М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 39
Текст из файла (страница 39)
38, которая, следовательно, принвмает вид 4 ! ~~ (з — пь) :а=С ~,, г!з= 11 ( — Ьз!У. Г (! — з ) и =С ~ „Вг, (25) (1+ а') ' О (чы воспользовалнсь оченпдпыми тожде- Р . 92. ствамн Л(з — аа) =- а' — 1, П(а — Ьь) = не. = г + 1; П вЂ” знак произведения). Постоянную С мы примем действительной, она определяется разчером ОВь = )с звезды; так. как гочка а = — 1 переходит в вершину звезды, а г = 0 — в центр, то О В=С~ Г П вЂ” х')н (1+х)" Г 1 + х' (з после подстановки Г = ! ,, ) этот ннтеграл переходит в интеграл, выра(! — хз ) жзюшийся через гамма-функцию Эйлера; ГЗ) (см.
п. 90). Таким образом, 5У гЯ) г(-) г( — ) (26) ГЛ. Н. КОНФОРМНЬЗЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (40 !92 40. Скругление углов. Во многих практических вопросах приходится учитывать, что фактически углы рассматриваемых много)тольников всегда скруглены, Мы дадим здесь приближенные методы учета влияния таких закруглений, 1) Скругление угла, меньшего и. Найдем сначала функцию, реализующую отображение верхней нолуплоскости г на верхнюю полуплоскость ь, из которои выброшена малая площадка, ограниченная отрезком ( — 1,!) и дугои кривои, опирающеися на этот отрезок и касающейся действительной оси в его концах *) (рис. 93), Для этого мы рассмотрим отображение г, =9+ ")Г9т — 1 верхней полуплоскостн 9 на верхнюю полуплоскость г, с выброшенным единичным полукругом и в качестве нашей кривой возьмем прообраз половины эллипса с полуРис. 93. осями 1 и ! +Ь, близкого к полуокружности (рис.
93). Теперь остается найти отображение верхней полуплоскости гз с выброшенной половиной эллипса на верхнюю полуплоскость г. Последняя задача решается элементарно. Преобразованием подобия гт = г,/с, где с = ')Г (1+ Ь)г — 1 = )/Ь (2+ Ь), мы переводим фокусы эллипса в точки ~-~', затем применяем отображение гт = 1) 1 = — )гз — — 1, полУчаЯ в плоскости гз вместо эллипса' кРУг гз) !+У!+аз / 2+0 радиуса = 1у — , наконец, преобразова- Г гз пнем г = — ( — + †) получаем верхнюю полуплоскость.
Имеем: 21Г гз) гз = Г (2 + )тсг — 1 )' г! 2 [(à — — ) г + (Г + — ) )т 2 — 1 1, или, учитывая выражения для Г и с, г, =а+(1+ Ь) ргг' — 1. Наконец, пренебрегая малыми порядка выше Ь, получаем окончательно: — — + ) г Ь ((уГ(гт 1)з г (гт 1)] (1) 2т ' гз) С помощью дополнительных линейных преобразований = ай-1- Ь, г = аз+ Ь мы получим более общий результат: функция **) ~ = г — —, ()зГ(г — Ь,)а (г — Ьг)з — (г — Ь,) (г — Ьт) (г — Ь)) = да (г) (2) А ) Функция из примера 2) п. 34 не годится, ибо там дуга ае касается осн.
**) Вместо 2 и 9 мм снова пишем г и С. $3. ПРИНЦИП Ст!Х4МЕТРИИ 193 403 где 6~ = Ь вЂ” а, Ьи = Ь+ а, реализует отображение верхней полуплоскости 1тг ) О на верхнюю полуплоскость 14п9 ) О с выброшенной малой площадкой, ограниченной отрезком (Ь вЂ” а, 6+ а) и дугой, опирающейся па этот отрезок и касающейся его в концах; величина й, пропорциональная максимальной ординате кривой, предполагается малой высшего порядка относителыю а (рис.
94). Пусть теперь функция п4 =1(Ь) реализует конформное отображение верхней полуплоскости 1т" » О на некоторый многоугольник Л, причем точка Ь соответствует вершине В угла многоугольника, меньшего и. Совершая допол- 4 пнтельное отображение ь = дь(г) с помощью функции (2), мы найдем ф конформное отображение ш =1(ь (аП (з) и ш=С (г' 44р(г)дг, о (4) где 4р(а)=(а+а,) ' ...
(а+а„)" и С вЂ” положительная постоянная (ага С = О в силу нашего выбора отрезка А4Аг). Для того чтобы скруглить угол в вершине А4, мы влсесто (4) рассматриваем функцию и = 1' (г) = С ) (ги -' + у (г + р)сч ') 4р (з) 44г, (5) о верхней полуплоскости з на область Л, которая получается из Л округлением угла В в достаточно малой окрестности вершины этого тгла (рис. 94).
Повторным применением этого приема можно скруглить все углы Л, меньшие и. 2) Скругление угла, большего и. Без ограничения общности можно считать, что вершина А, многоугольника Л, угол при которой мы скругляем, лежит в точке п4 = О, сторона А4Аи идет по положительной полуоси и а4 — — О, а прообразы — аь — ам ..., — а„остальных вершин Л отрицательны (этого всегда можно достичь дополнительными дробно-линейными преобразованиями плоскостей).
