М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ОБЬЦИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ ь!1 т. е. модуль и аргумент ироизводнои 1'(г) означают соответственно коэффициент растяжения и угол поворота главной линейной части отображения иь = 1(г) в точке г или, иначе говоря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отображения и> = 1(г) в точке г. Рассуждения, которые мы провели в этом пункте, приводят к следующему заключению: Для того чтобы функция св =1(г) реализовала конфорльное отображение области О, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была !) Однолистной, 2) аналитической и 3) чтобы всюду в Е) производная 1'(г) была отличной ог нуля.
Заметим, что если 1'(го) = О, то в окрестности точки го тейлоРовское Разложение Разности 1(г) — юо имеет внд 1(г) — сво=сч(г — го) +со !(г — го) + (19) где п ) 2 и с„чь 0 (см. п. 20). Отсюда следует, что при малых !г — го) = г отображение, осуществляемое функцией 1(г), отличается на малые высшего порядка от отображения и> ~о=со(г го) . (20) Но отображение, обратное к (20), имеет в сво точку ветвления и-го порядка, т. е. отображение (20) неоднолистно в окрестности точки го. Следовательно, и отображение ьэ = 1(г) неоднолистно в окрестности г,. Таким образом, у с л о в и е 31 в только что приведенной формулировке можно о т б р о с и т ь, ибо оно следует из условия 1) (однолистиостн отображения).
Отметим также, что, обратно, условие 1'(го) Ф 0 обеспечивает однолистность отображения в достаточно малан окрестности точки го — это доказывается так >ке, как предыдущее . утверждение. Однако если условие )'(г) ФО выполняется в ка>кдой точке области хл, то отсюда еще не следует однолистности отобра>кения во всей этой области даже при условии ее одно- связности.
Например, в полукольце 1 с. (г( 2, 0 = агпг(я отображение иь = г', очевидно, неоднолистно, но в любой точке сь ю полукольца — = 4го ~ О. В заключение скажем несколько слов об отображениях, осуществляемых функциями однозначными, но неоднолистными в области О. В и. 26 мы видели, что каждая такая фуьисцня, се = !'(г) реализует взаимно-однозначное отображение области 1> на риманову поверхность Я обратной функции г = ср(иь).
Пусть точка Р поверхности й, лежащая над точкой иьо, отлична от точки ветвления, и пусть точке Р соответствует некоторая точка го области 1>. Это означает, что существует ветвь сро(г) многозначной функции ср(г) такая, что ср(иьо) = г,. В точке го 112 Гл. и конФОРмные ОтОБРхжения производная !'(гь) Ф О, ибо в противном случае, как видно из разложения (19), Р была бы точкой ветвления поверхности Я, Таким образом, функция !(г) реализует взаимно-однозначное отображение достаточно малой окрестности точки ве на окрестность точки 1вь, Это отображение будет, очевидно, конформным. Итак функиия !в = )(г), однозначная, но не однолистная в области 1), реализует отображение, конформное в достаточно малой окрестности каждой точки га, для которой !'(г,) чь О, Точки, где !'(г) = О, а также их образы на римановых поверхностях мы будем называть точками ветвления (например, функ- 1! 11 ция Жуковского !в = — (г + — ) имеет точки ветвления в г = !-1, 2 ! !в = з!пг — в точках г=(2й+ 1) —, у =О, -!- 1,...
). 2 ' 28. Основная задача. Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать различные конформные отображения, ею осуществляемые. Любая область !г, в которой эта функция однолнстна, с помощью этой функции конформно отображается на некоторую область 0". Таким образом, мы можем получать различные примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих данную функцию. Этой задачей мы, собственно говоря, уже занимались в 9 3 предыдущей главы, где все рассмотренные отображения были однолистными в соответствующих областях и осуществлялись аналитическими функциями, и были, следовательно, конформными. Однако для практических целей больший интерес представляет значительно более трудная обратная задача, так называемая Основная задача теории конформ н ых Отоб р а ж е н н й.
Заданы области !О и П"; требугтся построить функцию, осуществляю!цую конформное отображение одной из этих областей на другую. Так как для решения этой задачи ие существует достаточно простого алгоритма, то развитие теории конформных отображений идет в следующих направлениях: !) выясняются общие условия существования конформного отображения и его единственности; 2) Определяются различные частные классы областей, отображения которых можно осуществить при помощи комбинации элементарных функций; 3) с помощью общих свойств аналитических функций изучаются различные свойства конформных отображений в зависимости от вида отображаемых областей; 4) разрабатываются приближенные методы конформных отображений.
$ Ь ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ >>З Остановимся на первой из перечисленных проблем. Прежде всего ясно, что в том общем виде, в каком сформулирована выше основная задача конформного отображения, эта задача нсразрешима. Так, многосвязную область нельзя взаимно-однозначно и непрерывно отобразить на одиосвязиую. Ие останавливаясь на полном доказательстве, мы укажем на причины невозможности такого отображения. Предположим, что такое отображение многосвязной области 0 на односвязную облас~ь 0' существует. Возьмем в 0 замкнутую кривую С, содержащу1о внутри внешние или граничные точки 0 (такая кривая всегда существует).
Рассматриваемое отображение переведет С в замкнутую кривую С', лежащую в 0". Если внутри области 0* непрерывным образом стягивать кривую С' в какую-либо точку гсо из 0*, что в силу непрерывности отображения кривая С должна, оставаясь внутри области О, стягиваться непрерывным образом в некоторую точку О, что, очевидно, невозможно, так как внутри контура С лежат точки, не принадлежащие к 0. Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или открытую плоскость з на ограниченную область 0' плоскости и.
