М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 19
Текст из файла (страница 19)
*) Понятие вьшета было введено О. К о ш и в «Мез!уаре об определенных интегралах» (!814); в своих «Упражнениях по математике» !1826 — 1829) он дал также многочисленные приложения этого понятия н анализу. В своих работах Коши указывает, что ои пришел к понятию вычета, развивая идеи Эйлера. 23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента, Здесь мы вве- ' дем весьма важное для дальнейших приложений понятие вы- чета*) функции и докажем некоторые связанные с ним тео- ремы общего характера; примеры вычисления вычетов и раз- личные приложения мы рассмотрим ниже (главным образом в гл. т! и Ч!). Вьиегол! функции 1" (г) в изолированной особой точке а (обо- значение гез)(а)) называется число 2 (1) где у — достаточно малая окружность !г — а( = р, проходимая в положительном направлении.
Согласно п. 13 величина вычета- не зависит от величины р для достаточно малых р, Из формул (8) п. 21 для коэффициентов ряда Лорана при и = — 1 непосредственно вытекает, что гез)(а) 2 .~ 1(а)с(а=с т. е. что вычет функции 1(з) и особой точке а равен коэффи- циенту при минус первой степени в лорановском разложении !(г) в окрестности а, Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функ- ции всегда равен нулю.
Нахождение вычета в полюсе порядка п облегчает следующая формула: ,!л- ! геа !" (а) = !пп „, ((г — а)" 1(г)). (3) (л — 1)! »-»а с!з Если при этом в окрестности точки а функция 1'(г) определена как частное двух аналитических в этой точке функции; причем гр(а) Ф О, а ф(г) имеет в а нуль первого порядка (т е, зр(а) = О, а ф'(а) ч~ О), то формулу (4) можно заменить следу!ощей: геа) (а) = 1)гп (г — а) =1ип =, .
(5) «-аа ф ОО «.+а ф (г) ф (а) ф'(а) П р и мер. Мероморфная функции с!я г«имеет полюсы первого порядка в точках г = «1' ш!.'и (а =1, 2, 3, ...), н полюс второго порядка в точне г = 0 (в этом проше всего убедиться. рассматривая нули функции !и «'). Вычет в точке г = 0 по формуле (3) равен 4 — —,«7+ в г Мп 2г' — 2«' 3 Нш — (г'с!я г') = Нш,, = 1нп «.+о Вг «.+ о з'" г «.+ о =О*) (это видно также из того, что лорановское разложение с!и «' с центром в точке г = 0 может содержать лишь четные степени г).
Вычет в точке г = сс У~ lгл по формуле (3), где принято гр = соз г«, ф = мп г«, равен соз г' 1 1 2«соя г' 2г 2У сс йц Применение теории вычетов основывается главным образом на следующей важной теореме о вычетах: Теорем а 1 (О. Коши, 1825 г ). Пусть 4ункция ((г) не прерывно на границе *") С области Т) и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек а!, аг, ... ..., а„, Тогда, если С обходится в положительном направлении, то л ) у(г) Ыг=2И!'~ геа((аа). с Л=! (б) л) Мы заменили числитель и знаменатель первыми членами их тейлоровскнх ьоазложепий в окрестности точки г = О. ' ) Здесь и далее непрерывность 1(г) на границе областа понимается н смысле непрерывности по области, т, е.
в том смысле, что в любой точке г«границы сушествует )нп 1(г) =1(гс), причем г-«г«по точкам г««з области )). Если С имеет кратные точки, например содержит двубережный разрез, то условие можно ослабить, потребовав сушествовання предельных значении у(г) лишь при г — «га г каждой нз сторон разреза (пр!! этом пределы с одной и с другой стороны не обязаны совпадать). хз! а з. ИРадстлвлеииг лиллитг!часких Фхикцин Рядами 33 ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей (п. !3). Заключим каждую точку а» в кружок у«.
)2 — а„~ = р» столь малый, что все такие кружки лежат в области Р и не пересекаются друг с другом (рис. 26). Так как ,г(2) аналитична в области Р', ограниченной кривой С и совокупностью окружностей у», и непрерывна в Р", то по цитированной теореме ! (2) «(2+ «~~ ) ! (2) Т(2 =О, с » ! где все у- проходятся по часовой стрелке.
Меняя направление обхода окружностей у» и пользуясь определением вычета (!), согласно которому ~ г'(2) иг = 2лг' гез !'(а»), мы получаем нужный результат (6). Принципиальная важность теоремы о вычетах заключается в том, что она позволяет свести вычисление величины «в це- лом», какой является интеграл по замк- ;Ф.' ' , нутому контуру конечной величины„ к вычислению величин «в малом», диффе- Г . - р ренциальных величин, какими являются вычеты. Действительно, вычеты вычисг Я,У лаются с помощью интегралов по бес- Л ~»1 конечно малым контурам или даже с по«с««мощью простого предельного перехода (формулы (3), (4) и (5)).
