М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 43
Текст из файла (страница 43)
а+с гл. пь кгливыи задачи и их пииложвиия нт 212 Пусть М = зпр и(~) на С, а ьл, Гм ..., й„— точки разрыва и(с) н б — -диаметр области О, т. е. максимум расстояния между двумя точками из Р. Зафиксируем произвольное положительное число е и рассмотрим функцию У(г)=М+е ~) (и аею (4) гармонична в круге х'+ у' ~ 2х, равна нулю всюду на окружности этого круга, кроме точки г = О, и тем не менее внутри круга отлична от нуля. Теперь легко доказывается граничная теорема единственности, о которой мы говорили выше: Теорем а 6. Пусть на границе С области Р задана функция и(с,), кусочно-непрерывная с конечным числом точек разрыва первого рода ~ь ~т, ..., ь„. Сусцествует не более одной функции и(г), гармонической и ограниченной в области Р, ко- *) Действительно, любая точка а области В принадлежит некоторой области В, при достаточно малом к Функция Р(г), очевидно, гармонична в области Р, везде больше М и непрерывна в Р всюду, кроме точен са, при приближении к которым она стремится к +со, Из каждой точки ~а, как из центра, опишем круг достаточно малого радиуса г и обозначим через 0„ область, получаемую из области 0 удалением всех таких кругов.
Функция У(г) — и(г) неотрицательна на общей части. границ О и О„а при достаточно малых г и на окружностях ~г — ~а(= г, ибо функция и(г) по условию ограничена, а прн О значения У(г) на окружностях неограниченно возрастают. Отсюда на основании обычного принципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта) заключаем, что в любой точке нз 0„, а следовательно, и в любой точке нз 0 *), функция У(г) — и(г) не отрицательна.
Но так как при фиксированном г н е- О функция Р(г)- М, то отсюда вытекает, что в любой точке 0 имеем ! и (г) ) ( М. Но по теореме 5 предыдущего пуннта фуьшция и(г) не может принимать внутри О значения, равного ее максимальному значению М, следовательно, всюду в О имеет место строгое неравенство и(г) ( М. Лналогично доказывается, что всюду в Р справедливо неравенство и(г)) > т, где т =!и( и(1) на С. 3 а м е ч а н и е. Для неограниченных функций и(г) теорема не имеет места. Например, функция (5) м! З Ь ГАРМОНИЧЕСКИЯ ФУНКЦИИ торпа в точках ь т'-- ьь границы принимает заданные значения и((,) В самом деле, пусть существуют две функции и,(г) и иэ(г), удовлетворяющие условиям теоремы. Их разность и (г) = и, (г) — и, (г) гармонична в области О, ограничена и принимает значения, равные нулю во всех граничных точках Ь~ ЬА По теореме 5 все значения и(г) внутри 0 заключены между максимальным н минимальным ее значением в точках Г Ф ЬА, т.
е. равны нулю. Теорема доказана. Заметим, что в теореме 6 область О может содержать бесконечно удаленную точку внутри или на границе. Для неограниченных функций теорема, конечно, неверна. Например, в случае круга хх+ у' ( 2х и нулевых (всюду, кроме г = О) граничных значений существуют две гармонические функции, принимающие заданные значения — функция (5) и и ~ О.
В заключение выясним вопрос об аналитическом продолжении гармонических функций. Принцип непрерывного продолжения (и, 25) не переносится на гармонические функции. Например, пусть и, (г) = у в верхнем единичном полукруге, иэ(г) = О в нижнем; тогда и, = иг на отрезке ( — 1, 1), однако функция и(г), равная и! в верхнем полукруге и иг в нижнем, не является гармонической, ибо в точках диаметра у = О она не имеет производной. Однако принципы симметрии н аналитического продолжения (и. 35) остаются в силе: Теорема 7.
(Принцип симметрии) Пусть Функция и,(г) гармонична в области Р„граница которой содержит отрезок (и, 5) дейсгвительной оси, и равна нулю на этом отрезке. Тогда Функция и, (г) = — и, (й) (6) гарл2онична в области 02, симметричной с О, относительно действительной оси, и дает аналитическое продолжение Функции и,(г) в 02. Действительно, гармоничность иг(г) в области 02 очевидна. Она следует из условия (6), записанного в виде и2(х, у) = — и! (х, — у), ибо отсюда д'и,(х, у) д'и, (х, — у) . д'и, (х, у) д2а, (ло у) дх' дх2 ' ду2 ду2 Остается показать, что функция и,(г) в Р„ и(г) = О на (а, 6), и2 (г) в Оа ГЛ.
111. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПР!!ЛОЖЕ!И!Я 2!4 гармонична в области Р = Р1+(а, ())+ Ра. Функция и(г) непрерывна в Р и ее значение в любой точке г равно среднему арифметическому значений на окружности достаточно малого радиуса с центром в г. Для точек областей Р, и Ра это следует из гармоничности и!(г) и иа(г), а для точек отрезка (а, р), где и(г) = О, — из соображений снмметрип. Но тогда по теореме 9 предыдущего пункта функция и(г) гармонична в Р. Теорема 8. (Принцип аналитического продолжл ж ен и я.) Если функция и(г) гармонична в области Р, граница которой содерэкит аналитическую дугу у и значения и(г) на этой дуге образуют действительну!о аналитическу!о функцию параметра, то и(г) мозсно аналитически продолэкить через дугу у. Пусть сначала у представляет собой отрезок действительной оси х.
Так как действительная функция и(х) по условию аналитична на у, то она может быть аналитически продолжена в комплексную область (см. доказательство принципа аналитического продолжения в п. 35), Обозначим это продолжение через 1!(г) — это (комплексная) аналитическая функция в окрестности Л отрезка (а, р) и се действительная часть и!(г) — гармоническая в Л функция, равная и(х) на отрезке у. По теореме 7 разность и(г) — и!(г) можно аналитически продолжить эа отрезок, именно в область, симметричную с пересечением областей Р и Л относительно отрезка у.
Так как и!(г) уже определена в этой области, то такое продолжение даст и аналитическое продолжение функции и(г) в ту же область. Для цап!его частного случая теорема доказана. Переходя к общему случаю, предположим, что дуга у задана параметрическим уравнением г = г((), где г(1) — акалитическая на отрезке (а, р) действительной оси функция и г'(1) ФО. По условию функция и(г(1) ) = У(1) также аналитична на этом отрезке.
Продолжим фупкпп!о г = г(1) в комплексную область значений 1, содержащую отрезок (а, р); комплексные значения ! мы обозначим через с, а полученное продолжение через г= г(ь). Функция и(г(",)) = У(",) гармонична с одной стороны отрезка (а, р) (см. теорему 11 предыдущего пункта) и на самом отрезке, где ь = 1, принимает аналитические значения с!(1). Следовательно, по доказанному частному случаю, У(ь) продолжается через отрезок (а, р) и, возвращаясь к переменной*) г, мы получим аналитическое продолжение функции и(г) через кривую у.
Теорема доказана. ') Для того чтобы перейтн к переменной а, надо в У(Ь) подставить ь = й(а), где ь(а) — функция, обратная к г(йь Функция с1а) однозначна и аналитична в некоторой окрестности у, нбо на (и, Р), по условию, а'(!) Ф О. й г. глгмоничгсдпс оуггкцгггг «з) 215 В заключение отметим, что при заданных областях О, и Оз и заданном общем участке у их границы аналитическое продолжение гармонической*) функции и,(г) через у в О, определяется единственным образом.
Это следует из теоремы 4, примененной к областям О, = 02 и 0 = 02 + т + Ох. 43. Задача Дирихле. Совокупность гармонических функций— это совокупность всех решений уравнения Лапласа д'» д'» — + — =О, дх2 ду2 которое является одины из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Подобно тому как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа он~ формулируются в виде так называемых краевых условий, т.
е, заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области. Простейшее нз таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче, пли задаче Дар»хлев"); Найти гор«ионическую в области 0 и непрерывную в О функцию и(г), которая на границе О принимает заданные неггрерывные значения и(с).
К задаче Дирихле приводится, например, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней, как мы увидим ниже, сводятся и краевые задачи других типов. В приложениях условие непрерывности граннчных значений й(;) является слишком стесннтсльньм| и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле: На грангще С области О задана функция гг(~), непрерывная всюду, кроме конечного числа точек ьь ьз,,, ~„, где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гарлгоническую и ограниченную в области 0 функцию и(г), прингииающуго значения иЯ во всех точках непрерывности этой функции"*') *) Для аяалптяческого продолжепкя гарчокяческой фуякцяя сохракяегся определение и.
25 с залгеяой слова «ацалгггнческая« яа «гарыовя 2ескаяж '*) Лежен Д в р их л е (1805 — 1859) — яеяецкяй ыагеыагяк. "'*) Если задаявая функция»(й) непрерывна, то обобше222гая задача Дярпхле совпадает с обычной, ябо условие ограпячеяяостя фувкцяя»(з) следует аагоцатяческп цз условия ее вепрерывяосгв в д гл. пь кгхввыв задачи и их пвиложения [43 2!в с У (г) = и (г) — ~ — ага (а — ~ь); а, ь=! (2) она гармонична в области Р и непрерывна в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
