М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Основываясь на теореме 1, мы несколько обобшим введен.- ное выше понятие непосредственного аналитического продолжения. Именно, допустим, что области Оо и О! имеют наряду с об-, шим участком границы у еще общие внутренние точки (рис. 30): и что в этих областях по-прежнему заданы аналитические функции го(г) и 1!(г). Мы будем тогда говорить, что )!(г) являетсгй непосредственныл! аналитическим продолжением )о(г) через дугу у, если (о(г) и )!(г) непрерывны в Ро+у и Р!+у и их!' значения на у совпадают.
Если Оо и О, не имеют общих внутренних точек, то это опре«, деление совпадает со старым. Если же Оо и О! имеют общие ') Аналогичная теорема в действительнои области неверна: если два функции )е(х) и й(х), дифференцируемые в смежных интервалах (а, Ь) и (Ь, сЦ непрерывны и совпадают в общей точке Ь этих интервалов, то функция 1(х)4 получаемая нх объединенном, может и не быть дифференцируемой на интерв вале (а, с) — ее график может иметь в Ь угловую точку.
ж! е з ппсдст«влгчип «н«литическнх оункциг! пяд«ми 95 точки (например, общую часть Ь' на рис. 30), то функция 1(г), определяемая по формуле (2), может быть двузначной в точках б', ибо ниоткуда не следует, что в точке г из 6' значения 1е(г) и 1«(г) должны совпадать. Таким образом, иторое определение продолжения более общее, чем первое. Еще несколько обобщим наше определение. Пусть дана цепочка односвязных областей Ое, .Оп ..., Оь, таких, что каждая пара соседних областей О„и 0«ь! имеет общий участок границы Рис. 3!.
Рпс. 30. у«,«+! (рис. 31), и пусть в каждой области 0« задана однозначная аналитическая функция !«(г). Будем говорить, что 1„(г) является аналитическим продолжением *) функции !о(г) в область 0„ через данную цепочку областей, если для любого й = О, 1, ..., и — 1 функции («(г) и )«+!(г) соответственно непрерывны в О«+ у«, «ь! и О«+! +у«,«е! и их значения на у«, «т! совпадают.
При и = 1 мы получаем предыдущее определение. Заметим, что и здесь при фиксированных Ое, Оь ..., О„и Уеь У!ъ Уи !,„аналитическое пРодолжение фУнкции (о(г) в область 0„(если оно возможно) определяется однозначно. При изменении же промежуточных звеньсв цепочки Ою или даже при замене какой-либо дуги у«,«ь, другой общей дугой у«,«„, границ областей 0«и 0«ь!, значение аналитического продолжения может измениться. Поясним сказанное простым примером. Пусть 0» и 0~ представляют собой верхнюю и нижнюю половины кольца 1 ( (г( < 2, для которых соответственно (сп г > О н 1ш г ( О, и 1«(г) — ветвь Г г, характеризуемая условием О ( ате г ( я.
Если принять в качестве ум отрезок ( — 2, — !), то аналитическое продолжение 1«(г) в 01 вполне определится как ветвь 1~г, для которой я ( зги г ( 2п (на тм значение аргумента должно меняться непрерывно). Если теперь, оставив без изменений 1«(г) и области О» и 0ь ') Уже без слова «непосредственное». ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ !2О заменить отрезок уо! отрезком уо!: (1, 2), то аналитическое продолжение !о(г) в О! определится как ветвь )' г, для которой — я ( зги г и (теперь зна.
чепия аргумента должны меняться непрерывно на отрезке ум). Эти продолженйя !о(г) и (!(г) различны, например, / зя . Зя! / я я1 о — ! 1,( — 1)=У е =е, (о( — !)=У е 2 =е (оин отличаются лишь знаком). Таким образом, значение аналитического продолжения действительно может измениться даже .тишь пря итмененик связывавших цепочку дуг. Пусть теперь !о(г), 0о, 0! и уо! имеют прежний смысл, позьлоем еще одно звено цепочки 02 = 0о, свЯзаицое с О! отРезком У!2! (1, 2); тогда аналитическое продолжение !2(г) определится как иетиь 1'г, для которой 2я с ате г ( Зп, и в любой точке г верхнего полукольца значения (о(г) и 1,(г) будут различными (отличаться знаком).
