М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 35
Текст из файла (страница 35)
нозначную аналитическую ветвь функции (с! + с,,(г — г ) + . Разлагая эту ветвь в ряд Тейлора, мы получаем окончательное пРедставление фУнкции 1(г) в окРестности точки гс. 1 (г) = и!о+ (г го)'(со+ с! (г гс) + ° ° ) (2) Отсюда видно, что при и ) 1 производная 7'(гс) = О, при а с.! имеем 1'(гс)= ос. Для обратного отображения г= !Р(ш), наоборот, !р'(шо) = О при а ( 1 и ср'(шс) = ос при х ) 1. Из того же соотношения (2) видно, что гс при иМ 1, Ф2 является точкой ветвления функции 1(г).
Заметим, что в более общем случае, когда граница области Л в окрестности точки и!с состоит из гладких или даже ГЛ. П. КОНФОРМИЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !79 аналитических дуг, пересекающихся в нзз под углом ссп, сделанный вывод, вообще говоря, неверен *). В этом случае отображающая функция не обязана иметь вид (2): в главном члене ее разложения могут появиться множители, сзремящнеся к нулю и бесконечности медленнее, чем любая степень г — гз.
Рассмотрим, например, в верхнем полукруге )г(( и, у ~ О,. функцию пз=г!п —, ш(0)=0, ! (3) где ветвь логарифма характеризуется условием 0( агпг ( и. Легко видеть, что при достаточно малом и она преобразует от!! резок (О, и) оси х в отрезок (О, и!п — ) оси и, отрезок ( — г, 0)— ! к в дугу у: и=х!и — „, о = — —, а полуокружность )г~ = и, 0 «=' р--. и — в дугу, близкую к полуокружности (рис. 79).
По 7 з принципу соответствия границ функция (3) при малых однолистно я конформно «г с!з-, 'отображает полукруг на обРис. 79. ласть 11, изображенную па рис. 79. ! ! Дуга у гладко примыкает к отрезку (О, г)п — ) в точке п1 = О, так что угол сс = 1; тем не менее главный член разло! жения (г) «испорчен» множителем 1п —. Аналогичный эффект наблюдается для функции си= —, ш(0)=0. 3 !и— 3 Перейдем к отображению многоугольников.
Пусть в плоскости ш задан замкнутый многоугольник А!Аз ... А„без точек самопересечепня, пе содержащий бесконечно удаленной точки (от этого ограничения мы освободимся в следующем пункте). Согласно основной теореме Римана (п.28) существует функция са =1(г), реализующая конформное отображение верхней полуплоскости г на внутренность Л этого многоугольника.
Для определенности мы зададимся соответствием трех точек дей. ствительной оси (например, а1, пз и аз) и трех точек границы сз (например, вершин А1, Аз и Аз); тогда по теореме 2 п. 35 функция 1(г) определится однозначно. Мы предположим сначала, ) В предыдущем издании в етом месте имелась неточность, из которую изше внимание любезно обратили М. М. Лаврентьев и А. Б. Шабат.
371 $3 ПРИ1П1ИП СИММГТРИИ 1тз что эта функция нам известна, в частности известны конечные точки а4, ..., а„оси х, переходящие в вершины Аь ..., А„многоугольника, и поставим своей задачей отыскание ее аналитического выражения. Так как на любом участке (ам аь11) действительной оси функция п1 =)(г) принимает значения, лежащие на прямолинейном отрезке АЗА3+1, то, по принципу симметрии, она аналитически продолжаема через этот отрезок в нижнюю полуплоскость.
Аналитическое продолжение этой функции реализует конформное отображение нижней полуплоскостн на многоугольник Л', симметричньш с многоугольником Л относительно от- о резка А1Аьчь Это аналитическое продолжение можно снова продолжить через любой о'1 резок (аь а3 4.1) в верхнюю полуплоскость г, причем но- Р вне аналитическое продолжение будет реализовать кон- н' р '"' '".~т- '' р фьрмное отображение верхней г а ;, ,Ру полуплоскости г на многоугольник Л", симметричный с , Р.' многоугольником Л' относи- 4Р ' тельно отрезка А, Ам ь1.
Предположим, что мы вы- Рис. 80. полннлн всевозможные аналитические продолжения описанного вида. В результате получится, вообще говоря, бесконечнозначная аналитическая функция п1 = = г'(г), для которой исходная функция )'(а) является в верхней полуплоскости одной из однозначных ветвей.
Пусть гв = )„(г) и щ = („(г) будут две произвольные ветви функции г" (г) в верхней полуплоскости. Согласно нашему построению этп ветви осуществляют конформное отображение верхней полуплоскости на два многоугольника Л' и Л**, отличающиеся друг от друга четным числом симметрий относительно сторон. Но так как всякая пара симметрий относительно двух произвольных прямых сводится к некоторому сдвигу и повороту, то всюду в верхней полуплоскости („„(г) = е1"),(г)+ а, где а и сг постоянные, То 'ке самое справедливо и для любых ветвей функции г"(г) в нижней полуплоскости.
Далее, функция д(г) =, = — „!п)'(г) Р (г) 413 аналитична в верхней полуплоскости, ибо )'(г), как производная функции, осуществляющей конформное отображение, нигде ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 174 137 не обращается в нуль. Эта функция д(г) остается однозначной при всевозможных аналитических продолжениях !(г) в силу сделанного выше замечания о ветвях функции г (г) имеем: 1.".( ) 1."( )! !' (г) =е!а!" (г), 1а(г) =е!а!а(г), следовательно, (с) 1 (2) Таким образом, можно утверждать, что д(г) * однозначная функция, аналитическая всюду в полной плоскости г, кроме точек г = аы соответствующих вершинам многоугольника. Аналитичность д(г) в бесконечности следует нз того, что г = Оа переходит в некоторую точку на стороне многоугольника, а не в его вершину.
