М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В силу непрерывности ф(г) эта функция отлична от нуля и всюду в некоторой окрестности точки а. Отсюда следует Теорема 1. Пусть (йункция !'(г) аналитична в окрестности своего нуля а и не равна тождественно О ни в какой его окрестности. Тогда существует окрестность точки а, в ко~арой !"(г) не имеет других нулей, кроме а. Из доказанной теоремы и вытекает теорема единственности теории аналитических функций, о которой мы говорили в начале пункта. Теорема 2. Если функции 1!(г) и 15(г) аналитичны в области Р и их значения совпадают на некоторой последовательности точек а„, сходящейся к внутренней точке а области Р, то всюду в Р Для доказательства мы рассмотрим функцию ! (г) =6! (г) — 15(г).
гл. ь основные понятия !2г ' 4 Она аналитична в Р и имеет своими нулями точки а, а в силу",: непрерывности и точку а, ибо Г(а) = (пп ! (а„) = О. Отсюда ', й -3 следует, что Г(г) тождественно равна О в некоторой окрестности а, ибо в противном случае нарушалась бы только что доказан-. ная теорема !.
Таким образом, множество всех нулей функции Г(г) имеет хотя бы одну внутреннюю точку. Обозначим через д' совокупность всех внутренних точек множества нулей функции )(г). Если д' совпадает с Р, то наша: теорема доказана. Если же М' составляет лишь часть области Р, то найдется граничная точка Ь множества М', являющаяся внутренней точкой Р. Существует последовательность точек Ь множества 8', сходящаяся к Ь; точка Ь в силу непрерывности )(г) янляется нулем Г(г).
С другой стороны, )(г) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки Ь, ибо точка Ь была бы внутренней, а не граничной ~очкой множества М'. По теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки Ь нет ни одного нуля Г(г), но это противоречит тому, что Ь является граничной точкой д'. Полученное противоречие и доказывает теорему единственности. Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая и некоторой области и не равная тождественно нулю функция Г(г) не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из Р, ни на какой дуге, лежащей в Р, ни даже на последовательности точек Р, сходящейся к ее внутренней точке. Легко, однако, привести пример, когда бесконечная последовательность нулей функции сходится к граничной точке ее ! области аналитичности: функция Г(г) = яп — обращается в 1 нуль на последовательности точек г„= — (и = -+ 1, -ь 2, ...), сходящейся к точке г = О.
2!. Ряды Лорана. Ряды Тейлора — аппарат, удобный для представления функций, аналитических в круговых областях. Весьма важно, однако, иметь аппарат для представления функций в областях иного вида. Например, при изучении функций, аналитических в некоторой окрестности точки а всюду, кроме самой точки а, приходится рассматривать кольцевые области вида 0 <(г — а(< !г, Оказывается, что для фуниций, аналитических в кольцевых областях г < )г — а! < )г, где г ~ О, )г < < оо, можно построить разложения по положительным и отрицательным степеням (г — а) вида Ю ~(г)= Х с.(г-а)", (О являющиеся обобщением тейлоровскнх разложений.
Такие разложения мы и рассмотрим в этом пункте. 2Ц $ Х ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИИ РЯДАМИ 75 Итак, пусть функция )(е) аналитична в некотором кольце К: г <)г — а(< )с, где г) О, )т < аа. Выберем произвольно числа г' н й' так, что г < г' < Я' < )т', а также число й, О < 22 < 1, и рассмотрим кольцо — <(г — а)< й)с'. В произ- А вольной внутренней точке г этого кольца мы можем представить )'(г) по формуле Коши (п. 14), которая для нашего случая принимает вид: (2) где обе окружности С: )ь — а(=)с' н с: (ь — а)=г' проходятся против часовой стрелки.
2 — а! Й!с Для первого интеграла имеем ~ „~ < —, = Й < 1, следой — а~ Й' вательно, дробь, в него входящую, можно разложить в сходящуюся на С равномерно относительно ~ геометрическую прогрессию: ! ! Ь вЂ Ь вЂ” а 2 — а ! —— ~ — а ! 2 а 12 — а)» 14 )2 ' ' ' (ь )л.!.! ! Умножая это разложение на — „, 1(ь) и интегрируя его почленно по Г (что возможно в силу равномерной сходнмости), мы получим разложение первого члена формулы (2) в степенной ряд: где с„ = †„, ) „ , (п = О, 1, 2, ...). (4) Г 11~) аь ЕЕ2 (С вЂ” а)" с Заметим, что выражение (4) нельзя представить, как в п. 18, 1(л! 1 ) в виде, так как 1(г), вообще говоря, не' аналитична л! в точке а. Для второго интеграла имеем: гл.
