М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 18
Текст из файла (страница 18)
22. Особые точки. Развитый в предыдущем пункте аппарат разложений Лорана позволит нам полностью изучить поведение аналитических функций в окрестности простейшего типа точек, в которых нарушается аналитичность этих функций — так называемых изолированных особых точек, Точка а называется изолированной особой точкой функции 1(г), если существует окрестность 0 ~ )г — а) ( )с этой точки (с исключенной точкой а), в которой 1(г) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет о точках, в окрестности которых функция о д н о з н а ч н а (условие однозначности включается в условие аналитичности функции, см.
п. 5). Об особых точках многозначного характера мы будем говорить в п. 25. Разлнча1от три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции 1(г) в их окрестности: 1) Точка а называется устранимой особой точкой, если существует конечный 1(т ) (г), а.+а 2) точка а называется полюсом, если 1(г) является бесконечно большой прн приближении к а, т. е. если существует 1пп)(г) = Во (это означает, что 11(г) ~ ОО при г- а) и, наа.+ а конец, 3) точка а называется существенно особой точкой, если 1пп ) (г) не существует. «.+а Изложим основные свойства функций, относящиеся к их особым точкам. Если а является изолированной особой точкой функции )(г), то по теореме ! предыдущего пункта эту функ- та! т Ь.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АИАЛИТИЧЕСКИХ ЕУИКПИП РЯДАМИ 79 цию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности 0 ()г — а)( !с: ! (г) = ... + ' " „ + ... + ' + сп + с,(г — а) + ... ... + с„ (г — а)" + ... (1) Это разложение имеет различный внд в зависимости от характера особой точки. Приведем три относящиеся сюда теоремы. Т с о р е м а 1 Для того чтобы а была устранимой особой точкой функции ! (г) необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение !(г) в окрестности точки а не содержало главной части.
Ясно, что если лорановское разложение !(г) не содержит главной части, т. е. 1(г) представляется степенным рядом 1(г) = со + с,(г — а) + ... + с„ (г — а)" + ..., (2) то существует конечный !!т 1(г)=со*) и а является устрани«.+а мой особой точкой. Пусть, обратно, а является устранимой особой точкой функ- ции 1(г). Тогда в силу того, что 1)ш 1(г) существует и конечен, «-»а функция )(г) ограничена в окрестности а; пусть !1(г) (( М. Воспользуемся неравенствами Коши из п.
2! ! сл ((Мр ", так как в них число р можно выбирать сколь угодно малым, то ясно, что все коэффициенты с„с отрицательными индексами равны нулю и лорановское разложение 1(г) не содержит главной части. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. По существу мы доказали более сильное утверждение: если функция 1(г) ограничена в окрестности изолированной особой точки а, то а является устранимой особой точкой этой функции. Название «устранимая особая точка», как теперь стало очевидно, оправдывается тем, что такую особую точку можно «устранить», полагая 1(а) =1!ш1(г) = со, .после этого функция «-+а 1(г) будет аналитической и в точке а, ибо во всем круге !г — а(( тх она будет представляться сходящимся степенным рядом (2) (см. теорему 4 п.
19). Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса а следует, что !(г) отлична от нуля в некоторой окрестности этого *) По теореме 4 п. )9 праваи часть !2) аналити ша в точне а = а, следовательно, она непрерывна и ее предел при а-ьа равен сумме рида в точие а, т. е. со. во гл ! основные понятия (гг 1(г) = " „+ ... + — '+ г сь(г — а)ь. (3) э=о Лри этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса. Пусть а является полюсом порядка п функции 1(г).
Тогда функция д(г) = Щ(г), д(а) = О, имеет в точке а нуль порядка и и согласно п. 20 в окрестности точки а представляется в виде д (г) =(г — а)" ф (г), где !р(г) аналитична и 4!(а) Ф О. В этой окрестности ( (г) = ! ! 1 д (г) (г ь) е (е) (4) Но функция 1/!р(г) аналитична в некоторой окрестности (г — а! ( )г точки а, следовательно, она разлагается там в ряд Тейлора — =с „+ с „.„,(г — а)+ ... + с,(г — а)" + ..., ч (г) ! где с „= ( ) Ф О.
