М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 13
Текст из файла (страница 13)
=2н!. (4) Г г)г 1 е!е1 с)р е!" !» 1=! о По формуле (3) г г — ) — + 2йн1, ,с !с, Рис. 22. где й — целое число, показынаюшее, сколько раз н н каком напранленпп про. ходится окружность (г( = ! н составе С (иа рис. 22 й = — 2). По теореме 4 предыдушего пункта — 1п г 1,', = !п г, ,с, где !и означает то значение логарифма, которое равно О н то 1ке г = — 1 н пепрерынно изменяется вдоль Сч.
Считая, что С вЂ” произнальный путь, и обозначая значение интеграла от !/г вдоль него через 1.п г, мы получим из (б): 1.п г = ~ — = !п г+ 2йн1. Г и'г ,с (7) Таким образом, мы вновь пришли к многозначной функции опг и аыясппли ее многозначность с новой точки зрения. Заметим в заключение, что теореме Коши предыдущего пункта можно придать нескотько иной смысл так, чтобы она оставалась справедливой и для многосвязных областей. Пусть ГЛ.
Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ !и функция 1(г) аналитична в многосвязной области Р, ограниченной кривыми Сь, Сь ..., С„(рис. 23), и непрерывна в Р. Проведем разрезы у!, ..., у, обращающие 0 в односвязную область 0*, и обозначим через С' границу этой области — кривую, состоящую из участков кривых С» и кривых у», причем последние проходятся дважды в противоположных направлениях (отмечены стрелками на рис. 23). Функция )(г) аналитична в односвязной области Р' и непрерывна в Р*; следовательно, по теореме 5 предыду!цего пункта и свойствам интегралов (9) и (10) и. 11. ) !(а) й = ) ! (г) да+ лт ) !( )й =0 с сл »=! с» (8) Пнс.
23. (интегралы вдоль у» взаимно сокращаются, а остальная часть л С* совпадает с ~л С»). При этом мы должны считать, что кри»=ь вые С, и С!, Сь ..., С„ проходятся так, чтобы область 0 оставалась все время с одной стороны (например, на рис. 23 — слева), Таким образом, для областей любой связности теорема Коши справедлива в следующей форме: Теорема. Если функция !(г) анал!Стична в области Р и непрерывна в О, то ее интеграл вдоль границы этой области, проходимой так, что область 0 все время остается с одной стороны, равен нул!о.
14. Формула Коши и теорема о среднем. Пусть функция 1(г) аналитична в и-связной области Р и непрерывна в Р. Покажем, что для любой внутренней точки г этой области имеет место так называемая формула Коши (!831 г.): 2еи .) ~ — з ( !(и лй с где С вЂ” граница области Р, проходимая так, что область 0 остается все время слева. Отметим, что в правую часть формулы Коши входят лишь значения 1(г) на границе С области Р. Таким образом, в принятых условиях значения функции внутри области вполне определяются ее значениями на границе: формула Коши позволяет вычислить значение функции в любой точке области, коль скоро известны граничные значения этой функции.
зз 4. нцтвгг14говм4ие ФУнкция !4! Для вывода формулы Коши мы выбросим из области 0 кружок радиуса г с центром в точке г и заметим, что в полученной (а+1)-связной области 0' числитель и знаменатель подынтегральной функции аналитнчны относительно переменной ~, причем знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, подынтегральная функция аналитична относительно ь в 0*; так как она непрерывна в 0", то по теореме Коши предыдущего пункта (формула (8)): где окружность у; проходится по часовой стрелке.
Отсюда сле. дует, что (2) 244 ! ( 1Г ) Г)ь 1ОО ( 1' 1" Г)ч1 1( 2л! .) й — 2 2л4,) ГГГУ ГЗ) На основании формул (2) и (3) имеем: (4) УГ оценим эту разность. Согласно неравенству (1)) п. Н 2 ' ) — ~2 ! ! 1 ГУ) — 1(2) 1 2лг У 2л Г = !пах) 1 Гг) — ( (г) ), откуда видно, что наша разность при уменьшении г может быть сделана сколь угодно малой. С другой стороны, как видно из левой части (4), эта разность не зависит от г.
Следовательно, рассматриваемая разность равна нулю и формула Коши доказана. где у„ проходится против часовой стрелки. На окружности у, имеем с — г = ге!У, поэтому, вынося за знак интеграла постоян- ный относительно ь множитель 1(г), найдем: ГЛ. 1 ОШ ЮВНЫЬ ПОНЯТИЯ 11а 56 Если, в частности, кривая С представляет собой окружность ~".— г) = й, то, полагая Ь вЂ” г = йесч мы получим из формулы Коши ьх ! (г) = — ~ ) (г + це14) с6р. о (5) Последняя формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций: Т е о р е м а.
