М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для подсчета второго слагаемого воспользуемся усчовнем (2), представив ((а) в окрестности точки Ье в виде ( (л) = (А + 0 (г)). 1 г ь)в Тогда можно утверждать, что Лт Лт ать. 4 + О (г) — ше ( гьэ)" =л агд (А+ 0 (г)) — рл аге (г — ьо), (г — ье)в г Г ибо величину шэ(а — ьа)и бесконечно малую при г-ьй, можно включить в символ 0(г). Так как А чь 0 и постоянно, то здесь первое слагаемое стреМнтея К 0 Прн Г-ьо; даЛЕЕ, ИЗ рИС. 40 ЯСНО, ЧтО Л атя(» — Ьа)= — ап+ г + О (г), следовательно, Л =при+ 0(г). (6) Г!одстаанв выРажения (5) и (6) в формулу (4), наидем Н(шэ) = 1 -(- ар — () + 2 + 0 (г), откуда при г 0 следует; Л' (ш,) = 1 + (т) ,Для подсчета первого слагаемого заметим, что когда точка а пробегает С„ .соответствующая точка ш пробе~ест в положительном направлекин всю кри- вую С', за иснлючением некоторой ее дуги, лежащей в малой окрестности точки ш = оь.
Поэтому э ! ОБШИП ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 121' Согласно принятему ограничению (3) на рост 1(х) имеем ан — р ( 2 н из ! фоРмУлы (7) полУчаем Л>(ше) (2; с дРУгой стоРоны, Л>(жэ) — (2 — Р+ 2 + ар) > О, таи наи у нас ан > 0 н Р ( 2. Но в отирытем интервале (0,2) лежит единственное целое число 1, следовательно, Л>(ше) = !. Мы доказали, чтн любое значение ю, из области 0* фуьиция 1(а) принимает в 0 один и только одно раз. Если точка юэ лежит вне области 0', то наши рассуждения полностью сохраняются, если в формулу (5) вместо (2 — Р) н подставить — Рн, и тогда вместо формулы (7) мы получим; Л> (юэ) = (а) поэтому в этом случае — 1 ( л1(ше)( ! и, следовательно, )т(жэ) = О, т.
е. фуиицня 1(а) в области 0 не принимает нв одного значении, не принадлежащего 0'. Таким образом, фуннцня ю = 1(а) реализует еднплнстное отображение 0 на 0', и теорема доказана. Заметим, что при условиях доказанной теоремы имеем р =- = а/р (зто видно из формулы (7) или (8)), т.
е. в окрестности точки ьэ (1 -+ О (г)). (х — и )В> (9) Пусть, в частности, и = р = 1, т. е. Ье и ш = ее не являются угловыми точками. Тогда неравенство (3) примет вид р (3. Таким образом, функция )(г) должна быть в окрестности точки ~е бесконечно большой порядка ни>не третьего. Пример с функцией и = гз, который мы приводили выше, показывает, что в рассматриваемом случае теорема точна, т.
е. бесконечность порядка 3 уже не обеспечивает однолистностн отображения. Отметим, наконец, такой факт. Если и = ео является кратной точкой контура С*, то для сохранения справедливости принципа соответствия границ достаточно потребовать, чтобы условие (3) выполнялось хотя бы для одной*) точки ье контура С, соответствующей точке н>=ее, Действительно, исключим окрестности всех точек Ьв, соответствующих точке гв = о, кружками ~г — сь) ( га (й ==- О, 1..., и — 1, где и — кратность точки и = ее), а оставшуюся область обозначим через Й.
Для любого значения и>„не лежащего на С* (и, следовательно, конечного), выбираем г„столь малыми, что число гве-точек функции )(г) в областях 0 и б одинаково. Устремим теперь г, к пулю, оставляя г, гю, г„, фиксированными. Здесь полностью применимо доказательство предыдущей теоремы, следовательно, Л((ше) =! для всех точек из 0' и Л((а>е) = О для ше, не принадлежащих к б*, а зто и требуется доказать.