!. основные понятия следовательно, равномерно на с сходится прогрессия 1 ! 1 — г — а С вЂ” а 1 —— г — а й — а (й — а) г — а (г — а)' (г — а)' (й — а)" (г — а)" Как и выше, получим разложение второго члена формулы (2) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (г — а): !2(г)= . ) =) с-и(г а) ! Г 1(с) «!й 2я« ) г г ( -и с и=! где с- = 2 ; ~ 1(ь) (ь — а)и сЦ (и = 1, 2, 3, ...), (6) с Заменим в формулах (5) и (6) индекс — п, пробегающий значения 1, 2, '..., индексом и, пробегающим значения — 1, — 2, ...; тогда, объединяя оба разложения (3) и (5) в одно, получим: ! (г) = ! ! (г) + )э (г) = ~ си (г — а)".
и=- Далее, согласно п. 13, в формулах (4) и (6) окрун«ности С и с можно заменить любои окружностью у: ~г — а~ = р, где г' ( ( р ( 1«', Поэтому обе эти формулы можно объединить в одну; си= — ) (а=О, +-1, -«-2, ...). (8) Г 1(и ай и 2Я«) (гл а)и+ ! Полученное здесь разложение (7) функции 1(г) по положительным и отрицательным степеням (г — а) с коэффициентами, определяемыми по формулам (8), называется лорановским разложением функции 1(г) с центром в точке а; ряд (3) называется правильной, ряд (5) — славной частью этого разложения.
Так как г' и 1«' в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к г и )с, а й может сколь угодно мало отличаться от 1, то разложение (7) можно считать установлепньп! для всех точек г кольца аналитичности функции 1(г). Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится всюду в круге (г — а(.с- Я, причем в любом круге (г — а! ~ ( М (О ( й 1) его сходимость равномерна, Главная часть представляет степенной ряд относительно переменной 3 = = 1('(г — а), следовательно, по той же теореме он сходится при 1 2) ( ! (г, т. е.
всюду вне круга )г — а() г, причем при г — а(= г(Й, О ( Й ( 1, его сходимость также равномерна. тн % В. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ Таким образом, доказана Т е о р е м а 1 (П. Л о р а н а), 1843 г.). В л>обом кольце К: г < (г — а(< )т', в котором аналитична функция )(г), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана (7), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежаьцей кольцу К. Из формул (8) для коэффициентов ряда Лорана точно так же, как в и.
!7, получаем следующие неравенства Кои!и: если функция )(г) ограничена на окружности )г — а) = р, пусть 1)(г) ) <М, то (с„(< — „(а=О, -+ 1, + 2, ...). А1 (О) Р" Заметим, наконец, что областью сходнмости произвольного ряда вида с„ (г — а)" всегда служит некоторое круговое кольцо *") г < )г — а( < )7, где О < г < оо, О < )7 < оо В этом очень легко убедиться с помощью теоремы Абеля, разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая г<)7 справедлива Теорема 2, Если ряд с„(г — а)" (10) сходится в кольце г <!г — а) <)7, то его сумма 1(г) аналитична в этом кольце и разложение (10) является рядом Лорана для функции ~(г).
В салгом деле, аналитичность 1(г) доказывается на основании теорем Абеля н Вейерштрасса так же, как в теореме 4 предыдущего пункта. Далее, иа любой окружности у: !г — а! = р, где г С р < )7, ряд (10) сходится равномерно и остается таким после умножения на (г — а)-о+' (и = О, ~1, ~2, ...). Если проинтегрировать разложение У с,(г — а) (а — а)" +' *) Пьер Л о р а н (1813 — 1854] — французский математик. Теорема была получена также в 1841 г, К. В ей е р ш т р а с со м, однако он опубликовал свой результат лишь в !894 г. Ряды вида (7) встречались еше в работе Л. Э й л е р а [1748 г.) .
**) Это кольцо может оказаться пустым, если г ) )1, а в случае г = (4 множеством сходимости может служить любое множество на окружности )а — а) = г. гл. е ОснОВные понятия 78 по окружности у и воспользоваться легко доказываемыми для любого целого и соотношениями: 10, п~ — 1, (г — а)" аг =~ (2пю', и = — 1 т (! 1) (ср. вывод формулы (4) из п. 13), то мы получим выражения коэффициентов ряда (!О): ! ~ 1(г) а2 с„= —, (г — а)" + т совпадающие с выражениями (8). Следовательно, ряд (10) является рядом Лорана функции 1(г), и теорема 2 доказана. Теорема 2 является теоремой единственности разложения в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням (г — а) является лорановским разложением этой функпии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
