М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 12
Текст из файла (страница 12)
**) Сн. Фихтенгольц, т. П1, стр. 68 или Смирнов, т. 11, стр, 216. ]14ы докажем эту теорему в до и ол н и тел ь но м п р е дл ож е н и и ') непрерывности производной )'(г) (в определении аналитичности п. 5 требуется лишь с у !ц е с т в о в а н и е этой производной). Пусть, как всегда, 1(г) = и(х, у) + го(х, у); в силу соопю- шения % 1.
ннтеГРнРОвание еункннп 121 47 Теорема 2. Если Грункция ('(г) аналитична в односвязной области О, то интеграл ) 1' (ь) йь = Е (г) гг (4) рассматриваемый в зависимости от своего верхнего предела, также является аналитической в (г' функцией, причем Е (г) = — „", ~1й й1 =~(г). (5) В самом деле, по определению производной и свойствам интеграла (9) и (!0) из предыдушего пункта имеем: В силу непрерывности ") ((г) в точке г можно написать: ((с)=)(г)+ЧС) Где т)Д)- 0 при ~- г; подставляя зто в (6), получим; г+А г+а Е' (г) =1нп — ) ( (г) йт + ИГН вЂ” ) т) (г) с(Ь. р 1" а-ьо ' л-го" (7) Так как ((г) — постоянная величина при интегрировании по ', то ек гма )т ((г)да=Па) )Г й~=((г) й, «+Ь ибо из определения непосредственно следует, что ) йь=й.
г Далее, из неравенства (11) предыдушего пункта имеем: г+Л 11 (ь) йь (~ Гп ах) т) (ь) 1 1 (г 1 ') Непрерывность ((л) является следствиеи ее аналитичности. (геа г Е'(г) = 1нп— Г (и+й) Г (г), ! =-г — 1)" пог1 — )" 11ог1~- и.+о Ь л-эо " гг +л = ИГН вЂ” ( ('(ь) сЦ. (6) г 48 пт гл. !. Основные Г!Онятня (путь интегрирования от точки г до г+й по теореме 1 можно считать прямолинейным, поэтому его длина равна 161).
Таким образом, в (7) первый предел равен 1(г), а второй — нулю, т, е. Г(г) =1(г), что и требовалось доказать. Функция, производная которой равна заданной функции 1'(г), называется первообразной этой функции. Доказанная теорема- утверждает, что интеграл от 1" (г), рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одноп нз первообразных функции )(г).
Т е о р е м а 3, Л!обые две первообразные одной и той же функиии отличаются друг от друга не более чем на постоянное слагаемое Пусть г!(г) и г«(г) — эти первообразные и Ф(г) =г"! (г) — Р,(г) = и(х, у)+ !о(х, у). Для доказательства теоремы достаточно показать, что функция с!!(г) постоянна. По формуле для производной (сх!. (13) и. 5) имеем: ди . ди ди , ди Ф' (г) = —. + ! — = — — ! — = =О, дх дх ду ду нбо по нашему условию Ф'(г) =р! (г) — р (г) =1(г) — 1(г) =О. ди дь ди ди Отсюда следует, что — =- = — О, — = — == О, следовательно, дх ду ' дх ду и(х, у) и о(х, у) постоянны.
Теорема доказана. Следуюшая теорема позволяет вычислять интегралы с помошью первообразных. Те о р ем а 4. Если г (г) — произвольная первообразная аналитической функ!1ии 1(г), то (8) В самом деле, по теореме 2 функция Р!(г) = ) ! (ь) дь является одной из первообразных для 1(г), функция Е(г) по условию также первообразпая, следовательно, по теореме 3 « ~ !'(т) дь=р(г) + С, «« где С вЂ” некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве г=г,, найдем; Р(г,)+ С = О, откуда С = — — г" (гь), что и дает искомую формул) (8). й ч, интггппиовлние окнкции 49 ~ !'(г) да =О.
с (9) )(оказательство основывается на том, что замкнутый контур С можно разложить на два контура, С, и Се, с общими началом и конном (рис. )8). По свойствам интегралов )г ((г) с(г = )г ( (г) дг + ( ) (г) дг = ~ ( (г) дг — ~ ( (г) дг; с, с, с, следовательно, равенство нул!о интеграла вдоль С равносильно равенству между собой интегралов вдоль С! и С . В заключение докажем одно полезное для дальнейшего обобщение теоремы Коши.