Мы видим, что когда области 0, и 0л налегают друг на друга, то в их общих точках значения фуикцчп и ее аналитического продолжения могут быть различными Введенное понятие аналитического продолжения позволяет ввести понятие полной аналитической функции (вообще говоря, миогозпа шой). Пусть в некоторой области 0о задана однозначная аналитическая функция (о(г).
Может случиться, что )о(г) не п р о долж а ем а ни через одну дугу границы С области О,. Например, пусть !)о — круг )г)( 1 и (.(.)=Х"-'. Функция (о(г) имеет особенность в точке г= 1, ибо для действительных г=х, как легко видеть, Вп! )о(х)= оо. В самом к-о\ деле, 1!Тп ~ хт =и, следовательно, для любого и найдется б) О к-о! а=! такое, что при х ) 1 — б имеем ~ ха > и — 1, а значит, и поз=! давно, (о(х) = ~ хз > и — !. Далее имеем; а=! ) (.) ="+ Х(гз)"=ге+ ~ (г) е=! откуда видно, что и в точках г= )тк1 (т. е. г = -1-1) имеются особенности. Аналогично, для любого натурального и (г) г2+ го 1 + г2" + ! (г2") 2" следовательно, и в точках г = )л 1, которые лежат в вершинах правильного 2ч-угольника, вписанного в окружность )г~ = 1, зм 4 б првдстхвлвнив хнхлитических Фрикции рядхми зт функция Гб(г) имеет особенности.
Таким образом, множество особых точек функции гб(г) всюду плотно на окружности )г) = 1 и 1б(г) действительно непродолжаема ни через какую дугу этой окружности. В таких случаях мы будем говорить, что контур С является естественной границей функции )б(г), стб будем называть областью существования этой функции, а саму функцию — полной аналитической функцией. Пусть теперь гб(г) продолжаема за пределы 0б. Рассмотрим всевозможные ее аналитические продолжения по всевозможным цепочкам областей.
Будем смотреть на значения всех таких продолжений как на значения одной функции 1(г). Такую функцию мы будем называть полной аналитической функцией, а однозначные аналитические функции, из которых она составлена (продолжения функции )б(г)) — ее ветвями. Область сз, получаемую объединением всех областей, составляющих цепочки, по которым совершаются аналитические продолжения, и дуг, вдоль которых смыкаются эти области, мы будем называть областью существования 1(г), Функцию 1(г) можно рассматривать и не во всей области существования, а лишь в ее части; тогда мы будем называть )(г) просто аналитической функцией.
Такое определение аналитической функции является обобщением определения п. 5, нбо оно допускает, очевидно, и многозначные функции. В дальнейшем, говоря об аналитической функции, мы будем понимать аналитичность в этом более общем смысле. Если же нужно будет подчеркнуть, что речь идет об аналитичности в смысле п. 5, мы будем говорить о б о д н о з н а ч н о й аналитической функции. Мы закончим изложение общего понятия аналитической функции описанием точек, в которых нарушается ее аналитичность — особых точек функции. Не нужно думать, что такие точки представляют собой нечто исключительное, патологическое, и потому мало интересное для приложении.
Напротив, особые точки представляют наибольший интерес при изучении аналитической функции, нбо в них, говоря описательно, заложена вся основная информация о функции. Читатель лучше оценит справедливость этого утверждения, когда он ознакомится, например, с главой Ч н увидит особые точки, так сказать, «в работе». Пока жс мы советуем вспомнить, что по теоремс Лиувилля (в формулировке п. 24) вс е аналитические функции, за исключением постоянных, имеют особые точки, а также вспомнить те уже довольно многочисленные места данной книги, где на основе изучения особых точек делались важные заключения о свойствах функции (теоремы п.
23, замечание в конце п. 19 и т. п.). Перейдем к точным определениям. 4 М х. Лаареитьеа и в. в. Шабат !м гл. !. основные понятия Точку а, принадлежащу!о области существования аналитической функции или ее границе, мы будем называть особой точкой функции 1(г), если в ней нарушается аналитичность хотя бы одной ветви функции !(г).*). Как и в п.
