М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Маркушевич, Краткий курс теории аналитических функций, Физматгиз, !961. [4] Б, В. Ш а 6 ат, Введение в комплексный анализ, «Наука», !969 [6] С. Сто ил о в, Теория функций комплекаюго переменного, т. 1, 2, пер.. с румынского, ИЛ, !962, , О 6] А. Г у р в и ц, Р.
К у р а н т, Теория функций, «Наука», 1968. 7] А. В. Б и ца две, Основы теории аналитических функций комплексного переменного, «Наука», !9?2. [8] М. А. Е в г р а фон, Аналитические функции, «Наука», !968. [9] А. Г. С в ею н иков, А. Н. Тихонов, Теория функций комплексной переменной, «Наука», !970.
[10] В. И. Смирн ов, Курс высшей математика, т. Ш, ч. 2, Гостехнздат, 1957. [1Ц Б. А. Фукс н Б. В. Шабат, Функции комплексного переменного ю некоторые нх приложения, «Науна», !964. [12] Дж. С п р и н г е р, Введение в теорию рнмановых поверхностей, пер. с англ., ИЛ, !960. [13] А. И. Ма р куш ее ич, Очерни по истории теории аналитических функцнй, Гостехиздат, ! 95!. Глава П Конформные отображения Эта глава посвящена отображениям, осуществляемым аналитическими функциями, так называемым конформным отображениям.
Понятие конформного отображения относится к числу важнейших понятий математики. Возникшее из физических представлений, оно находит многочисленные и существенные при,чожения к различным об.частям физики — метод конформных отображений с успехом решает практические задачи гидро- и аэродинамики, теории упругости, теории электростатического, магнитного и теплового полей и др. Отдельные задачи, связанные с конформнымн отображениями, решались Дала мбером, Эйлером и Гауссом *). Опираясь на нх работы, Бернхард Ри ман в своей диссертации «Основы общей теории функций комплексного переменного» (!851 г.) положил начало геометрической теории функций и, в частности, доказал (хотя и неправильно) основную георему о возможности конформного отображения произвольных односвязных областей друг па друга.
В своих исследованиях Риман, следуя Эйлеру, пользовался физическими представлениями, связанными с конформными отображениями. Начиная с середины 19 века, конформные отображения широко применяются в качестве математического аппарата прп изучении механики сплошной среды. Среди инициаторов такого применения видное место принадлежит Н, Е. Ж у к о в с к о м у и С.
А. Ч а плы ги ну (гидро- и аэродинамика), Г. В. Колосову и Н. И. Мусхелиш вили (теория упругости). й 1. Общие положения. Примеры В этом параграфе излагается понятие конформного отобра.кения и общие принципы теории конформных отображений. Не имея возможности доказать многие из них (доказательство *) Карл Фридрих Г а у с с ()777 — )855) — немецкий математик, 12т ГЛ. Н КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !Об Предположим еще, что функции и(х, у) и о(х, у) днфференцируемы в этой области. Фиксируем произвольную точку ги из В и в окрестности этой точки заменим приращения функций и и о дифференциалами. По определению дифференциала приращения можно представить в виде и — ис — — — (х — х,)+ — (у — у,)+П1 Лг, 1 ди ди 1 дх ду о — ои = — (х — хи) + — (у — уи) + тв Лг, дх ду '1 (2) где частные производные берутся в точке г,, Лг = = 1/(х — хи)т+(у — уи)', а 111, Т11 стремятся к нулю при Лг- О.
Замена приращений дифференциалами сводится к отбрасыванию в соотношениях (2) членов 111йг и т)хат, которые являются малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих формул (мы предполагаем, что ( д„) + ~ д ) и ( — „) + ~ д ) отличны от нуля). Геометрически эта замена равносильна замене отображения ш = 1(г) отображением и — и, = — (х — хо) + — (у — уо) до ди оо — (х Ао) + (у уо) (3) которое называется главной линейной частью отображения (1).
Отображение (3) можно переписать в виде и = ах+ Ьу+ й о =ох+ йу+ и, (4) где хо уо ' ди а=— дх Ь= —, ди ду ди хо ду Уо ди с= —, дх ' ди 1= ио дх требует привлечения материала, выходящего за рамки книги), мы ограничиваемся тем, что разъясняем существо этих гринципов и иллюстрируем их на ряде примеров. 27. Понятие конформного отображения. Предположим, что задано непрерывное и взаимно-однозначное отображение области О на некоторую область |1*: ю=~(г)=и(х, у)+до(х, у).
О ! ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ )От не зависит от х и у. Оно представляет собой так называемое линейное преобразование плоскости (х, у), Отметим основные свойства линейных преобразований. Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости г; предположим, что определитель А=ай — Ье отличен от нуля*); тогда обратное к (4) преобразование х = — (аи — Ьо — а(+ Ьт), ) у = — ( — си+ ао + lс — ат) ~ Л (6) также однозначно определено во всей плоскости иг. Таким образом, при Л чь 0 не только каждому г соответствует одно значение ге, но и каждому иг — одно значение г, т. е.
преобразование (4) осуществляет взаимно-однозначное отображение всей плоскости г на всго плоскость ш. Рассмотрим пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом й = (д р, т. е. прямых у = йх+ С. Заменяя здесь х и у по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых — си + ао + (с — ат = = )с (йи — Ьо — г((+ Ьт)+ СЛ с угловым коэффициентом й'=(нВ = с+ яо о+)гЬ ' и — ио= а(х — хо) + Ь(у уо) о — во=с(х — хо)+ й(у уо)* (7) а обратное отображение в виде о ь ) х — хо = — (и — ио) — — (" — оо) Л л с о у — ус= — — (и — ио)+ — (о — о,) ~ Л л (8) (для вывода формул (7) и (8) достаточно подставить в соотношения (4) и (6) х = хо, ..., и = со и вычесть из (4) и (6) ") В случае Л = О говорят, что отображение (4) вырождается.
