М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В самом деле, и(г) н все функции их(г) = — агц(г — ",х) гармоничны в Р. вл а Далее, предельные значения У(х) при х- ~ Ф ~ь равны л У (!) = и © — ~ иа Я), х ! Теорему 6 предыдущего пункта можно теперь формулировать как теорему единственности решения обобщенной задачи Дирихле. Теорема !. В данной облас'ги при заданной граничной функции и(ь) существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле. Решение обобщенной задачи Днрнхле с помощью одного приема можно свести к решению обычной задачи; для простоты мы ограничимся случаем односвязных областей, Обозначим через й(Гх) и и+(~х) предельные значения граничной функции и(~) при ~, стремящейся к точке ~х вдоль С соответственно в положительном и отрицательном направлениях, через йх — †и,) — й(!.!,) мы обозначим скачок и(~) в точке ~м г х Для общности предположим, что йх яв- ляется угловой точкой контура С и чеРис.
97. рез Ч- н Ч!+е обозначим углы между осью х и касательными к С в точке ~ч (рис. 97); пусть еще аь = 9!+ — !р- (если ~х не является угловой точкой, то ак = — я). Возьмем функцию их(г) = — ага(г — ~е), ах аз где агд обозначает надлежащим образом выбранную ветвь аргумента.
Эта функция, очевидно, гармонична в области Р и непрерывна в 6 всюду, кроме точки Г = Гм Если г- (х по пути, касательная к которому в точке ~х составляет с осью х угол 0 (значенне 0 заключено между !р„- и ф+), то эта функция стро- ях мится к пределу — 0. При переходе по кривой С в положи- ах тельном направлении через точку ~к функция и„(~) испытываег, ах ь| следовательно, скачок — Ч!+ — — Ч!- = Ь, а х а Пусть теперь и(г) будет решение обобщенной задачи Дирнхле при заданных граничных значениях и(,").
Рассмотрим функцию »з1 д !. гдгмонические етнкции и функция У(Ь) остается непрерывной при переходе через каждую точку '~», ибо при построении У(ь) мы вычитаем из функции и((), имеющей скачок йд в точке Ьд, функцию и»(Ь), имеющую тот же скачок, а остальные члены суммы (3) непрерывны в этой точке. Таким образом, действительно, решение обобщенной задачи Дирихле и(г) можно представить как сумму функции У(г), решающей задачу Дирихле с непрерывными граничными зна» » чениями у(Ь) =и (Ь) — ~~ ид(ь), и функции ~л'.! ид(г): д=! д=! и (г) = Ц (г) + ~~~ — а гд (г — ьд).
и д=! (4) По теореме ! найденное решение единственно. Из формулы (4) вытекает следующая теорема, выясняющая поведение обобщенного решения в окрестности точек 1». Теорема 2. При приближении г к точке разрыва ~д граничной функции и(т) вдоль различнык путей решение и(г) обобгценной задачи Дирикле может стремиться к любому пределу, заключенному между и — (Ьд) и и+(ьд). Действительно, пусть г — Ьд вдоль пути, касательная к которому в точке ьд составляет с осью к угол 9. Из формулы (4) следует, что и(г) при этом стремится к пределу иь ("Ьд) = й (йд) + дд 9, (5) 1) непрерывна и неотрицательна, где й(!",д) — предельное значение суммы У(г) и всех функций и„(г), кроме ид(г), не зависящее от способа приближения г к точке Ьд. В частности, приближаясь к точке Ьд вдоль кривой С дд в отрицательном направлении, получил! и+ (Ьд) = й (Ьд) + — !рд+, так что формулу (5) можно переписать в виде ' 6)=и+(~)+ — '(' — +) Отсюда и следует утверждение теоремы 2 (см.
рис. 97). Перейдем к решению задачи Дирихле для произвольной одпосвязной области П, причем сначала рассмотрим случай, когда 0 представляет собой единичный круг 1г(< 1. Для этого случая решение основывается на следующей лемме: Л е м м а. Пусть действительная функция ьл(г, ь), где г=те!», Ь=е", О~~с < 1, О~~!р, 1< 2п, 2)8 ГЛ. 1и. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧ!! И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ,2) для любого г (6) Для доказательства мы прежде всего воспользуемся условием 2) и представим разность между интегралом в левой части (7) и его предполагаемым пределом в виде Л= — „~ (и(й) — ий))(7(г, ь)йу.
l о г )еР Зададимся числом е О и, пользуясь непре- ), 28~У рывностью и(Ь) в точке Ьо, выберем б > Отак, чтобы при )! — (о~ <26 было (и(ть) — и(1о) ) = '1~ ~ =' е (рнс. 98). Имеем: =й 1 +й 1 )1-!а! <2О ! 1-тю)>2Ь где интегралы берутся по тем дугам единичной окружности, для аргументов точек которых выполнены соответствующие неравенства. Применяя к первому из пих известну1о из анализа теорему о среднем **) н снова пользуясь условиями !) и 2), мы получим: ! 1 а — !1.!1пе.1!е!< (1-!в! < 2о < 2' ~ (Т(г, Ь)й)< 2' ~ и(г, й)'с((= .
(8) ! т-и! <2о о ') Точный смысл условия 3) следуюшнй: для любого е > 0 найдутся числа р < ! и 6 > О такие, что при т > ! — р и (1р — ть( < 6 для всех 1, удовлетворнюших неравенству (! — ),! > 26, справедливо неравенство О ( (0(г,ф) <в. '*) См Фнхтеи гольд, т. )), стр.
