М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ь можно представить в виде е'", где а — действи7 , '- ,р тельное число, следоваф~' тельно, )(г) = е'"г. Лемма Шварца доказана. Рис. 25. Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного крута на область Л, лежац)ую внутри единичного круга, с помощью аналитической функции св = !(г), !'(0) = О, образ произвольной точки г лежит ближе к началу координат, чем сама точка г (рис. 25); если же образ хотя бы одной точки г лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то Л совпадает с единичным крутом и отобрагкение сводится к повороту. 16. Равномерная сходимость. Этот пункт имеет вспомогательный характер.
Мы рассмотрим в нем важные для дальней- $ Ь ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 441 шего вопросы, связанные с равномерной сходи мастью посл едов ател ьностей и рядов аналитических функций. последовательность функций (4 (г), (о ( г ), ... н азы в ается равном ерно сходящейся к функции 4 ( г) в области 0 ( ил и н а кр ивой С), если для любого е» О найдется число ио, зависящее лишь от е, такое, что при п ) п, для всех г из П (или на С) имеет место неравенство ! ~„(г) — ) (г) !< е. (!) Докажем две теоремы, аналогичные соответствующим теоремам анализа.
Т е о р е м а !. Предел ((г) последовательности непрерывных функций (4(г), Го(г),,, (л(г), ..., равномерно сходяи4ейся в некоторой области 0 (или на кривой С), также является непрерывной функцией. Зададимся числом е ) О и обозначим через го произвольную точку области 0 (или С). В силу равномерной сходимости найдется номер и такой, что для всех г из 0 (на С) ~" ~4~~ з ' В силу непрерывности гл(г) в точке го найдется такое число 6 ) О, что для всех г из П (на С), удовлетворяющих неравенству (г — го(«6, ((.
(г) — Р. (го) ! ( 3 ° (3) Для таких г и выбранного выше п из неравенств (2) и (3) имеем: ! ((г) Р(го) (~~! г(г) г (г) !+! ( (г) г (го) )+ +(Р.(го)-((го) )(з+ з+ з =е. а это и означает непрерывность Г(г). Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций (4 (г), ~о(г), ..., („(г),, на кривой С равномерно сходится к )'(г), то справедливо предельное соотношение Вгп )Г ~„(г)йг = ~ !Нп ~„(г)йг.
(4) л.+ о л.+лл с Зададимся числом е ) О. В силу равномерной сходимости найдется такое по, что для всех п и, и для всех г на С гл. ь основныг. понятия но где ! — длина С. Для таких и ~~*~ * — )ь()~ = ) о(о — ир ив~<-',~-. с с с а это и означает справедливость соотношения (4), Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости после- довательности функций. С понятием равномерно сходящейся последовательности те- сно связано понятие равномерно сходящегося ряда. Функцио- нальный ряд ~о !„(г) называется равномерно сходящимся в о=о области 0 (или на кривой С), если последовательность его частичных сумм яо(г) = )о(г), з~(г) = )о(г)+)у(г), ..., яь(г) = =(о(г)+Р~(г)+..+)ь(г), ...
сходится в этой области (иа этой кривой) равномерно. Так же, как в анализе, доказывается удобный для примене- ния достаточный признак равномерной сходимости функцио- нальных рядов. Те о р е и а 3. Если функциональный ряд ~~ )„(г) в области о=о 0 мажорируегся некоторым сходящимся числовым рядом ~ а„, о=о г. е. если для любой точки г из 0 ! !„(г) ! ~( а„(н = О, 1, 2, ...), (5) то данный функциональный ряд сходится в 0 равномерно. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке г из О.
Обозначим его сумму через з(г). Для любого и остаток г„(г) = з(г) — з„(г) этого ряда в силу соотношения (5) удовлетворяет неравенству ! г„(г) !(! )„„, (г) !+ ! )„.„(г) (+... (~ а„ю + а„„+ ... (6) Справа здесь стоят остаток г„сходящегося числового ряда, стремяшийся к нулю при и- ьо. Следовательно, для любого е ) О можно найти номер и,, зависящий лишь от е, начиная с которого будет г„( е, и тогда в силу (6) для любого г из 0 и н ) и, имеет место неравенство ! з (г) — з„(г) ! < е.
Это и означает равномерную сходимость данного ряда. Из теорем ! и 2 следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и з 4 !п!ТегРНРОЕАние ФункциЙ 6! что такой ряд можно почленно интегрировать, т. е. что справед- ливо предельное соотношение У, 1)„(г)дг= ~~)„( )дг. а=о с с а=а (7) Вопрос о возможности почленного дифференцирования функциональных рядов будет рассмотрен в п. 19 (теорема Вейерштрасса).