Если функция 1(г) непрерывна в зал1кнутом круге и аналитична внутри этого круга, то ее значение в центре круга равно среднелсу арифметическолсу значениа" на окружности. 15, Принцип максимума и лемма Шварца. Сначала докажем одну простую лемму. Л е м м а. Если в некоторой области О: 1) постоянна дей'- ствительная часть аналитической функции !(г) или 2) постоянен ее модуль, го и сама эта функция постоянна. При условии !) утверждение вытекает непосредственно из ди дн уравнений Коши — Римана: у нас — =- — = О, следователь- дх ду вс дО но, в силу этих уравнений н — = — — = О. Отс1ода заключаем, вх ду что о, а значит и функция !(г), постоянна в области О Перейдем к доказательству .леммы при ' условии 2).
Пусть !!(г) (= М, где М вЂ” пе- г! с;: стоянная; для М = О утверждение леммы . С~~ г,, ' очевидно. Если же М Ф О, то мы рассмот- ~ г, с ' рим функцию !п)(г) =1п!((г) (+1аг5((г), которая в этом случае аналитична. Ее деиствительная часть постоянна (=!и М); следовательно, по уже доказанному, постоянна сама функция 1п!'(г), а значит, и Ряс.
х4. )(г). Лемма доказана. Докалсем теперь принцип 41аксимума людуля для аналитических функций. Т со р е м а, Если функция !" (г), не равная тождественно постояннои, аналитична в области 0 и непрерь1вна в О, то ее моду,гь не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области О. В силу свойств непрерывных функций (см.
п. 5) !!(г)( достигает своего максимума М внутри или на границе 0 (рис. 24). Предположим от противного, что ()(г) ( достигает значения М внутри О, и обозначим через 8' множество всех точек О, для которых !)(г) ! =М. Если сУ = О, то всюду в 0 имеем: ()(г) ! = 15! З с интегшп овлпив оюпшии бт = М, т. е, !1(г) ! постоянен. Отсюда по лемме следует, что и !(г) постоянна в О, а это противоречит условиям теоремы.
Если сз не совпадает с О, то существует граничная а) точка этого множества, которая является внутренней точкой О. В силу непрерывности 1(г) имеем )!'(го) ~ = М, нбо в любой окрестности го есть точки Ю. Построим окружность С: )г — го) = = г, принадлежащую области О, так чтобы на ней имелась хотя бы одна точка гь не принадлежащая множеству Ю' (это всегда можно сделать, ибо г,— граничная точка со ). Тогда )!(г1) ~ » ( М, н для любого достаточно малого е > О, в силу непрерывности 1(г), всегда можно указать такую содержащую точку г1 часть С, окружности С, на которой ,'1(г) )< М вЂ” е. Обозначим через Св оставшуюся часть окружности; на ней, очевидно, 1!" (г) )и М.
(2) По теореме о среднем имеем; где дз = г дср — элемент длины окрумсности С. Переходя в соотношении (3) к абсолютным величинам и учитывая неравенства (!) и (2), получим: М = ! ) (го )» (— ((М вЂ” ) 1, + М1~) = М вЂ” —,', где соответственно !! и 15 — длины С! и Са (!! + !т = 2пг). 11о последнее неравенство невозможно, чем и доказывается паш принцип. 3 а м е ч а н и е.
Если функция )(г) не постояннп, аналитична в О и непрерывна в О и, кроме того, не обраи(пегов в О, го и минимум ))(г) ! не может достигптося внутри О. Для доказательства этого достаточно применить принцип максимума к функции д(г) = !))'(г). Из принципа максимума модуля вытекает полезная для дальнейших приложений Л е м м а (Г. Ш в а р ц **) ). Если функция ! (г) аналитична в круге )г) ( ! и непреро1вна и замкнутом круге, причем )(0) = = О, и если всюду в круге ))(г) ~ ( 1, то в том же круге 1((г) !»»! г !. (4) *) Граничные и внутренние точки длн ннонсестна определн1отсн так 1не, наи длн области (см.
и. 3). **) Герман Амандус ш в а р д (!843 — !92!) — неменннй 51атематии. Гл. ь ОснОВные НОнятия НВ При этом если хотя бы в одной внутренней точке круга )1(г) (=1г(, то последнее равенство имеет место во всем круге и 1(г) = еыг (б) где а — действительная постоянная. Для доказательства рассмотрим функцию 1 1(г) ф(г) = 1 г(о) при г =Ф= О, при г=О. Из условий леммы следует, что ф(г) аналитична в кольце 0 < )г) < 1 и непрерывна в замкнутом круге !г)< 1 (непрерывность в точке г = 0 следует из того, что 1нп ф(г) =!пп - =1'(0)). г.+ь г.+а В п.
22 будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность ф(г) в точке г = 0; таким образом, к ф(г) применим принцип максимума модуля. Так как на окружности )г(= 1 имеем (ф(г))=! (<1, то по этому принципу и всюду в круге ! !В) )ф(г) ! <1, т. е. 11(г) (<!г!. Первая часть леммы доказана. Если теперь в какой-либо внутренней точке )!" (гь) ! = (гь), то в этой точке /ф(г,) ! = 1, но тогда по принципу максимума (ф(г)! — = 1 во всех точАу ках круга и по лемме из начала пункта ф(г) постоянна. Так как (ф(г) ( = г, й .- ' -„ь ':, = 1, то зту постоянную ' г ' ', ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
