М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 15
Текст из файла (страница 15)
11 —.)"' (2) с Для и = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо и — 1, точно так же можно доказать ее справедливость для и и тем самым полностью доказать теорему. !и гл, !. основныа понятия 64 3 а меча н ие !. Как видно из доказательства, теорему можно еще формулировать следующим образом: если функция ср(~) непрерывна на границе С области Р, то функция 2пг г 4 — 2 (3) с прейсгавленная формулой Коши, аналитична в этой области. 3 а меч а и ив 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по а; доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования.
Из формулы (1) вытекают важные неравенства Ковш. Обозначим через М максимум модуля функции 1(г) в области Р, через й — расстояние точки а до границы Р н через 1 — длину этой границы. Илзеем из (1): ) )(и)( ) 1( и 1(ь) иь ~( 2„1 (~ )а-!-1 2 Ра-~-! с Если, в частности, 1(г) аналитична в круге ~)г — ао)«с, )1, то, принимая в качестве Р этот круг, получим: !1(к)(а))~ и О о - йа (5) Это и есть неравенства Коши, которые мы хотели доказать. л(ы воспользуемся полученными результатами для доказательства двух важных теорем теории аналитических фуикпий.
Теорема 2 ()К. Л пу в илл ь) а). Если функция 1(г) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна. Пусть всюду (1(г) ( <М. Для произвольной точки а плоскости и для любого 12 неравенство (5) при и = 1 дает; !)' (а) (==- — '," . Так как здесь левин часть не зависит от )л', а правая при увеличении 14 может быть сделана сколь угодно малой, то 11'(а) ) =О.
Таким образом, во всей плоскости 1'(г) = — О. Отсюда, по теореме 4 п. 12, заключаем, что 1 (2) — 1(го) = ~ 1 (а) с(г — = О, «з т. е. что функция 1'(г) постоянна. Теорема доказана. ") Теорема впервые доказана Ко щ н (!844 г.), но существенно использовалась а работах французского математика Жозефа Л и у а и и а я, !)809 †!882). 111 % з пРедстАВление Аналитических Фкнкции Рядами 65 3 а и е ч а н и е. Теорема 2 допускает следуюн!ее обобщенно. Если функция !'(г) аналитична ао всей плоскости и ее модуль возрастает ое быстрее чем А(!г!", где л — целое число, а А( — постоянная, то зта функция является многочленои степени не выше и '). Доказательство аналогично предыдущему; пусть гь — произвольная точка плоскости; из неравенства (5) имеем: и, замечая, что у нас (г)» (гз! + )с, после перехода к пределу прв й-ь ос получаем, что Р" '1(гь) = О.
Так как гь — произвольная точка плоскости, то р" ' '1(г) — О, а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату. Следую!цая теорема обратна основной теореме Коши п. 12. Теорем а 3 (Г. Мо р е р а **), 1886 г.). Если 4ункция )" (г) непрерь!вна в односвязной области Р и интеграл ~('(е) г(е по с любому замкнутому контуру, лежащему в Р, равен О, го )(е) аналитична в этой области, Из условий теоремы следует, что в области Р интеграл )(е)с(г не зависит от пути интегрирования, т, е, при фиксиг рованном го определяет некоторую функцию ее г Е (г) = )г ( (г) с(е. гь Повторяя дословно доказательство теоремы 2 п.
!2, мы увидим, что зта функция имеет производную Е'(г) = 1(г), т. е. аналитична (в цитированной теореме мы пользовались лишь непрерывностью )(г) и независимостью интеграла от пути). Но тогда по теореме ! настоящего пункта ((г) как производная аналитической функции в свою очередь является функцией аналитической. Теорема Мореры доказана. 9 5.
Представление аналитических функций рядами В настоящем параграфе мы рассмотрим вопрос о представлении аналитических функций с помощью степенных рядов и их обобщения — рядов по положительным и отрицательным степеням г — а. Разложение функций в ряды представляет не только теоретический, но и практический интерес. Укажем, ") При и = О мы получаем, в частности, теорему 2. ь*) Гнацинто М о р е р а — итальянский математик (1855 †19).
3 М. А. Лаврентьев и В. В. Шабат 66 гл. !. ОснОВные понятия нз например, что с помощью рядов можно вычислять приближенно значения функций, во многих задачах прикладного характера (решение дифференциальных уравнений н др.) решение сразу получается в виде ряда и т. д. Здесь мы ограничимся основными теоретическими положениями, связанными с разложениями функций в ряды; большинство из них будет играть весьма важную роль в дальнейшем изложении теории функций комплексного переменного и ее приложений (см. особенно гл. Ч и след.).
В частности, будет установлена равносильность понятий об аналитической функции (в смысле $ 2) как о функции, днфференцируемой в каждой точке области определения и как о функции, представимой в окрестности каждой такой точки в виде суммы степенного ряда (см. теорему Тейлора п. 18 и теорему 3 п. 19); это даст еще одну концепцию в построении теории аналитических функций.