В этих предположениях функцию, реализующую конформное отображение верхней полуплоскости г на многоугольник Л, можно записать с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля в виде 194 ГЛ. П КОПФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ иа где 5 и у — постоянные, подлежащие определению; мы будем считать р малым положительным числом (во всяком случае, )4 ( аа). Согласно разделу 5) п. 38 функция г п1 = (, (е) = Су ) (з + 5) ' ф (з) Вз а реализует отображение полуплоскости )ше) О на многоугольник со сторонами, параллельными сторонам Ь, причем точка з = — Р соо1ветствует вершине В", лежащей на отрицательной полуоси и (угол при ней равен 441п), а остальным вершинам Л", ..., А'„' соответству1от точки — аз, ..., — а„(этот многоугольник обозначен пунктиром на рис.
95). Рассмотрим еще функцию ш = ~, (з) = С ) за 1ф (~) д~ а которая реализует отобра>кепие полуплоскостп !ш е ) О на многоугольник с вершинами А1, Аг, ..., А', (он обозначен на рис, 95 тонкими сплошными линиями). Для каждого фиксированного з вектор п1, определяемый формулой (5), получается сложением векторов г1(е) и в"а, 'аг и )1(з), Выполняя это сло- жение, мы убедимся в В',' 'г том, что когда з опнсыв' вает действительную ось, точка ш будет описывать ла У замкнутый путь А1Аа ... ... А„ВА ь который весь, кроме участка ВА1, со- Р х стоит нз отрезков, паралиг тг а» "а, лельных соответствую- шнм сторонам заданного Рис, 95. многоугольника (жирные линии на рис. 95). Для того чтобы получить параметрические уравнения участка ВАБ мы введем положительный параметр Т= — з (О С ~ Т ( 5). Формула (5) даст тогда а1а йа +, аа С ( ~а,а а,-1 ((, ° а;1) йг Л й1 «о! $3.
ПРИНЦИП СИММЕТРИИ !95 откуда для тангенса угла наклона касательной к ВА, с осью и будем иметь: ~Ы 0— зря о~и' ! а,-! згп п,п !й ог еоз при — у(— те=С ~ о (6) где С вЂ” положительная постоянная (на участке (О, 1) ы должно принимать положительные значения). В соответствии с «Го! оо~ ') При а,( ! имеем — ~ =!Ко,п,— ~ О и дуга А1В не скру"" !«=о "" !«=а гляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять функпию го=С ) (2 ' +т(2 — 13) ' )ф(2)г«2, о где р > О, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.
Из этого выражения видно, что в случае угла, большего н (т. с, при 1 ( сг~ (2), 1п0 будет равным О в точке г = О, соответствующей Аь и равным 1дагп в точке « = 1), соответствующей В. Таким образом, в случае угла, большего и, дуга ВА, действительно скругляет угол при вершине А« *). /' Согласно принципу соответствия л лз границ функция (5) реализует кон- и формное отображение полуплоскости «72 !шг>0 на область Л, ограниченную «7г контуром АгАт ... А„ВАР Варьируя В постоянные С, р и у, мы можем достичь того, что область Л будет сколь угодно мало отличаться от заданной лз многоугольной области Л. Покажем, как это делается, на одном простом примере. Рассмотрим многоугольник, изображенный на рис. 96, — это частный случай треугольника нз примера 3) предыдущего пункта.
Будем считать, что точкам Аь А, и Аз соответствуют точки О, 1 и оо действительной оси; тогда интеграл Шварца — Кристоффеля запишется в виде Гл, н. конеоямные отовелжения иО изложенным выше мы полагаем вместо этого 2 =с~ ' '+"'+~ ( ! —— 0 Эта функция переводит отрезок (О,1) в положительную полу- ось, и мы потребуем, чтобы при переходе через точку г = 1 она получила приращение !Й; отсюда, как и в п.
39, получаем: с,(1+ у ~/1+8) =й. (8) Далее мы потребуем, чтобы точке г = — !! соответствовала точ- ка В = — р — (р так, чтобы при малых 8 дуга ВА, была близка и дуге окружности радиуса р. После замены г = — г это при- ведет к уравнению а !) Г+т3'~ — 7 о Разделяя в ней действительные и мнимые части и интегрируя, придем к следующим двум соотношениям: р = 2С("!/р — агс!и )/8), Р = 2Су ( )/1+ 8 аг1п 1/, — )/8 ~ ° (9) Полученные три соотношения (8) и (9) позволяют найти р, С и у, как функции параметра р. При малых 8 имеем: р = —,а'ь, С= — (1 — — 8), у = 1+8, Зл ~ ' 2я (, 4 (! О) Отображающая функция примет тогда вид (с точностью до ма- лых высшего порядка относительно 8) ш = — ~ аг!и !/ — М/а + ( 4 — 1) !/г ~ (! 1) В этой главе мы ознакомились с некоторыми задачами теории конформных отображений, относящимися к кругу проблем, ~формулированных в начале п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