Подставляя это разложение в формулу е (ч) (4), получим г!скомое разложение (3), справедливое в окрестности 0 ( )г — а! «.. Р. Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности 0( !г — а! < < 11 гочки а имеет место разложение (3), причем с „Ф О. полюса: 0 ((г — а) ~ К, где )г' ( )т'. В такой окрестности аналитична функция д(г) = Ц(г), для которой, очевидно, ! пп а (г) = О. Следовательно, по предыдущей теореме, а является «.+« устранимой особой точкой п(г) и, положив д(а) = О, мы получим, что а является нулем функции д(г).
Обратно, если а(г) имеет в точке а нуль (и не равна тождественно нулю), то функция ((г) = 1/й(г) по теореме 1 п. 20 аналитична в некоторой окрестности О « )г — а) ( )г точки а; очевидно, 1(г) имеет в точке а полюс. Таким образом, нули и полюсы аналитических функций весьма просто связаны друг с другом. Условимся еще называть порядком полюса а функции )(г) порядок нуля а функции й(г) = 1,7(г). Теорема 2. Для того чтобы точка а была полюсом функции 1(г), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения 1(г) в окрестности а содержала лишь конечное число членов: 4 з. представление аналитических итнкцнп пядями 81 Тогда функция >р(г) = (г — а) я)(г), ф(а) = с „, )г — а) ( »с представляется рядом Тейлора ср (г) = с „+ с а ю (г — а) + ..., т, е, аналитична.
Так как!пп<р(г) = с „Ф О, то в круте И)П ((г) =!Пи Ч ( ) „= оо «-+а «.+а (« 'г) и точка а является полюсом функции )'(г). Функция д(г) = 1 (а — а)" !(«) ч>(«) имеет, очевидно, в точке а нуль порядка и, следовательно, порядок полюса а равен и. Теорема доказана. Из доказанных теорем непосредственно вытекает Теорема 3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции Дг), когда главная часть лоранов- ского разложения последней в окрестности точки а содержит бесконечно много членов. Повеление функции в окрестности существенно особой точки выясняет следующая Т е о р е м а 4 (Ю.
В. С о х о ц к и й *), 1868 г.). Если а — существенно особая точка функцш> ) (г), то для любого кольчлексного числа А существует последовательность точек гь- а такая, гто Итп ) (га) = А. Ь +аг Прежде всего, существует последовательность г,- а, для которой !пп 1(г,) = о, ибо в противном случае ((г) была бы г>граниченной) в окрестности а и точка а была бы устранимой особой точкой (см. замечание к теореме !). Пусть теперь задано произвольное комплексное число А. Имеет место один пз двух случаев: 1) в л>обой окрестности точки а найдется точка г, в которой ((г) = А, тогда теорема Сохоцкого доказана, ибо из таких точек г можно построить последовательность гь- а, так что ,г(г,)=А, а значит, и )цп )" (га)=А, и 2) в некоторой окрестности точки а функция ((г) не принимает значения А.
Во втором случае в упомянутой окрестности аналитична „>>ункция д(г) = 1 ! (а) — '1„ Точка а не может быть для нее ни полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих случаях существовал бы конечный или бесконечный предел Итп ( (г) = г.+а *) Эта теорема обычно припвсывается Вейерштрассу, однако она была доказана в диссертации руссного математика Юлиана Васильевича С о а о цкого (1842 — 1929) и опубликована за 8 лет до появления работы Вейер.
п>трасса. Одиовреченно с Сохоцким теорему получил итальянский математая Ч>. Казорати. Гл. ! Огновиыс понятия 82 1 = !пп (А+ — 11. Следовательно, а является существенно осой (2) ) ' бой точкой функции д(2) и по доказанному существует после- ДОВатЕЛЬНОСтЬ га — а, ДЛЯ КОтОРОй ))Пт д(га) = оо. ДЛЯ ЭтОй последовательности, очевидно, !!гп)(22)= ))гп (А+ )=А, а.+» а.ь в й(2 ) и теорема Сохоцкого доказана. Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы этого пункта позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному (конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т.