Для выяснения характера функция и(г) в точке г = аь возьмем какую-либо ветвь !(г) и воспользуемся формулой (2), Ву. дем иметь: 7(г)= АА+(г — а,)'ь(с, + с, (г — аь)+ ...); отсюда легко получить лорановское разложение д(г) в окрестности точки г = а!,! аь-г !" (с) (аь — 1) аьсс (г — аь) + а (г) — —,,)— Г (г) аьсс( — ас) ~ + ". а,— 1 +е,+е,'( — а)+ ...
ь из этого разложения видно, что точка г = аь является для д(г) полюсом первого порядка с вычетом аА — 1. Таким образом, функция д(г) в полной плоскости имеет лишь л особых точек. Вычитая из д(г) сумму главных частей ее разложения в этих точках, получим функцию а,— ! ас — 1 ас — 1 6(г) =д(г)— с — а! г †г — ап а с р(р+1) —,.„, + а (г)— 2Р р+1 — — — +=+ гс регулярную во всей полной плоскости и, следовательно, постоянную (см. теорему Лпувилля в формулировке п.
24). Так как в точке г = ФФ функция 1(г) правильна, то в окрестности этой точки э 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ зт) 175 Следовательно, у(оо), а значит и 6( о), равно О. Поэтому Интегрируя выражение (5) вдоль любого пути, лежащего в верхней полуплоскости, и затем потенцируя, находим: !" (г)=С(г — а>)'> '(г — аз)' ' ... (г — а„)' '. (6) Интегрируя еще раз, получаем искомос выражение для 1(г). Тем самым доказана Теорема ! (Г. Шварц, Э.
Кристоффель'"), 186?— 1869 гг.). Если 4ун>сция и> = !(г) реализуе> конг)>орнное отобра>кение верхней полуплоскости 1гп г ) О на внутренность ограниченного многоуголщ>ика Л с углами аап(О < аь < 2,й = 1, 2,...,п) при вершинах, причем известны точки ад действительной оси ( — о < а> < аз «... аа < о), соогвегствУюи)ие вершинах! этого многоугольника, то 1(г) представляется инте- гралом !(г) =С ) (г — а>)'> '(г — аг)" ' ...
(г — ап)па да +Си (7) Эиьвин К р и с т о ф ф е и ь 11829 — 1900) — немецкий математик. Постоянную е, можно раз навсегда фиксировать, например положить Поэтому в дальнейшем мы не будем с ~итать се неизвестщам папа- формулы (7). *) ээ) метром где го, С и С> — некоторые постоянные. Интеграл Шварца — Кристоффеля получен в предположении, что точки а>„соответствующие вершинам многоугольника, известны.
Однако в задачах на конформные отображения задаются лишь вершины Аь многоугольника, а точки а>, остаются неизвестными. Согласно сказанному в п. 29 три из них (например, а>, аз и аз) можно задавать произвольно, а остальные точки и также постоянные С и С, должны определяться пз условия задачи ма). Это обстоятельство представляет главную трудность при практическом использовании ин>еграла Шварца — Кристоффеля. Способы определения посзм>янных аш С и С, будут указаны ниже на конкретных примерах.
Принципиальная возможность их остыскиния по существу вытекает из приведенного доказательства теоремы 1. В самом деле, пусть многоугольник Л задан. По основноп теореме мы можем утверждать, по существует единственное копформное отображение гв =1(г) полуплоскостп )гпг ) О на многоугольник Л, переводящее три задаю>ые точки аь аз и аз действительной оси в три вершины Л, например в А>, Аз и Аа.
Для этой функции по доказанному выше будет Гл. и. конФОРмные ОТОБРхжения 13В 176 иметь место формула (7) при надлежащем подборе постоянных а,, ..., а„, С и Сь Таким образом, при заданных трех аь остальные постоянные определяются и притом единственным образом. Заметим еще, что согласно формуле (6) на действительной оси плоскости г пРи г = х) а, имеем ага(х — аь)'ь ' =О дла всех й и, следовательно, агд1'(х) = агд С, а так как (содержащий г = оо) отрезок (а„а,) при отображении си = [(г) переходит в отрезок А,А1, то агд С равен углу 9, который этот отрезок составляет с осью и (на рис.
80 и =- 9 — и). Постоянная С! определяется заданием положения одной иэ вершин. Для определения постоянных аь и С можно воспользоваться известными длинами сторон многоугольника аь+ АьАьч1=) 1)'(х)[а!х (й=!, 2, ..., и — !), (8) ль хотя практически этот метод применим далеко не всегда, На практике часто приходится пользоваться приближенными методами определения постоянных ал и С; с ними читатель может ознакомиться по книге П, Ф.
Ф и л ь ч а к о в а [10), работе Г. Н. Пол ожега [12) или статье Н. П. Стени на в сборнике [8[. 38. Дополнительные замечания. Рассмотрим ряд случаев, не разобранных в предыдущем пункте. 1. Одна из вершин многоугольника — образ бесконечно удаленной точки. Пусть, например, а„= оо, Чтобы привести этот случай к рассмотренному, совершим линейное преобразование Ь = — — + а полуплоскости !т г ) О 1 на полуплоскость 1!п~ ) О, переводящее точки аь ах, ..., а„= = оо в конечные") точки ап а,', ..., а'„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