*) Танах точек столько, какова иратность граня вой тонии ш = се длн области 0'. ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [за В следующем пункте мы приведем ряд примеров примене.ния принципа соответствия границ. 30. Примеры, !) Функция 4з (! + з)* 4ее 1 па границе единичного круга принилзает значения ю = (!+а ) соз' Ф 2 Следовательно, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между единичной окружностью и точками луча и ) 1, о = О. Это соответствие непрерывно всюду, кроме точки Сз = — 1, в окрестности иоторой — 4 (! -1- )з ' Здесь применима теорема 4 предыдущего пункта, ибо сз = 1, !) 2 и условие (3) выполнено.
Следовательно, функция (1) реализует однолистное Рис. 4!. коиформиое отображение круга )з) ( 1 на область, полученную из плоскости щ удалением луча и» 1, о = О. На рис. 4! изображены сетки кривых, соответствующие друг друту при рассматриваемол1 отображении; сетка кривык в плоскости ю ортогональна, нбо она является ионформным образом ортогональной сетки плоскости г (образованной окружностями (г) = сопз[ и их радкусами). 2) Рассмотрим более общий случай — функция » 2[» (2) ( » 1 1)2[» при»=1 совпадает с функцией предыдущего примера.
На единичной » е[Ф ! окружности она принимает значения ю )г 4 ( !»Ф 1 1)2[» (»Фт соз —, Отметим ка единичной окружности вершины правильного»-угольника! зз1 $ !. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 2я и ! !»-!)— ! !2»-!)— А» = е " и середины образованных нми дуг: В» = е (» = 1,. 2, ..., и) (рис. 42). Величина в соз —, убывает от 1 до О на дуге А,В, иФ 2 (условнмся считать на этой дуге а!ив=О); па дуге В,А, опа изменяется. от О до — 1 (иа этой дуге условимся считать агй ы = — я); на дуге А,В, от — 1 до О (по-прежнему считаем агй ы = — Я); на дУге В»А, от О до ! (считаем атем= — 2я) и т. д.
(рис. 42,б). В соответствии с этим нв Вг Н„ ~ ~о ! Ю/ йг в, — бг ~О Ю/ Рис. 42. участие А,В, модуль соответствующей точки в растет от 1 до со, а аргумент равен нулю; на участке В,А, модуль в убывает от со до 1, а ар)уиент равен 2я/и; на участке А,В, модуль в растет от 1 до со (по-прежнему 2я агйв=2я/и); на В,Аз модуль в убывает от ео до 1, агев=2 ° —, и т.
д. Таким образом, точка в пробегает последовательно и лучей! агеа=(й — !) —, (в))1 (»=!, 2, ..., и), 2я (Э) и ' причем каждый луч два раза в противоположных направлениях (рис 42, в). Образ окружности (2) = 1 при нап!ем отображении имеет в = чо своей и-кратной точкой, которой соответствуют точки окружности В» (» = 1, 2, ..., и). Так как каждая точка Вь является простым нулем для 2" -1-1, то в ее окрест- с» ности в ' где С» — некоторая постоянная. По принципу со- (2 — В»)2/д ' ответствия границ (теорема 4, в которой сейчас аь = 1, ))ь = 2/и) функция (2) реализует однолистное ионформиое отображение круга )з) ~! на плоскость в с и исключенными лучами (3).
3) Совершая дополнительное преобразование в = 1/в, плоскости»з, получим отображение (и ! !)2М в= —— ГЛ. 1Е КОНФОРМНЫГ ОТОБРАЖЕНИЯ ,41 б) Рис. 44. Рпс. 43. 4) Рассмотрим теперь единичный круг [а[ (! с выброшенными отрезками длины а: 1 — а ~< [ а [ ~ <1, агп а = (й — !) — (й = 1, 2, ..., и) (б) 2и (рис. 44,а). Тем же методоы, что и выше, легко проверить, что функция (зл ! 1)2/л г =1(2) = —, г— предыдущего примера отображает эту область иа внешность «звезды» с лучами длины 1 [(1 — а)л+ 1) (л 1+а=— (7) которая полобка звезде (5) (рис.
44, б). Преобразованием подобия г, = — ' -Т.4 а мы сделаем лучи звезды равными единице, и тогда функция ш=д(22)=[22 + г 22 — 1) „!2 тг л 127 (8) обратная к функции (4), преобразует внешность этой звезды на внутренность единичного круга. Таким образом, функция ~!!+а ~ ) (о) осуществляет конфорчное отображение единичного нруга с выброшенными п отрезками (6) па вн)трепность едш1нчпого круга.
