М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 11
Текст из файла (страница 11)
10. Общая степенная функция ге = г', где а = а + 1О— произвольное комплексное число, о п р е д е л я е т с я соотноше- нием га — Еа ьи и Полагая здесь г = ге1ч, получим 1.п г = 1пг+1(1р+ 2йл) и, следовательно, га — Еа 1и л-В !Чл2ал1Е! !а Орлзил1+З !и и! (2) где е — произвольное целое число. Отсюда видно, что прн (1ФО функция г' всегда имеет бесконечно много значений, лежащих (прн фиксированных г н а) на окружностях )ге) = рл с радиу- сами рл=еаыи — вче-ыла (й 0 .+! .+2 ) (3) образующими геометрическую бесконечную в обе стороны прогрессию со знаменателем е-2ла.
Аргументы этих значений Ол — — а1р + О! п г + 2йпа (4) образуют также бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию с разностью 2пи. При 0 = О, т. е. при действительных а, значения г' располагаются на окружности ~ге~ = е""" = г', а их аргументы суть Ол = а1р + 2йаа. (5) Если а = р/д — рациональное число (мы считаем дробь р/а несократимой), то все значения Ол будут отличаться от а нз э!их значений (например, Ои, 01, ..., 0,,) на целое кратное 2п. Сле- агс1О г = агйг= аг1Ь г = —, — агсс1д !п(г+ )/гз ! !+2 2 1 — 2 ' г = —,, — 1!п(г+ у' г2 — 1). ! !+12 г = —.!п 21 ! — 12 ' + 1), агс1! г =!и (г + !/г2 — !), агс111 г = — 1п ! 2+! е интеггияовхннв Фгнкции ш довательно, в этом случае функция ш = г~ конечнозначна и совпадает с функцией г' ге: го!о ) тге (6) Если же а — иррациональное действительное число, то среди значений О„в формуле (5) нет отличаюшихся на целое кратное 2п и, следовательно, функция г" = е' ""' бесконечнозначна.
Многозначность общей степенной функции, как и тех элементарных функций, которые мы рассматривали выше, обусловлена многозначностью аргумента. Способы выделения ее однозначных ветвей прежние; точкой ветвления служит г = О. Наряду с общей степеннои функцией (1) можно рассматривать общую показательную 4ункг1ию аг еяьоа ег1о~ю, ег~лгка (7) В отличие от функции (1) функция (7) представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функций, отличаюшихся множителями е'""", где й — целое число.
й 4. Интегрирование функций комплексного переменного Здесь мы рассмотрим понятие интеграла от функций комплексного переменного и важнейшие свойства аналитических функций, связанные с понятием интеграла или опирающиеся на него. В частности, будет, например, установлена равносильность понятий об аналитической функции, как о функции, диффереицируемой в каждой точке области определения, и как о функции, интеграл от которой не зависит от пути (см.
теорему 1 п. 12 и теорему 3 п. 17). Это дает новую концепцию в построении теории аналитических функций. Приложения понятия интеграла и теорем, на нем основанных, мы рассмотрим в следующих главах. 11. Интеграл от функции комплексного переменного. Пусть задана некоторая ориентированная кривая С и на ней — функция комплексного переменного )(г). По определению интегралоти от ) (г) вдоль С называют и-1 1пп ~ 1(ьо) (гон — о) = )Г 1(г)г(г, „„„и о=о с где го = а, гь ..., г„+, — — Ь вЂ” последовательные точки, разбивающие С на и участков, через а и Ь обозначены концы С, то— произвольная точка, лежащая на участке [го, гь4 кривой С, и предел берется в предположении, что тах1гое~ — го~- О.
Гл. ! ОснОВные понятия н!' Если С вЂ” кусочно-гладкая кривая, а 7"(г) — кусочно-непре- рывная и ограниченная функция, то интеграл (1) все~да суще- ствует. Доказательство сводится к известной из анализа тео- реме существования криволинейного интеграла от функций дей- ствительного переменного'"). В самом деле, пологкнв 7 (г) = и(х, у) + !'о (х, у), гь = хл + (уь, хее ! — хе = Лхь, уье! — уь = Луь, (2) йл = йь + зз1ь, и (Вь, т1ь) = ил, о (Ьь, т1л) = оь, (5) ~1(г) (г= ~ 1(.