е, стремится (по различным последовательностям) к л!обому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных сл часа быть не может. Приведем ряд примеров элементарных функций с особыми точками различных типов: 1) Функции 51п2 ! — е 1 — созе имеют в начале координат устрапимую особую точку. В этом проще всего убедиться, используя известные тейлоровские разложения (5) из п. !8 и теорему 1 этого пункта.
Например, имеем при любом 2 чь О З1П2 2 — =1 — — + — — ... 31 81 2) Функция 1(2) = имеет бесчисленное множество полюсов в точках 2 = Ф !' и (22+!) 1, й = О, гь(, ~2, „в которых знаменатель обра!цается в нуль (эти точки расположены на двух биссектрисах координатных углов). Все пол!осы — первого 1 м порядка, так как функция — =е + 1 имеет в них нули первого порядка 1 (2) 21 (ее производная 22е отлична от нуля в этих точках). 3) Функции 1 1 е, з!п —, соз— 2 имеют в начале ноордпнат существенно особую точку. В этом проще всего убедиться, подставляя 1/2 вместо 2 в тейлоровские разложения (б) из п.
!8 и пользуясь теоремой 3 этого пункта (например, прн любом 2 Ф О имеем Пз ! ! 1 е)2=1+ — + — — + ...). 2! 2' Проверим для примера справедливость теоремы Сохоцкого для первой ИЗ ЭтнХ фУНКЦИй. ДЛЯ А = со ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬЮ аа ВтОй ТЕОРЕМЫ МОжЕт тт! 4 Б. НРедстАВленне АнАлитических Функции РядАми 33 служить з = !сй, й = 1, 2, 3, ..., ибо, очевидно, Игп ! (а,) = !нп ей = ео; й й.+ чч й -ь для А = О можно принять а = — 1/й, й = 1, 2, 3, ..., ибо тогда !пп 1(а,) й -й — Нв е = О, наконец, для конечного А чь О берем я, = ! й.+ы (1п А+ 2йн!) ' й=о, 1, 2, ..., тОГда ИВ !'(ай) ИВ Е" + п(=А (1П ОЗиаЧаЕт КаКОЕ- й.+ чч й.+ ач ппбуд( значение логарифма).
4) Функция ! (з) = 1 еп' +1 нчеет в начале координат непзолнрованную особую точку, нбо ее полюсы 1 и " » (П . ~(. . ( ( з. и По характеру особых точек выделяют следующие два простейших класса однозначных аналитических функций: 1) Целые функции. Функция )(г) называется целой (или голоморфной), если она вовсе не имеет особых*) точек. . По теореме п. !8 можно утверждать, что всякая целая функции чь представляется степенным рядом ~~'.( с„г", сходящимся во п-и всей плоскости (и, обратно, всякая функция, представимая всюду сходящимся степенным рядом, является целой функцией).
Примерами целых функций являются все многочлены, показа' тельная функция, з)п г, соз г и др. Очевидно, сумма, разность и произведение целых функций суть снова целые функции, 2) Дробные функции. Функция !"(г) называется дробной (или мерой!Орфной), если она не имеет других особет!остей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в любой ограниченной области мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой области было бесконечно много полюсов, то сушествовала бы их последовательность, сходящаяся к некоторой точке а, которая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом. Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много.
Примерами мероморфных функций являются все целые функции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное дьух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональнаа фУнкциЯ )т(1(, )з, ..., 1„) от меРомоРфных фУнкций снова является функцией мероморфной. Подробнее о целых н мероморфных функциях см.
гл. Ч. *) Эдесь и в следующем определении речь идет о к о печи их точкак плоскости; мы не подчеркиваем зто в основном тексте, ибо понятие бесконечно удаленной точки мы вводим позже, в п. 24. гл. !. Основньп! Понятия 84 (2) Для се вывода достаточно умножить лорановское разложение на (а — а)", продифференцировать полученное равенство и — 1 раз и затем перейти к пределу при и — а (непосредственная подстановка г = а в выражение производной невозможна, ибо а— особая ~очка 1(г)). Для полюсов первого порядка формула (3) принимает особенно простой внд: гез 1(а) = 1пп((г — а)1(г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