22, мы ограничимся рассмотрением особых точек простейшего вида — так называемых изолированных. Точка а называется изолированной особой точкой функции !(г), если существует такая окрестность О()г — а)( (с, что 1(г) продолжаема. вдоль любой цепочки областей, принадлежащих этой окрестности. Рассмотрим цепочку, составленную из областей 0п (й = 0„-~-1, -!-2, ...), представляющих собой кольца О < ()г — а( = тс, разрезанные вдоль некоторого радиуса, например агд(г — а) = О. Пусть !п(г) — ветвь )(г), однозначная и аналитичсская в каком-либо кольце .Оо с разрезом уп. Если значения !о(г) на обоих берегах разреза уо совпадают, то мы будем говорить, что а — особая точка однозначного характера для данной ветви (в этом случае по теореме единственности п.
20 аналитические продолжения ветви !о(г) в другие кольца О!, совпадают с !о(г)). Такие особые точки мы рассмотрели в п. 22. Если же значения !о(г) на берегах разреза не совпадают, то а называется особой точкой и!ногозначного характера или точкой ветвления. Здесь возможны два слу ча я: 1. Существует цепочка 0е, 0ь ..., 0„! колец, соединенных последовательно, например против часовой стрелки (т. е, нижний берег разреза на О, соединяется с верхним берегом разреза на 0ь нижний на О! — с верхним на 0т и т. д.), такая, что на оставшихся свободными берегах разрезов 0о и 0„! (верхний берег на 0о и нижний на 0 !) значения !о(г) н 1„! (х) совпадают. Тогда по теореме единственности п.
2О (п(г)=(о(г), (.н(г)— = 16(з), (т~-!(з)= — !. !(г), и вообще значениЯ гь(г) пРи к, изменЯюшемсЯ от — оо до оо, пеРиодически повторяют значения !о(г), )!(г), ..., 1„!(г), В этом случае мы будем говорить, что а — точка ветвления конечного порядка а. Если в рассматриваемом случае все ветви 1ь(г) при г- а стремятся к одному конечному или бесконечному пределу, то говорят, что а является алгебраической точкой ветвления. Та- *) Особая точка а может принадлежать области существования лишь в том случае, когда наряду с ветвью функции, имеющей в этой точке особенность, существурт ветвь, правильная в точке и. Такова, нэпример, точка и = ! для функции ю = !!(и и + !) — она является особой для той ветви функции, для которой У 1 = — 1 н правильной для другой ее ветви (для которой )г Т 1). Яя э 5 ИРедстАвление АИАлитических Функций РядАми 99 новы, например, точки г= О и г= оо для функции !(г)= кг и или 1(г)=1/"у~г.
Если же предел )А(г) при г- а не существует, то а .называют трансцендентной точкой ветвления. Такова, например, точка г = О для функции ((г) = е!!~ * (г = со является для нее алгебраической точкой ветвления). 2. Во всех кольцах РА цепочки значения функций различны. В этом случае а называют лоеарифл!ической точкой ветвления. Таковы, например, точки г = О н г = со для многозначной функции н! = 1.пг. Логарифмические точки ветвления относят к числу трансцендентных. В окрестности точки ветвления а конечного порядка и функция Г(г) допускает разложение в обобщенный степенной ряд; ! (г) = ~~'., сА(г — а) '".
(4) В самом деле, положим г — а = Ьи; тогда цепочке областей сз„ (у = О, 1, ..., п — !) в плоскости !, будет соответствовать цеи почка смежных секторов би кольца О <~ ь ~< р= 7 Й с центральными углами 2и/г!. Рассмотрим сложную функцию !р(ь) = =1(а+Ьи), причем в каждом секторе б, мы выбираем соответствующую ветвь г, функции 1. Функция ч!(ь), очевидно, непрерывно продолжается из йе в Л!, Ль ..., й !, и значения ее на свободных берегах разрезов Ли и б, ! совпадают. Поэтому точка ь = О является для этой функции изолированной особой точкой однозначного характера и, следовательно, !р(Г) представляется в окрестности ь = О рядом Лорана Подставляя сюда ь = (г — а), получим искомое разложе! /и ние (4). В случае алгебраической точки а разложение (4) содержит конечное число членов с отрицательными й (быть может, этн члены и вовсе отсутствуют), а в случае трансцендентной точки — бесконечное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
