) является аналитическим пРодолжением )о(г). ТеоРема доказана. Коротко говоря, доказанная теорема означает, что если аналитическая функция является и е п р е р ы в н ы м продолжением аналитической же фУнкции )о(г) чеРез дУгУ У, то она ЯвлЯетсЯ., и аналитическим продолжением этой функции *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