133; теорема применима, ибо у нас ()(г, ь) ~в О. — ~ У (г, ь) Л = ), о 3) при г- (;о — — е" (ьо — любая точка окружности) и й ~ ~о Функция У(г, ь) стремится к нулю, причем равномерно относительно Ь*). Тогда для любой действительной функции и(ь), кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода, в любой точке ее непрерывности йо существует предел 2п 1)гп — ( и (й) (l (г, 6) с(г = и ((о).
(7) е-+ Са 2'! г !. ГАРмоннчгскне Функции тз! Теперь предположим, что (!р — (о! 6, тогда для всех зна- чений Г из интервала (! — (о!) 26 будем иметь (ср — г(> 6 и в силу условия 3) найдется такое число р < 1, что для этих ! и Г ) 1 — р выполняется неравенство ()(г,(,) с е (см. сноску на стр. 2!8). Таким образом, для всех г из области, заштрихо- ванной на рис.
98 (для которых )~р — (о! ( 6, Г ) ! — р), будем иметтк — Ю вЂ” (СЛСО, Са/< —.2К(2 — РЫ < 2 К, (9! ! 1-и! > то где М вЂ” максимум (и(7) ( на окружности. Объединяя получен- ные неравенства (8) и (9), найдем, что для всех г из заштрихо- ванной области (Л( ~ (1+ 2М)г, и наша лемма доказана. Перейдем к решению задачи Дирихле для круга.
Для этого заметим, что функцию с)(г, ь) леммы можно получить геомет- рически, как действительную часть конформного отображении круга !г ! ~ 1 на правую полуплоскость Ке тг ) О: о — г (Ь вЂ” г! ! — 2сссз(( — и)+Г В самом деле, справедливость свойств !) и 3) для нее очевидна, а 2) получается отделением действительных частей равенства о которое просто доказывается по теореме о вычетах п. 23 (функ- ция ) при г Ф О имеет в единичном круге два полюса: с+г с, = О с вычетом — 1 и ~ = г с вычетом 2; при г = О равенство тривиально), Теперь уже нетрудно доказать, что решение обобщенной за- дачи Дирихле для единичного круга дает интеграл (С.
Пу а- ссон ), 1823 г.) 2к ок,~ и (г ) ! — 2 со (! — )+Г' д! (г =Гг'Ф): (11) о В самом деле, функция и(г), определяемая интегралом (1!), является действительной частью функции 2к !()= —,' ~ К) —,'+'д(+ С (6= и), (!2) о ') Скмеок Пуассон ((70! — !040) — фраккузскка физик к математик. 220 ГЛ. и!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕИИЯ !АЗ которая аналитична в единичном круге по теореме 4 и. 16; следовательно, и(г) гармонична в единичном круте.
Она ограничена, ибо из (11) следует о где М вЂ” максимум ) и(Ь) ) на окружности (мы воспользовались свойством 2) функции (10)). Наконец, по предыдущей лемме, при г, стремящемся к любой точке ь непрерывности и(ь), функция и(г) стремится к и(ь), что и требуется. Теперь нетрудно доказать разрешимость обобщенной задачи Дирнхле и для произвольной односвязной области. Теорем а 3. Для любой односвязной области О и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции и(Ь) решение обобщенной задачи Дирихле суи!есгвует.
В самом деле, по основной теореме п. 28 существует конформное отображение и! = ш(г) области О на единичный круг )и!) (1. Заданные на границе О кусочно-непрерывные значения и(ь) переходят в кусочно-непрерывные на единичной окружности значения и[г(ы)) = О(ы), где г = г(и!) — функция, обратная к и! = и!(г). По этим граничным значениям с помощью интеграла Пуассона (11) можно построить гармоническую в круге [ю!(! функцию У(ш). Тогда, по теореме 11 и, 41, функция и(г) =У [и!(г)) (13) будет гармонической в области О.
Она ограничена вместе с У(п!), и при г, стремящемся к точке Ь непрерывности заданной функции и(~), стремится к значению и(Ь) = У[ш(Д), ибо при этом точка и! = !с(г) стремится к точке сэ = и!(ь) непрерывности функции У(!А). Таким образом, функция (13) дает решение обобщенной задачи Дирнхле для области О, и теорема (3) доказана. Если граница С области О не имеет бесконечных ветвей н обладает непрерывной кривизной, то решение обобщенной задачи Дирихле можно выразить замкнутой формулой. Для по-, лучения этой формулы фиксируем произвольную точку гэ области О и обозначим через ш = [ (г, г,); Цг„, г,) = О (14) функцию, реалнзующую отображение О на единичный круг )ш) (1.
Переходя, как при доказательстве теоремы 3, к плоскости ш, мы можем представить решение задачи Дирихле с помощью интеграла Пуассона. В частности, пользуясь обо-' 22! % !. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ значениями, введенными в этом доказательстве, в центре круга н> = О мы получим: (> (О) = — ~ с)(о>) о(т= — ~ () (о>) а>о (15) 1Ф1=! где н = егт и с>о = о(т — элемент длины окружности )о>(= 1.
В наших условиях, по теореме 1 п. 29, функция (14) обла- дает непрерывной производной на границе и, следовательно, (о=)Г(1; го) ! (3, Теперь остается в формуле (15) возвратиться к переменной г. Учитывая нормировку (14), по которой точке и> = О соответствует го, и соотношение (!6), мы получаем: и (г ) = — ) и (ь) — 1п о(з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