Именно, в теореме Коши (в последней формулировке) речь идет об интеграле по контуру, целиком лежащему внутри области иналятпчности функции, между тем как иногда приходится рассматривать интегралы вдоль кривых, на которых функция, оставаясь непрерывной, перестает быть аналитической. Оказывается, теорема Коши остается в силе и для этого случая: а Теор ем г 5. Если функция ((г) анали- рис.
!а. точна в односвязной области 0 и непрерывна в замкнутой области О, то интеграл от !'(г), взять!й вдоль границы С этой области, равен нулю: ) ((г) дг=О. с (9) ййы предположим сначала. по С есть «звездный» контур, т. с. существует точка ве такая, по любой луч с вершиной в этой точке пересекает С в едкой и только одиой точке. Без ограиичепия обшиосги мои«во предполагать, что е, = О (это достигается сдвигом плоскости г), тогда кривую С иозсио задать уравпеииеч з = г(~р)е ~, где г(ср) — одиозиачиая функция. с!срез Сх мы обозпачим контур, определяемый урависиием ь = Ле = Ь'(<р)е!е, О < Л < 1 (рис.
!9). Так как Сх лежит виутри О, то по теореме Коши ((О) сл Отметим еще, что теореме Коши, доказанной в начале этого пункта, можно придать следующую форму: Теорема. Если функция !'(г) аналитична в односвязной области В, то ее интеграл вг)оль любого замкнутого контура С, лежащего в В, равен нулю: гл. !. основнып понятия 50 пз 1 Но когда точка ь описывзст Сю точка з = — ь описывает С, поэтому равен- Л стао (10) можно переписать а виде ~ ) (Лз) г( (Ла) = Л ! ) (Лз) г(а = 0 с и, следовательно, ) (х) пх = ~ () (з) ) (Лз)) ох. с с Так как функция )(х) равномерно непрерывна в (У (см. п.
5), то для любого е > 0 можно найти 6 0 так, что для любой пары точек х, Ь, удовле. творяющвх неравенству )з — и! ч:. 6, будет справедливо неравенство ! ) (х) — ) (9) ! < е. (!2) 6 Пусть ! — длина контура С и )( = тамг(гр); возьмем Л)! — — тогда для любой пары точек а н ь = Ле будем иметь )з — ь ! = (1 — Л) ! х)- 6 ~( — )х)~(6, следовательно, будет выполняться (!2) и нз (!1) получим: )( (гыь)<ь С Так нак здесь е сколь уголно мало и интеграл не зависят от е, то этот интеграл равен О. Для звездных контуров теорема доказана, Рве. 20. Рис. 19.
Пусть теперь С вЂ” произвольная кусочно-гладкая кривая. Если С нмсст точки возврата, то мы выбросим нз областв (З нругв малого радиуса е с центрами в этих точках, так, чтобы гранина полученной областв )те уже не ямела таках точек (рис. 20), Проводя внутри ()е конечное число линий ть (й =.— = 1, 2, ..., т), эту область люжно, очевидно, разбить на части Пю ограниченные звездными линиями Сь (й = 1, 2, ..., и) *).
По доказанному выше, ") Легка видеть, что отрезок кусочно-гладкой кривой в достаточно малой окрестности ее точки, не являющейся точкой возврата, представляет собой звездную крнвую. В окрестности же точки возврата кривая может и не быть звездной (напрпмер, крнвая, составленная из ветвей парабол у = хз и у = 2х', для иоторых х ) О, в окрествости точки х = О). $1. Ннтсггипозл1ше Функции 131 интеграл вдоль любой липин С» равен нулю: 1(з)да=О (а=О, 1, ..., и). (13) Предположим, что линни С» проходятся в одном, например положительном, папранленпн, н сложим все уравнения (13).
