М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 16
Текст из файла (страница 16)
') В втой формуле и — произвольное комплексное число, в частном случае натурального о = л ряд обрывается ва и-м члене и, следовательно, око. китса во всей плоскости. м) 4 5 пРедстлвлеиие АИАлитических Функций Рядлми 69 В самом деле, согласно и. 16 сумма з(х) ряда (!) непрерывна в О. Пусть С будет произвольный замкнутый контур, лежащий в 0; в силу равномерной сходимости ряда (1) его можно почленно проинтегрировать вдоль С и мы получим, что (2) (для каждого члена ряда мы воспользовались формулой Коши лля производных из п. 17). Остается доказать, что сумма ряда (2) является я-й првизводной суммы з(«) ряда (1). Но в силу равномерной сходпмости левую часть формулы (2) можно записать в виде ~ 1и (ь) а1.= —,', ! ~( й~=з'А'(«) 2га .) (й — «)А+' 2га .1 (~ — «)А+1 с с (мы снова воспользовались той же формулой Коши), что и требуется.
3 а и е ч а н и е 1. Для того чтобы утверждать равномерную сходнмость ряда из аналитичесиих функций в замкнутой области нбо по теореме Коши и. 1 2 интеграл от а иалитических функций (и ( г) по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Теперь по теореме Мореры п. 17 мы можсм утверждать, что функция з(г) аналитична в области О, и теорема доказана. Вторая теорема показывает, что для аналитических функций вопрос о возможности почленного дифференцирования рядов решается проще, чем в обычном анализе: Т е о р е м а 2.
Произвольный ряд (1), составленный из функций, аналитических в области 0 и непрерь1вных в О, равномерно сходяи(ийся в О, можно почленно дифференцировать в О любое число раз. Пусть ~ будет произвольная точка границы С области О, а г — произвольная внутренняя точка этой области. Так как разность ~ — г при фиксированном г ограничена снизу по модулю положительным числом, то ряд 22, где й— кч !и К) (и — «) п=ь произвольное натуральное число, сходится равномерно относигельно ~ на С.
Следовательно, его можно почленно интегрировать вдоль С, и значит, сходится ряд ( 1~ (О Л1 Чьп ((«1( ) л 4 2п1 .! (пп «)А-Р1 п=о с п=ь ия ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 70 хг, достаточно потребовать его равномерной сходимости на границе атой области. Это непосредственно вытекает из принципа максимума п. !5, согласно которому !пах))„, 1(г)+)„+з(г)+ ... )=снах) ~„+! (9)+1ааз(~)+ ... ). !о! !с! 3 а меча н и е 2. Простой пример показывает, что в теореме 2 можно утверждать сходимость ряда нз производных лишь в области х), а не в б.
%ч а В самом деле, ряд ~ —, очевидно, равномерно сходится в замкнутом лг л=! Ъч 1 круге ) а) <1, ибо он мажорируется там сходяшимся числовым рядом и л=! 2 а — ! Однако производный ряд чтч, — (сходяшинся по теореме 2 при )х) < 1) л л=! расходится в точке а = 1 границы круга. В дальнейшем основную роль будут играть степенные ряды.
Характер их сходимости выясняет следующая Теорема 3 (Н. Абель* ), 1826 г.). Если степенной ряд ~~'.~ с„(г — а)" сходится в точке го, то он сходится и в любой — о точке г, расположенной ближе к центру а, чем го, причем в любом круге 1» — а( < я)го — а(, еде 0 < я 1, сходимость ряда равномерна. Предположим, что г — произвольная точна последнего круга, и представим и-й член ряда в виде с„ (» — а)" = с„ (г, — а)" ~ ) . ,хз о В силу сходимости ряда в точке г, его обгций член стремится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т. е.
(с„(»о — а)" ~ (М для всех и. Кроме того, у нйс по условию ! ':" - ' ~ (» )г; следовательно, для всех и х,— о )с„(г — а)")<»Мй", 0<й<1. Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге 1» — а~»( я!»з — а). Так как число й может быть взято сколько угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда в любой точке круга 1'г — а)С !го — а) и доказательство теоремы Абеля закончено. ') Нильс А б е л ь (1802 — !829) — норвежский математик.
Рн 4 3. ИРГдстлвлеиие а!залит!!ческих Функция РядАми 71 Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости степенного ряда ~ сл (г — а)л является открытый круг с центл=з ром в точке а (который может также вырождаться в точку илн заполнять всю плоскость) н еп(е, быть может, некоторые точки па границе круга. Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда. Укажем формулу для определения радиуса сходииости )с: — 1пп )~) сл) (4) )! л+а где 1пп означает верхний предел *). Эта формула была получена О. К о ш и в 1821 г, и существенно использовалась Ж.