В самом деле, если бы существовало такое отображение, то функция и1 = 7(з), его реализующая, была бы аналитической во всей открытой плоскости и в то >ке время ограниченной, ибо все значения этой функции лежали бы в области 0', но тогда по теореме Лиувилля (п. 17) )(з) должна быть постоянной, что невозможно. Тем не менее, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, оказывается возможным конформно отобразить друг на друга и притом бесчисленным мнохсеством способов, а именно, можно добиться соответствия любых двух фиксированных точек и любых двух направлений в этих точках.
Иными словами, имеет место следующая, так называемая основная теорема теории конформных отображений: Т е о р е м а (Б. Р и м а и, 1881 г.). Каковы бы ни были односвязнь1е области 0 и 0* (с границами, состоящил>и более чем из одной точки) и как бы ни были заданы точки зо из 0 и во из 0" и действительное число ао, существует одно и только одно конфорнное отображение п1 =) (3) области 0 на область 0" такое, что 1 (зо) = п>о агц> (зо) = ио.
(2) Доказательство с у щ е с т в о в а н и я конформ ных отображений требует привлечения специального аппарата, выходящего за рамки этой книги, и мы его опускаем (см., например, Ш а ба т 114 Гл н. хонФОРмныв ОТОБРлження ~3), стр. 199 — 20б). Опираясь лишь на существование, докажем единственность конформного отображения прн заданных условиях нормировки (2). Рассмотрим сначала частный случай, когда области 0 н 0* — единичные круги )г)(1, )ю! 1, а за = юо= ссз = О. В этом случае мы должны показать, что если п1 =1(г) осуществляет конформное отображение круга (г((! на круг )п1((1, причем 1(0) = О и ('(0) Р О, то 1 (г) Рм г. Доказательство основано на лемме Шварца (п.
1Ь). Так как при (г! ( 1 имеем )1(г) ! ( 1, нбо ш = /(г) отображает круг )г! 1 на круг )ш)( 1, то по этой лемме !)(г) 1-! г !. Применяя то же рассуждение к функции, обратной к 1(г), получим: ! г ! Я Р (г) ! Следовательно, Ц(г) ! = !г!, и по той же лемме 1(г) = е"г. Так как по условию 1'(0) ) О, то а = 0 и 1(г) — = г. Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два конформных отображения В на 0'. ш =)1 (г), го= 12 (г), удовлетворяющих условиям ) (гс) =)з(га) =ш, ага(;(г,) = ага);(г,) = а,. Отобразим конформно круг )Ц 1 на область 0 с помощью функции г=1Р("); 1Р(0)=гм 1Р'(0) >О, а область 0" на круг )м! ( 1 с помонгью функпии га = ф (га); $ (гво) = О, агд ф'(шо) = — ае. Очевидно, функции а = г (ь) = ч" (1'1 (1Р (ь )) м = ~ з (ь) = ф Уз (1Р (ь))) осуществляют конформные отображения круга )~! 1 на круг (а)(1 с нормировкой г" 1 (О) = Р, (О) = О, агп Й (0) = агп Р1 (О) = О.
По доказанному выше, г1(~) = — га(Г), но тогда и )1(г) =(а(г), н единственность отображения доказана. зэ! $ ь овшиа положения. пРимеРы В заключение отметим обобщение теоремы Лиувилля (п. 17), которое является непосредственным следствием зеоремы Римана. Если функция и = Г'(г) аналитична в открытой плоскости и не принимает значений, лежащих на некоторой дуге у, то она постоянна. В самом деле, пусть ь> = ц>(а>) будет функция, реализующая конформное отображение внешности кривой у на внутренность единичного круга (она существует по теореме Римана и, конечно, не постоянна).
Рассмотрим сложную функцию ы = ~р[[(г)) = й(г); она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно, по теореме Лиувилля (п. 17) эта функция постоянна. По если (г(г) постоянна, то постоянна и функция [(г), что и требуется. В частности, например, )(г) постоянна, если она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на любой дуге в дополнительной полуплоскости).
29. Соответствие границ. Рассмотрим основные факты, относящиеся к соответствию границ, которое устанавливается при конформпом отображении областей, Для удобства введем па границе С области 0 действительный параметр з — длину дуги, отсчитываемую от некоторой фиксированной ~очки кривои С, так что на С будем иметь ь = ь(з). Если какая-либо функция 7(г) непрерывна в замкнутой области О, то мы положим на границе С этой области >'(ь) = >'(ь(з)) = ц> (з) и будем называть ц>(з) граничной функцией для функции !" (г). Приведем без доказательства теорем у о с о от ветс т ви и г р а н и ц (см. Г о л у з и и [б)). Т е о р е м а 1.
Пусть функция ш = ! (г) осуществляет конформное отображение областей 0 и 0". Тогда 1) если граница 0' не имеет бесконечиык ветвей, то [(г) непрерывна на границе области 0 и граничная функция и> = = [(~) = ~р(з) осуществляет непрерывное и взаимно однозначное соответствие границ областей 0 и 0'; 2) если границы 0 и 0* не содержат бгсконечиых ветвей и обладают в каждой точке непрерывной (следовательно, и ограниченной) кривизной, то граничная функция гр(з) непрерывно дифференцируема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
