М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При этом всюду предполагается, что кратные точки границы считаются столько раз, какова нх кратносгь; так, на рис. 39 точки двух берегов разреза сй и Не считаются различными (и этим берегам соответствуют различные отрезки с"й* и а>'е'), точки Ь' н )' — также (им тоже соответствуют различные точки ГЛ. И. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРЛЖЕНИЯ 116 Ь и !).
Если отбросить в первой части теоремы условие об отсутствии бесконечных ветвей границы 0*, то функция ~р(з) останется непрерывной во всех точках границы О, которые соответствуют конечным точкам. В точках же, которые соответствуют бесконечно удаленной точке границы 0' (их может быть несколько, если эта точка кратная), непрерывна функция 1/~р(з). л:с, ', Приведем еще, также д „',;;, " ':,, без доказательства, не- ! 1 )т, сколько более точных ро': с л:" ", 'ь~,;: и' зультатов, относящихся к 'те У ' $(1, ."' О" СУЩЕСтВОВаНИЮ ПРОИЗВОДгть, ной конформного отображения на границе области. Первый из ннх был Рис. 39.
получен К. Каратео- дори в !929 гг !) Если функция ти =1(г), ) (О) = О реализует конформное отображение верхней полуплоскости на область О, граница которой С в окрестности точки тв = О представляет собой непрерывную кривую, причем существуют окружности, проходящие через ю = О, одна из которых лежит целиком в 0, а другая— целиком вне 0, то при г — О по точкам верхней полуплоскости существуе~ 1!Гп — =1!Гп)'(г) = у, О <! у !< оо, Зтот результат в 1931 г, был усилен М. А. Л а в р е н т ь е в ы м и П. А. Бессоновым: 2) Если в окрестности точки щ = О граница С спрямляема "), лежит между кривыми о=.+! и!, О < а< 1 и 1пп — =1, 1+о и (з) и+О т где и(з) — абсцисса точки кривой С, расстояние которой вдоль С до точки ти = О равно гь то существует !пп — = у, О < у < оо. 1 (г) е.+о т >о Для практических целей достаточен результат О. К е л л ога.
Чтобы его сформулировать, условимся называть некоторую дугу дугой Ляпунова, если она спрямляема, имеет в каждой точке касательную н угол д наклона этой касательной с осью х ') То есть каждь~й ее отрезок имеет оиоеделенную длину. 5 Е ОБЩИЕ ПОЛОЖЕПНЯ. ПРИМЕРЫ как функция длины дуги з удовлетворяет условию Гельдера: ) О(з ) — О(з ) (( К! з, — з, ), где К вЂ” некоторая постоянная и О = а( 1.
Имеет место Теорема, Если функция иг =((г) реализует конформное отображение области 0, граница которой содержит дугу Ляпунова с, на область 0*, причем с преобразуется также в дугу Ляпунова с*, то на с производная )'(г) существует, не обращается в О и удовлетворяет условию Гельдера. Доказательство теоремы Келлога читатель может найти в.кииге Г.
М. Голузииа (б), стр. 468. Заметим еще, что условия нормировки (2) в основной теореме предыдущего пункта, содержащие три действительиых параметра хо, уо(хо+(уо= го) и ао, можно заменить условием соответствия трех пар граничных точек областей 0 и 0": ((га) = геа (я = 1, 2, 3), (1) взятых произвольно, ио с соблюдением порядка следования при обходе границ*).
Это утверждение мы докажем в и. 35. Для практики важен следующий в известном смысле обратиый теореме 1 принцип соответствия г р а яиц: Теорем а 2. Луста даны две односвязные области 0 и О* с границами С и С', причем область 0' ограничена. Если функ= ((г) 1) аналитична в Р, непрерывна в Р и 2) осуществляет взаилгно-однозначное отображение С на С" с сохранением направления обхода, то она осуществляет и (однолистное) конформное отображение области 0 на 0*. Для доказательства воспользуемся принципом аргумента из п.
23. Для любого комплеисиого значения геа, которое 1(г) пе принимает иа границе С области О, число иго-точек функции. 1(е) внутри 0 равно 1 )Ч (гео) = Я„Лс аг8 У (е) — ген), где бс ага Д(е) — що) есть полное изменение зги(((г) — во), когда г обходит контур С (см. формулу (13) п. 23; число полюсов 1(е) в области 0 равно О, ибо ((г) непрерывна). В силу взаимной однозначности и иепрерывиости соответствия между точками контуров С и С* имеем: йс ага (( (г) — иго) = Ьс* ага (щ — що).
") Условия (!) так же, как и условия (2) пр дыдушего пункта, содержат три действительных параметра, ибо положение точки на гранине области определяется одним параметром. ГЛ. СЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Но, очевидно, Ьс. агп(ги — гио) равно 2п для всех точек гпа, лежащих внутри С', и равно О для всех точек, лежащих вне С'.
Следовательно, для всех точек гпо, которые лежат внутри С", Лг(гпа) = 1, а для всех точек, лежащих вне С", М(ша) = О. Таким образом, функция сп = 1(г) принимает в 0 один и только один раз любое значение из 0' н не принимает никаких других значений, т. е, осуществляет однолистное отображение 0 на 0". Теорема доказана. В доказательстве нигде нс используется ограниченность области 0, Однако если область 0' не ограничена, т. е.