Л д а и а р ом (уже в нашем вене). Она называется формулой Коша — Адамара. Для вывода ее нужно показать, что при любом г, для которого (г — а( <»)1, О < й < 1, степенной ряд сходится, а при любом з, для которого )з — а) ) )7, этот ряд расходится. По определению верхнего предела для любого е ) О найдется такое л,, начиная с иоторого У(сл! < — +в. Выберем в так, чтобы было )!»+! 2 тогда при л ) лэ и (з — а) < Й)7 будем иметь »л)!л Г ) сл (г — а)л ) < „(»+ 1)л '!»+1) 2» Так как ! < 1, то по известной теореме сравнения ряд, составленный из членов левой части, сходится.
Далее, нз определения верхнего предела имеем, что для любого а ) О л» У) ". (> найдется бесконечная последовательность л = лы для которых 1 > — — е, т. е. ~ сл, (з — а)» ! > ~ ~ — — в) ) з — а ) )~ Но при )з — а) ) )с всегда можно подобрать и так, чтобы было ( ! — — в) ~ з — а ) > 1, тогда для нашей последовательности л = лл, соответл» ствующий этому е член сл (з — а) будет неограниченно возрастать н, л» следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится к нулю).
*) См. Фихтенгольц, т. 1, стр.!07. 72 Гл. !. Ос!ювныс понятия Теоремы Вейерштрасса и Абеля дают утвердительный ответ на вопрос, поставленный в предыдущем пункте: Теорема 4. Сумма любого степенного ряда в круге его гходимости является аналитической функцией. Действительно, пусть ~(г — а(( )г будет круг сходимостн. нашего степенного ряда. В любом круге ~(г — а) ( М, где О ( < й < 1, по теореме Абеля сходпмость равномерна, а так как члены ряда с„(г — а)" — аналитические функции, то по теореме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге.
Но так как любая внутренняя точка г круга сходимости может быть погружена в некоторый круг )г — а)( И, где О -' й ( 1, то тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всем круге его сходимости. Докажем, наконец, что справедлива Т е о р е м а 5, Любой степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. В самом деле, пусть в некотором круге (5) Полагая здесь г = а, получим г(а) = сы Дифференцируя ряд (5) почленно н затем полагая г = а, найдем 1'(а) = сь Последовательно дифференцируя ряд (5) и полагая затем г = а, найдем; Г'(а) = 2с,, )"'(а) = 31 си ..., )!"!(а) = и! с„.
Таким образом, !(м (а) с,—— и! (6) и ряд (5) действительно является рядом Тейлора функции )'(г). Теорему 5 называют тепрел!ой единственности разложения в ряд Тейлора, нбо нз нее следует, что найденное любым способом разложение апалитнческои функции Г(г) в степенной ряд является тейлоровским разложением этой функции. Кроме того, из этой теоремы и из теоремы и. 18 можно заключить, что радиус сходпмости степенного ряда (5) совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей точки, в которой нарушается аналитичность суммы г(г) этого ряда. Например, радиус сходимости рядов (6) п. 18 равен 1, ибо при г = — 1 пх суммы теряют аналитичность (второй ряд мы, конечно, рассматриваем для а ненатурального).
20, Теорема единственности. В п. 14 мы видели, что аналитическая функция полностью определяется своими значениями на границе области аналитичности. Здесь, в дополнение к этз- ' 20! $ а иРедстАвлеиие Аихлитических' Функции РядАми 73 му, мы покажем, что аналитическая функция полностью определяется своими значениями на произвольной последовательности точек, сходящейся к некоторой внутренней точке области аналитичности. Начнем с одной теоремы относительно нулей аналитической функции. Пулем функции 1(г) называют любую точку г=а, в которой 1" (г) принимает значение 0: 1'(а) = О.
Если аналитическая функция не равна тождественно 0 в окрестности своего нуля а, то в ее тейлоровском ряде с центром в а все коэффициенты не могут равняться нулю (иначе сумма ряда была бы тождественно равна нулю). Номер младшего отличного от нуля коэффициента этого разложения называется порядком нуля а. Таким образом, в окрестности нуля порядка и тейлоровское разложение функции имеет вид: 1 (г) = с„(г — а)" + с„+, (г — а) + ..., где с„ФО на)1.
Очевидно, порядок нуля а можно определить также как по рядок младшей отличной от нуля производной ~И'!(а), Очевидно также, что в окрестности нуля порядка и аналн тическая функция ~(г) допускает представление вида ) (г) = (г — а)" <р (г), (2) где функция ф (г) = с„ + с„„,(г — а) + ...; ф (а) = с„ ~ О (3) также аналитична в окрестности точки а (ибо она представляется сходящимся степенным рядом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