Отсюда следует, что отображение (4) преобразует каадрагьг на плоскости г в параллелограммы на плоскости ш. Пусть го = хо+ гуо и гво = ио+(ио — пара точек, соответствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отображение моныго представить в виде 108 гл, 1!. конФОРмные ОТОБРАжепия полученные уравнения). Учитывая формулы (8), мы можем УтвеРждать, что окРУжности с центРом в точке го1 (х — хо)' + (у — уо)' = г', при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точ- КЕ и1о'.
(с(о+ с )(и — ио) — 2(Ы+ ас) (и — ио) (и — со)+ + (Ьо+ а') (с — и )'= Л"' (9) Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводнло окружности снова в окружности? Из (9) следует, что для этого необходимо н достаточно выполнение соотношений: Ьо(+ас=О, аз+ Ьз=со+о(о (10г Первое из них дает — = — — =Л, откуда а =?а(, Ь = а Ь с = — Хс.
Подставляя это во второе уравнение (10), получим )1о = 1, или ?. = ~1. Случай?. = 1 приводит к соотношениям а=д, Ь= — с. (!!г В этом случае Л = ас( — Ьс =а'+ Ьо) О. Положим а = с( = )1гЛ соз а, с = — Ь = )/Л з(п а, а зо 1 Ь Л ао+Ьо это можно сделать, ибо у нас 1=) +( — ) = =1. Тогда. преобразование (4) перепишется в виде: и = )ГЛ (соз а х — з!п а у) + 1, и = )~Л (з!п а .
х + соз а у) + т. Эти соотношения можно записать в комплексной форме так: и + 1с = 'у' Л (соз а + Х з(п а) (х + 1у) + 1+ 1т, и они приводятся к линейной функции компленсного переменного: гс =Аз+ В, (12) где А = )/лс1а В =1-1-1т. (13) Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразование (4) сводится к сдвигу плоскости г на вектор В = !+!1и, повороту на угол а = АгдА и подобному растяжению с коэффициентом )ГЛ = ! А ! (см. п.
4). В случае?. = — 1 мы имеем: а= — с(, Ь=с (14)1 з Ь ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИМЕРЫ !09 и Ь = — а' — Ья ( О. Повторяя только что проведенные выкладки, увидим, что преобразование (4) можно записать так: те = )à — йе'пг+ В. (15) Следовательно, при условиях (!4) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от г к г, т. е. симметрия относительно действительной оси (см. п.
!). Из геометрического смысла преобразований (12) н (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между двумя прямыми, преобразуют квадраты на плоскости г в квадраты на плоскости и и т. п. Линейные преооразовання, обладающие этим свойством, называются Ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия оргогональности ') преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (короче, сохраняет ориентацию), а (15) — меняет их на противоположные (меняет ориентацию). Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные прсобразования, сохраняющие ориентацию, а условия (14) — ортогональные преобразования, меняющие ее.
Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно-однозначное отображение и=!'(г)= и(х, у)+со(х, д) области О на область (з* называется конформным, если в окрестности любав точки В главная линейная часть этого отображения есть ортогональное преобразование, сохраннюпгее ориентацию '*). Из этого определения вытекают два основных свойства конформных отображений: 1) Конфорлсное Отображение преобразует бесконечно малые окружности в окружности с точностью до лталых высших порядков (к р у г о в о е с в о й с т в о) .
2) Конформное отображение сохраняет углы между кривыми е точках их пересечения (свойство сохранения углов). Первое свойство означает, что при малых г окружность С: !г — го) = г переходит в кривую С* такую, что расстояние любой ее точки от окружности (ге — тсо) = р, проведенной через любую точку кривой С* — образа С при рассматриваемом отображении, является малой высшего порядка относительно г. ") Заметим, что н тем нсе самым условиям ортогональности мы прилеп, если потребуем, чтобы угол поворота 0 — чз любого луча атея = м не зависел от угла ср, ь*) Отобра>наине ю = )(л) называют конформнььв отоброясвнпв.ч второго рода, если его главная линейная часть является ортогональным преобразованием, меняющим ориентацию. ГЛ.
П. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ыо Второе свойсгво означает, что угол в точке ео между любыми кривыми Г| и Га равен углу в точке шо менсду образами Г~ и Ге этих кривых е) (рис. 38). Учитывая формулы (5) и (11), мы можем записать условия конформности Отображения (1) в виде ди до ди до дх ду ' ду дх (16) причем должно быть А — ( ) +( — ) — ~) (го)! ЧЬО, (17) ибо при Л = О главная линейная часть отображения гу = 1(г) вырождается, что противоречит условию конформности. Таким я ч Рнс. 38.
образом, условия конформности совпадают с условиями Коши— Римана (и. 5) дифференцируемости (аналитичностн) функции 1( ) в области 7г, причем неравенство (17) показывает, что производная )'(г) должна быть всюду отличной от нуля. Далее, имеем ди ди,г— — = — = '1 Хсоза, дх ду до ди .г— — = — — = '1 О з!п а дх ду откуда легко получить геометрическую интерпретацию произ- водной от функции комплексного переменного. Мы имеем: 1Г'(г) 1= )У Л; агд)'(е) = а, (18) *] для доказательства этого свойства достаточно ааметить, что под углом лгежду кривыми понимается угол между ик касательными н что главяая линейная часть дифферепцируемого отобраекения переводит касательную к кривой Г» в касательную к Г», Ф !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