содергкит внутри себя *) или на границе бесконечно удаленную точку, то принцип нуждается в уточнении. Прехсде всего, при его формулировке мы должны отказаться от требования непрерывности 1(г) в О, ибо 1(г) перестает быль непрерывной в той точке, которая соответствует ю = оо. Но тогда без дополнительных ограничении этот принцип перестает быть справедливым. Например, функция ш = г' осуществляет непрерывное (кроме точки г = оо) и взаимно-однозначное соответствие точек оси х и оси и с сохранением направления обхода и, однако, не является однолиспсой в верхней полуплоскости. Действительно, при этом отображении верхняя полуплоскость, т.
е. угол раствора п, переходит в угол раствора Зп, который дважды перекрывает верхнюю полуплоскость (н еще один раз — нижнюю). Случай, когда область 0" неограниченная, важен для практики; мы сейчас подробно его рассмотрим. Имеют место две теоремы (мы сохраняем принятые выше обозначения и условие 2), налохсенное на функцию 1(г)). Теорема 3. Пусть область 0' годерэкит бесконечно удаленну~о точку анугри, тогда принцип соотоетствия границ сохраняет силу, если заменить условие 1) условием Г) 1'(г) непрерывна а 0 и аналитична в 0 всюду, кроме некоторой внутренней точки гю, в которой она имеет полюс первого порядка. Для доказательства мы снова воспользуемся принципом аргумента.
Согласно этому принципу для всякой точки гио, не лежащей па С*, число юе-точек функции 1(г) удовлетворяет соотношению Л1 (ги~) — 1 = — бс агд У (г) — гао) = — Лс" агц (ги — тио) ! 2к 2к (внутрн контура С' имеется в точности олин полюс первого порядка). *) Если область 0 содержит внутри точку а = со, то следует определить понятие нопформпостн в этой точке. Такое определение ьэоэкно получить, пе. реаоди с помощью стереографнческой проекции иа сферу комплелснык чисел. См. также п.
3Д где этот вопрос подробно раэбираетсн. 4 е ОБШие положепня, пРимеРы 119 Так как область 0' содержит бесконечно удаленную точку, то С' обходится по часовой стрелке, т. е. Лс агу(ш — ша) равно — 2п, если тва лежит внутри С', и О, если шо лежит вне С". Таким образом, й((тво) = 1 для всех внутренних точек области 0" и У(ша) = О для всех внешних точек, что н требовалось доказать. Следующая теорема относится к случаю областей, содержащих бесконечно удаленную точку на границе. Как показывает приведенный выше пример функции тв = га, для сохранения принципа соответствия границ в этом случае требуются дополнительные ограничения, Предположим сначала, что область 0' имеет лишь одну такую точку, т.
е. что гв = оо является простой точкой границы С*; предположим еще, что ветви С*, идущие в бесконечность, обладают асимптотамя'). Через рп (О < Р < 2) обозначим угол между этими асимптотами, измеряемый, как .с показано на рис. 40 (на этом рисунке отдельно изображены случаи Р=О н () = 2; заштриховано, как всегда, дополнение к области). Пусть точке Рнс. 40. ш=оо соответствует точка ~а контура С; мы обозначим через сап (О < а < 2) угол между касательными к контуру С в этой точке. Предположим, далее, что в окрестности Ьв функция 1(г) является бесконечно большой порядка 1к, т.
е. существует постоянная А Ф О, Фоо такая, что при г, стремяшемся к точке со, по точкам области 0 существует предел (пп (((г)(га — (а)") =А (и) О). (2) а-ась В рассматриваемом случае принцип соответствия границ непосредственно неприложим, ибо 1(г) обращается в бесконечность на контуре С. Оказывается, что для сохранения принципа нужно ввести ограничение на порядок р роста отобрансающей функции.
Именно, в принятых выше условлях н обозначениях имеет место Теорема 4. (Тринцип соответствия границ сохраняет силу„ если заменить условие !) условием ") Это условие является для бесконечно удаленной точки аналогом усло- вия кусочной гладкости. ГЛ. Н, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИИ 120 129 1") Функция ((г) аналитична в сг и непрерывна в )э всюду, «роме точки ~е, а в принадлежащей д) части окрестности этой точки является бесконечно большой порядка )с, причем ()+2 и Для доказательства вырежем из области Р круг )г — Ьэ( ( г малого радиуса с центром в точке Ье', дугу окружности этого нруга, принадлежащую Р, мы обозначим через у„ а часть контура С, оставшуюся после удаления круга — через С„ через С обозначим контур С, + у .
К области Р, ограниченной кривой С, принцип соответствия границ уже применим. Пусть шч — произвольная точка области Р". Так как ше конечно, а )(з) -г со при а -» ьэ, то радиус круга г можно выбрать столь малым, чтобы в выброшенной части области Р не было ии одной шмточкн функции 1(а), Тогда Л'(шэ) — число шэ-точек функции 1(а) в области Р— будет равно числу таких точек в области Р и по принципу аргумента получаем: 1 1 1 н(ш ) = — л- агй (Г (з) шю) = — лс + — л 2п с 2и г 2н (4) Лс — — Л агк (ш — ша) = (2 — 0) и + 0 (г), с„ (5) где С, — образ дуги С„а 0(г) обозначает величину, стремящуюся к нулю вместе с г (в дальнейшем, когда потребуется, будем употреблять этот символ, причем ои может обозначать нак действительные, так н комплексные величины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