единичного круга на внешность «звезды», состоящей из и лучей [ ш [ С 1, ага ы = (й — !) — (й = 1, 2, ..., а) 2а (5) и 17 11 (рис.43, вместо ш, мыснова пишем ш). При и = 2 получаем ш = — [а+ — ), 2 а т. е. отображение Жуковского (см. п. 7). зо) 4 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 125 Формула (9) в развернутом виде довольно громоздка, поэтому представляет интерес получение приближенной формулы, удобной для расчетов.
Ьудем считать величину а малой; тогда из (7), пренебрегая малыми порядка выше аэ, находим по формуле Тейлора 1 Г п (л — 1) а!21л па' а = — 12 — па+ 2 аа ~ (! + а+ а') — 1 = —. )~4 Аналогично находим, пренебрегая малыми порядка выше а, 1 Га" +1 уз!л аз= 1 (а) ьэ (1 а) 1+а 2зл/ н по формуле (8) ! "+! Г (ал+ !)э !'-'(л г ! + ал у --((- — ), +-у'-- — 1~ =х(1+а— 2злд 4ал ! ал Подставляя найденное выше значение а, получаем окончательно: (1О) Эта формуча пригодна длн точек, не слишком близких к точкам зл 11а-1)— Аа = е ". При а = 0 имеем ш = з, что и должно быть. 5) Рассмотрим функцию ш =а+ ех, Полагая а = х+ 1д; ш = и + 1о, имеем: и = х+е'сов д, о = д + е* з)п д, откуда следует, что на прямых д = ~п, ограничивающих полосу — л(д(п, име1ог т1есго соотношения и = х — е", о = -1-и, т.
е. что эти прямыс преобразуются в дважды проходимые лучи — о» ( и ( — 1, о = -1-и (функция и =. и — е" достигает максимума и = — 1 при х = О), Принцип соответствия грш1пц неприменим по непосредственный анллиз функции пояазываст, что ова осуществляет конформное отображение полосы — и ~ д ( и яа область, псглучаечую нз плоскости ш исключением двух лучей — со ( и ( — 1, с = ~п. !(з рнс.
45 изображено соответствие линий при этом отображении (привс. дены верхние половины областей, отображение нижних половин симметрично). 6) Показательная функция Ш=ех (12) отобраэкает параллельные наклонные прямые д = й(х — а,), д = й[х — аа) та (х-а ) (й Ф О, масс) в кривые ш =е ° е т (у= 1, 2), Вводя в плоскости ю полнрпыс координаты, ш = ре, получим р = е", 0 = й(х — ат), пли 1В р= рче вга (13) л гле Рт=с т (т==) 2).
Это — две подобные логаРифмнческне сппРати Если й(ат — а,) ( 2п, то длина вертикального отрезка мегкду прямымп в плоско. стн а меньше 2п н отображение одполистно в полосе пожду нпчв (сч п. 8). 5)снял а от а, до аг, убедимся в том, что показательная функппя осуществляет ГЛ. !! КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ )эо отображение этой полосы на полосу, эаключенную между логарифмичесиими спиралями (рис. 46). Если й(аз — а!) = 2и, то обе спирали совпадают и мы получаем отображение на нлоскость с выброшенной спиралью а ! 1 1 Рис. 45 При й(п,— а,) -» 2и отображение неоднолистно. 7) Фуницни 1 ю =1и 1 — а (14) ша границе единичного нруга принимает значении 1 1 и — !р ш=)п, 1и + ! —; 1 — ена 2; 'Р 2 % Е ОПШИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
ПРИМЕРЫ 301 127 полоагив м = и+ Рз и исключив параметр ф, оолущт уравнение образа единичной окружности; 1 и=1п 2 сов о ' Это — цепная ливня равного сопротивлении (рис 47). По принципу соответ- (16) Рис. 46. Рнс. 48. Рнс. 47. стана границ получим, что функция (14) осуществляет конформоое отображение единичного круга на внутренность этой кривой. 8) Функция аэ =аз, (16) илн в полярных координатах р = г', О = 2ф, переводит окружность г = сов ф в кардиоиду р = соэ' — = †, (1 + соа 8) е 2 2 (! 7) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