В пункте 25 мы обобщим понятие аналитичности, распространив его на многозначные функции. 18. Ряды Тейлора. Ыы начнем с обобщения на функции комплексного переменного известной из аналнза формулы Тейлора и на его основе докажем, что всякая аналитическая в точке функция представляется в окрестности этой точки в виде суммы степенного ряда. Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической а+! прогрессии =1+4!+д'+ ...
+!у", переписав ее в виде (формула справедлива и для комплексных !1). Зафиксируем некотору1о точку а из области Т) аналитичности функции 1(г) и, воспользовавшись формулой (1), напишем: 1 1 ! С вЂ” а С вЂ” а а — а !— 1 — а 1 Умножим теперь обе части этого равенства на —.1(ь) н проза! интегрируем его по Г вдоль некоторого замкнутого контура С, лежащего в 0 и содержащего точки г и а. Пользуясь формулой Коши п. 14 и формулами для высших производных п. 11, ян 4 ь. првдстдвлвнив аналитических окикиии рядкми 67 получ1т классическую формулу Тейлора *! 1я~ 7(г)=!(а)+ „(г — а)+ ... + — „, (г — а)" +Р„(й) где остаточный член имеет внд: Рл (г — а)" ( ! (й) Ый 2иа 1 (Ь вЂ” ) (й — )"+' (3) Возникает вопрос о том, при каких условиях Р„ — О при а — оо пли, что то же самое, при каких условиях функция 7(г) представима своим рядо,к Тейлора с центром в точке а, т.
е. !(г)=У „, ) (г — а)". я е ! ь" — г ) > ! ь — а ) — ! г — а ) ) Р' — й Р' = (1 — й) Р' и формула (3) дает: —(' - ')"" !" ! (й) "~ о) я+! йа+1й и+~ М. 2„й, Мйа-~- ~ ( й)йа+ ! й а т где М вЂ” максимум модуля г(г) в круге )г — а(< Р' (функция !(г) аналитична в этом круге, следовательно, ограничена). Так как й(1, то отсюда видно, что Р„- О, при и- оо, причем оценка Р„не занисит от г; таким образом, в любом круге *! Разложение такого вида (для действительных а! впервые встречается е работе 1715 г. Брука Тейлора (1685 — 173!), но систематическое применение оно нашло лишь а 1742 г. а работе Колина й4 а кл о р е н а (1698 †17).
Ответ на этот вопрос дает следующая Теорема (О. Коши, !83! г.). Функция 7(г) представимо своим рядо,к Тейлора (4) в любом открытом круге с центром в точке а, в котором она аналитична. Во всякой замкнутой области, нринадлеэкаи(ей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно. Обозначим через Р радиус круга аналитичности функции !(г) (с центром в точке а) и рассмотрим произвольное число Р', О < Р' <Р и круг ~г — а) ( йР', где й < ! — произвольное положительное число. Пусть г — любая точка последнего круга и С вЂ” окружность )ь — а)= Р', Имеем )г — а!< йР', )ь — а) = = Р'. Следовательно, 68 ГЛ.
1, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ )г — а) < й!с', где О < й < 1, ряд Тейлора сходится равно- мерно. Произвольную замкнутую область, лежащую в круге анали- тичности функции 1(г), можно погрузить в некоторый круг ) г — а ) < лл3', где О < й < 1, О < й' < )с, следовательно, и в такой области ряд сходится равномерно. Теорема доказана. Таким образом, всякая аналитическая в круге функция представляется в нем степенным рядом. Возникает вопрос о том, будет ли, обратно, аналитической функцией сумма про- извольного сходящегося степенного ряда? Чтобы ответить на него, следует рассмотреть некоторые свойства степенных рядов.
Это мы сделаем в следующем пункте, а сейчас приведем тей- лоровские разложения некоторых элементарных функций: а2 аэ е'=1+г+ —,, + —,, + ...; а3 23 л а)иг=г — — +-= — ..., созг=1 — — + — — ...; (5) 3! 5! 2! 4! лз в3 а а)) г=г+ — + — + ..., СЬг 1+ — + — + 3! 5! 2! 4! (сходятся для любого г), а2 аэ !п (1 + г) = г — — + — + ...; 1 ) (6) (1+ г) =1+аг+ — гв+ о )(о ) га 1 е) ~ (сходятся для )г~ < 1; написаны для тех однозначных ветвей, которые равны соответственно О и 1 при г = О), Способы полу- чения этих разложений такие же, как в обычном анализе, и мы на них не останавливаемся. 19.
Степенные ряды. Начнем с двух общих теорем относи- тельно равномерно сходящихся рядов, составленных из анали- тических функций; эти теоремы были впервые доказаны К. Вейерштрассом в 1859 г. Первая из них показывает, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство анали- тичности: Теор е м а 1. Если ряд Х ).(), (1) составленнь1й из функций', аналитических в односвязной обла- сти Р, равнолгерно сходится в этой области, то его сумма так- же является функцией, аналитической в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