Рассмотрим теперь семейство функций )(г,а), зависящих от (действительного или комплексного) параметра а, Говорят, что )!г, а) стремится при а-Раа к функции 7(г) равномерно отиоыпеяьио г в области 71 (или на кривой С), если для любого е ' 0 найдется б = б(е) такое, что при !я — аь(( б для всех г пз 0 (или на С) имеет место неравенство 1 ) (г, а) — 1(г) ! < е. (8) Точно так же как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является функцией непрерывной и что для такого семейства справедливо предельное соотношение !!гп )' ! (г, а) дг = ) Впэ ! (г, а) дг. а-+а, с '+а' (9) В дальнейшем нам придется иметь дело с интегралами вдоль неограниченных кривых — несобственнььии интегралами.
При этом мы всегда будем рассматривать лишь такие кривые С, отрезки которых, принадлежащие произвольному кругу, являются к!сочно-гладкими, Функции !(г), заданные на С, будем считать кусочно-непрерывными и ограниченными. Определим теперь интеграл от функции 1(г) вдоль неограниченной кривой С. Пусть сначала С не ограничена лишь в одну сэорону и и — ее конец. Тогда мы обозначим через С~ часть С с концом а и длиной ! и положим по определению )г )' (г) дг = )нп ~ ) (г) дг, с (10) причем, если этот предел существует, мы будем говорить, что (несобственный) интеграл (10) сходится. Если С не ограничена в обе стороны, то мы определим интеграл как сумму интегралов вдоль двух частей, на которые С делится произвольной точкой а.
гл. !. основные понятия не Пусть функция !(г, !.) определена для всех г из области Р и для всех ~ на линии С. Будем говорить, что интеграл р(г)=) !'(г, 0 %ь с сходится равномерно в области с), если для любого е) О найдется число 1о такое, что для всех г из 0 при любом ! ) !а ) !(г, ь)йь — ~ )(г, с,)сЦ (е (11) с сс (мы предполагаем, что С не ограничена в одну сторону; распространение на общий случай делается, как и выше). Теорема 4. Если функцил !'(г,й) аналитична по г и кусочно-непрерывна по ь для всех г из односвяэной области 0 и длл всех ь на линии С и интеграл Г(г) = ~ с(г, ~) й!.
(12у с сходится равномерно в области с), то он является аналитической в этой области функцией *). Для доказательства мы воспользуемся теоремой, обратной к теореме Коши, согласно которой функция Е(г) аналитична в односвязной области О, если она непрерывна в этой области и ее интеграл вдоль любой замкнутой кривой, принадлежащей области, равен нулю (доказательство этой теоремы см в следующем пункте).
В условиях доказываемой теоремы непрерывность функции г(г) устанавливается обычным образом (как теорема 2 нли соотношение (9)). Остается показать, что равен нулю интеграл от Р(г) вдоль произвольного замкнутого контура Г, принадлежащего области О. Имеем: (кы *-11(с!*, с!кс)к.. г г (с (! 3) В силу равномерной сходимости интеграла (12) по известной из анализа теореме **) справа можно изменить порядок интегрирования, и мы получим: (к[*!а =1!1!ь, оа*)а!=о. г с 1г *) Ср. теорему ! из и.
!9. **)-См. Ф яхт си гольд, т. 11, стр. 733; сказанное там относится к дсй-. ствительиым оирсделеииым интегралам, ко восле введения иараметра и отделения действительных и мнимых частей интегралы (!3) сводятся к такимс интегралам. 4. интеггнговлние Функц!!и 63 и! так как внутренний интеграл равен нул!о по теореме Коши. Теорема 4 доказана. Заметим, что в случае ограниченной кривой С для аналитичности функции Р(г) не требуется никаких дополнительных предположений о сходимости интеграла (12), — это вытекает из возможности перемены порядка интегрирования в соотношении (13) без дополнительных предположений.
!7. Высшие производные. По определению, апалипщеская функция — это функция комплексного переменного, обладающая производной в каждой точке некоторой области 0 (см. п. 5). Покажем, что из аналитичности функции автоматически вытекает существование и аналитичность всех ее последовательных производных. Теорема 1 (О. Коши, 1842 г).
Если функция 1(а) аналитична в области 0 и не!грерывна в с!, то она обладает в казкдой точке 7) производныяи всех порядков, причем и-я производная представляется формулой )ы!(,) ' !(!) й (1) 2п),! (т -)лч! с где С в грани!)а области О. Пусть г — произвольная внутренняя точка области с). По определению производной и формуле Коши из п. 14, которую мы применяем для точек г и г + й, имеем: ! (г + !!) — ! (г) ч',О Ь 1 . (' 1(с) п4 —,!нп ! Но, очсвндно, прн т! О функция равномерно для всех с — г — л 1 с па С стремится к и, следовательно, по теореме 2 предыдущего пункта (для случая семейства функций, завпсягцпх от параметра й) предел существует, причем ") = —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