(1))'(1) (С ') См. Ф их те и гол ь а, т. !П, стр. 27 или С иври ов, т. П, стр. 206 и сл. Здесь и в дальнейшем мы ссылаемся на курсы, указанные в предисловии. получим: ь †! 1" Яь) (гь,ы — г,) = а=о л — ! ~1-! = ~ (иь Лхь — оь Лул) + ! ~~а (ил Луь + оь Лхь). (3) л=.о ь=-О Суммы в правой части формулы (3) являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов В наших условиях эти интегралы существуют и, следовательно, существует ) ! (г) с! г = ) и с(х — о ау + ! ) и агу -1- о с(х.
с с с С помощью формулы (4) вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению действитель- ных интегралов. Применяя введенные определения, легко видеть, что произ- водная и интеграл от комплексной функции действитель- ного переменного и!(7)= р(1)+!ар(1) представляются следую- шими линейш!ми комбинациями: щ' (1) = р' (1) + зф' (7), Р ) и (У) Й = ~ !р (7) с(1 + !' ~ тр (Е) сй. (6) п а а Пусть г = г(1) = х(1) + ьу(!) дает параметрическое представ- ление кривой С, причем г(а) = а, г(р) = Ь; тогда, пользуясь формулой (4), мы сведем вычисление интеграла от 7(г) вдоль С к вычислению интеграла от комплексной функции действи- тельного переменного; з 4 нт!т!!ГРР!Ровлние Функс!ин 45 Из формулы (4) вытекает также, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов; ~ (а) (г) + Ьд (г)) !(г = а )т ((г) дг + Ь )т у (г) с(г, с с с Г ~() = 1)() + ~'((.) ., с,ч-с, с, с, ~ ((г) дг = — ~ !" (г) Ыг (8) (9) (10) (а и Ь вЂ” комплексные постоянные, через С, + Сз обозначена кривая, состоящая из С! и См через С- — кривая, совпадающая с С, но проходимая в противоположном направлении).
Докажем еще одно свойство интеграла: Пусть М = гпах~)(г) ~ но кривой С и 1 — длина С, тогда ~ ! (г) с(г ~ < ~ ! ! (г) ! ! с(г ! < М1. с ! с (1! ) Доказательство вытекает непосредственно из определения инте- трала. В самом деле, имеем: ! к — ! и-! а-! Х ! (ьь) бгь~~ Х !1(ьь) !! Лгь 1-= М Х ! Лг, 1, к=о я=о к=о имеет одно и то эке значение. где ~„! Лг„! — длина ломаной гьг, ... г„, вписанной в криь=о вую С, и в пределе при !пах! Лгь 1-+0 получаем (11).
12. Теорема Коши. В общем случае ) !'(г) дг зависит как с от подынтегральной функции )(г), так и от кривой С. Однако, если функция 1(г) аналитична в некоторой односвязной области, содержащей кривую С, то интеграл полностью определяется положением концов С и не зависит от вида этой линни. Иными словами, имеет место Теорема 1 (О. Коши, 1825 г.). Если функция !(г) аналитична в односвязной области Р, то для всех кривых С, лежаи1их в этой области и имегощих общие концы, интеграл )' 1(г) !(г с Гл ! ОснОВные пОпятия пн ~ 1(г) с(г = ~ и с(х — о агу + !' ) и с]у + о игх (1) (см. формулу (4) предыдущего пункта) вопрос о независимости интеграла ~1(г) с(г от пути сводится к вопросу о независис мости от пути криволинейных интегралов )г ис(х — ос(у, ~ и с(у+ о игх.
(2) Но, как известно из анализа в"), в односвязной области для независимости от пути криволинейного интеграла ~ Р игх+ Яг]у, с где Р и Я вЂ” функции, обладающие непрерывнымп частными производнымн, необходимо и достаточно, чтобы выражение, стоящее под знаком этого интеграла было полным дифференциалом, т. е. чтобы в каждой точке области О имело место содр де) отношение — = — .
ду дх ' Для интегралов (2) эти соотношения имеют Вид ди до до ди (5) ду дх ' ду дх ' непрерывность же частных производных вытекает из предположения о непрерывности 1'(г). Уравнения (3) совпадают с условиями Коши — Римана и удовлетворяются, так как ](г) аналитическая функция.
Теорема доказана. В силу этой теоремы для функций, аналитических в одно- связных областях, вместо ) ) (г) г]г мы можем писать ) ) (ь) нгг, с где через г, и г обозначены концы кривой С. Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчисления. Прежде всего имеет место *) Полное доказательство си. М ар к у гневи ч, 13], стр. !37 — 143, 164 — 162, или Ш а б а т 112], стр.?3 — 86.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