Метод сведения вычисления величин «в целом» к РВС. 26. вычислению дифференциальных величин является обычным в ма Тематическом анализе (сравни вычисление интегралов с помощью первообразных, которые определяются на основании известных производных). Применение теории вычетов посвящена специальная глава Ч. Остановимся еще на понятии логарифмического вычета. Под логарифмическим вычетом аналитической функции )(2) в точке а понимают вычет ее логарифмической производной ()П ((2)) Ясно, что имеет смысл говорить о логарифмических выче- тах не только в особых точках, но и в нулях г(2).
Если точка а гз! а а пгвдстхвлвннв лнллитичвских чгнкцин гидами ат является нулем 1(г) порядка и, то в окрестности этой гочки )(г) =с„(г — а)" + с„.„(г — а) е + ..., с„~ О, следовательно, 1'(г) = пс„ (г — а)" + (и + 1) с„е, (г — а)" + и логарифмическая производная р(г) 1 пс„+(и+ !) сею (г — а)+ 1(г) г и са+слч-В(2 и)+ Здесь второй множитель является функцией, аналитической в точке а, ибо с„ ~ О, следовательно, он разлагается в ряд Тейлора с центром а (свободный член этого ряда равен п) и ( — — — (и+ д,(г — а)+ д, (г — а)'+ ...) = (г) ! = — + да+ д! (г — а) + ... (7) Мы получили лорановское разложение логарифмической производной (1п)(г))' в окрестности точки г = а, нз которого видно, что точка а является ее полюсом первого порядка с вычетом, равным и.
Пусть теперь а является полюсом 1(г) порядка и. Так как функция д(г)= 1(1(г) имеет в точке а нуль порядка п и так как (!п((г))' = — (1пд(г))', то по только что доказанному, для логарифмической производной (1п)(г))' точка а является полюсом первого порядка с вычетом, равным — п. Таким образом, доказана Теорем а 2. В нулях и полюсах функции ((г) ее логарифмическая производная 1'(г)/!"(г) имеет полюсы первого поРядка, причем в нуле функции логарифлтический вычет равен порядку нуля, а в полосе — порядку полюса со знаком минус. Теорема 2 и теорема о вычетах дают возможность применить логарифмические вычеты для подсчета числа нулей и полюсов аналитических функций в заданных областях.
Пусть функция 1(г) аналитична внутри ограниченной области 0 всюду, кроме конечного числа полюсов Ь!, Ьм ..., Ь кратностей, соответственно р!, рм ..., рьь непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в О; пусть еще 1'(г) пепрерывяа на С. Тогда функция 1(г) имеет в Р лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или граничной точке области В, но эта последовательность не может сходиться ни к внутренней точке (по теореме единственности п.
20), ни к граничной точке (потому что ((г) чь О и непрерывна на С). Нули 1(г) в области 0 мы обозначим через гл. ь осповныг. понятия аь аь ..., аь а их кратности — соответственно через пь пт, ... ..., пь ПРименЯЯ к логаРифмической пРоизвоДной 7(г) теоРемУ о вычетах и теорему 2, мы получим: с = (и, + и, + ... + п~) — (р, + р, + ... + р ) = М вЂ” Р, (8) где й7 и Р обозначают соответственно полное число пулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок. Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем: —. ~ д (п1(г) = —.
) д!п(! (г) )+ —, ~ а агй !" (г), (9) где !п и ага обозначают какие-нибудь ветви этих функций, непрерывные вдоль С.. Так как при обходе замкнутого контура С функция!п))(г) ) с возвращается к своему Первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка м ю = О лежит внутри контура, описываемого точкой ш = !(г), когда г обходит С, то конечное значение агд((г) может отличаться от начального (рис.
27) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина — ) д агп 1 (а) = — Лс агн ! (г) ! с Рис. 27 — полное изменение аргумента функции )(а) при обходе С, деленное на 2п,— геометрически представляет собой число оборотов вокруг начала ге = О вектора 1(г) при полном обходе С, или, что то же самое, вектора ге при обходе кривой Г, соответствуюгцей С при отображении ге =1(г) (на рис. 27 зто число равно 1).
Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента: Теорема 3. Пусть функция 7(г) аналитична внутри области 0 всюду, кроле конечного числа полюсов, непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в нуль; пусть еи1е Т'(г) непрерывна на С. Тогда разность между полным чис- 22! $ К ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РЯДАМИ 39 лом нулей и полюсов этой функции внутри Р равна числу оборотов вектора !в Тьри обходе кривой Г, соответств)(!ощей С при отображении и = ((г), или, что то же самое, сумме логарифмических вычетов ((г) в области 0: (У вЂ” Р= — 'йсат~~(г)= —.'. ( — 'д .
! ( (2) 2к 2п! 3 р (2) с Дальнейшие результаты, относяшиеся к подсчету числа нулей и полюсов функций, н их важные применения мы изложим в п. 75. Здесь мы приведем лишь одно видоизменение формулы (8), учитываюшее не только число нулей и полюсов, но и их положение. Рассмотрим наряду с функцией ((г), удовлетворяющей условиям принципа аргумента, еше функцию !р(г), аналитическую в 0 и непрерывную в 0. Особыми точками функции д(г)=р(г) могут, очевидно, служить лишь нули и по- (2) люсы ((г), причем в окрестности каждой такой точки с она допускает разложение вида д(г)=(<р(с)+ ...)) -!- + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