Так как у нас каждая линия у„проходятся дважды и притом в противоположных направлениях, то асс интегралы вдоль т» нзавмно сокрашаются (см. (91 и (10) нз п. 11). Остальные части границ С» составляют границу Се области Т1» и, следовательно, интеграл вдоль этой гранины равен пулю: ~ 1 (з) г(з = О. се Остается показать, что равен нулю интеграл вдоль границы С области Сч по это следует немедленно из того, что С н Се отличаются лишь па конечное число малых дуг н так как функция 1(з) ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг также мал. Таким образом, интеграл вдоль С сколь угодно мало отличается от интеграла вдоль С», хоторый равен О, и, следовательно, сам равен пулю.
Теорема доказана полностью 13. Распространение иа многосвязные области. Для многосвязных областей теорема Коши, вообще говоря, не верна. В самом деле, функция 1(г)= 1)г аналитична всюду в кольце — <(г)< 2, однако интегралы от — 1 до ! вдоль верхней и нижней половин окружности )г(=! отличаются друг от друга.
Действительно, вдоль верхней полуокружности С1, где г = е"г, 0 «= гр ( и, имеем: о а вдоль нижней полуокружности См где г = е'Ф, — и < гр < пп о -н Для.обозначения интеграла от а до Ь вдоль пути С в многосвязной области мы будем поэтому иногда употреблять символ ь ) ! (з) с(г. ес Однако если и в многосвязной области кривые С1 и Ся с общими концамн распологкены так, что они ограничивают одну односвязную область, принадлежащую О, то интегралы вдоль таких кривых, очевидно, равны. Отсюда следует, что значение интеграла от аналитической функции в многосвязной области х) не изменяется, если контур интегрирования непрерывно гл, ь Основные понятия 52 нз деформируется так, что его концы оста~отса ненодвижнылит и он все вреппя остается внутри Р.
Пусть в многосвязной области 0 даны точки а и 6 и простая ч) кривая Со, их соединяющая. Пусть С вЂ” любая другая крнная, соединяющая эти точки (рис. 2!,а). Согласно только 1то сделанному замечанию можно, не изменяя величины интеграла, деформировать кривую С в другую, лежащую в области Р кривую С, состоящучо из: !) кривой Со, которая вместе с Со Рпс. 2П Ге — — ) 1(а)аг (й=1, 2, ..., а); (2) при непрерывной деформации уьн при которой этп кривые остаются внутри Р, интегралы (2) не изменяются, следовательно, величины Гп определяются лишь функцией 1(г) и областью Р. Пусть Уь — целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении проходится тп в составе кривой С; эти числа могут быть положительными, отрицательными или равными нулю ь) То есть беп точек саиопересечеппп.
ограничивает односвязную область, принадлежащую Р; 2) совокупности простых замкнутых кривых уь ()т = 1, 2, ..., ш), каждая нз которых содержит внутри себя одну связную час~ь границы Р (рнс. 21, б). При этом кривые уь могут проходиться несколько раз и в различных направлениях (на рис. 21, б кривая у1 проходится трижды по часовой стрелке, а ут — один раз против часовой стрелки).
Для удобства мы условимся обозначать через уе (й = 1, 2, ..., ат) кривые, проходимые против часовой стрелки; кроме того, мы введем еше кривые уп (и = = и+ 1, ..., а), окружающие связные части границы области Р и не входящие в состав С (как уп на рис. 21, б). Введем обозначения 4 е интегрировании ою!кции !з! (например, на рис. 21 )т'! = — 3, Л'г = 1, 1«з = О).
Г!о предыдущему и своиствам интегралов (9) и (1О) п. !1 имеем: з з з ~ ! ( ) 1(г = ~ ! (г) с(г = )1 ! ( ) г(г+Лг, Г, +)(ггГ +... +Л)чГ„. (З) чс« ,с «С Величины Га называютсЯ пеРиодах111 интегРала от фУнкции 1" (г) в многосвязной области /) или циклическими постолиныжи. П р и м е р. Пусть !(г) = 1/г и !) — «кольцо» О ( )г~ ° 77, где )7 — сколь угодно большое число. Любой путь С, соеднпяюшнй точки ! и г, можно, как аыше, деформиронзть н путь С, состоящий из несколько газ проходимой единичной окружности )г1 =- ! и простой линни С», саединяюшей точки ! н (рпс. 22), Интеграл вдоль окружности, проходнмой против часовой стрелки, когда 1 г .=- з' н гр растет от О до 2п, раасн Г= ) — = ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
