М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поэтому функцию о(х, у) считают многозначной гарл4онической функцией, Заметим, что частные производные этой функции однозначны: до ди до дв — — — — — это вытекает из формулы (3). дх ду* ду дх' Теорему 2-можно, очевидно, сформулировать так: Т е о р е м а 2', Любую гармоническую в области 0 функцию моокно расслгатривать как действительную или мниму4о часть некоторой аналитической функции 1(г); эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаел4ого, соответственно мнимого или действительного. Мы не исключаем случая многосвязных областей, поэтому аналитическая функция 1(г) может оказаться многозначной, П р н и е р.
Подсчет частных оронзвоцных показывает, что функция и = !п (х' + уг) = 2 !и ( а ! является гармонической в кольце О ( !г) ( оо. Интеграл (2) имеет виго с (х, у)=2 ) 4, 4 +С=2Агих+С вЂ” у ггх+ х Лу 1с ха+у' ю и представляет в кольце О ( !а! ( ео бесконечпозпачную функцию, Соответ- ствуюшая аналитическая функция 1 (л) = и + го =. 2 !и ! а ! + 21 Аге х + 1С = 2 )и х + 1С также бескопечпозначна.
Т е о р е и а 3. Лгобая гармоническая функция и(х, у) является аналитической функцией своих аргументов х и у, т, е. в окрестности каждой точки го = х, + 1уо области,0 она представляется в виде суммы абсолютно сходяи!егося ряда и(х, у) = ~ с „(х — хо) (у — уо)". гь а=о В самом деле, и(х,у) по теореме 2' можно рассматривать как действительную часть функции Г(г), однозначной и аналитической в некоторой окрестности ~ г — го ~ ( )с точки го.
Пусть в этой окрестности 1(г)= лг С (г га) (6) а=о о !. ГАРмОнические Функции он 203 где со=ал+ Гр„. Действительная часть общего члена ряда (б) л л(л !) л-2 2 а„~ (х — хо) — 2! (х — хо) (у — уо) + ~+ + р„[ — и (х — х,)л (у — у,) + +, (х — хо) (у — уо) + ...~, (7) по абсолютной величине не превосходит [ с [ ( 1 х хо [ + 1 у у 1 ) а так как по теореме Абеля п.
19 ряд (6) абсолютно сходится В ЛЮбОМ КруГЕ [Х вЂ” ХО[~(Г ()С, т. Е. ряд ~о[Со [Гл СХОдИтСя — о при Г = Л, то и ряд с общим членом (7) будет абсолютно сходиться прн [х — хо[+[у — уо[()с'. Этот ряд и представляет собой ряд для и(х,у). После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимостн), мы получаем требуемый ряд (5). Теорема доказана. Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что гармонические функции обладают частными производными всех порядков. Нетрудно показать, что последние также являются гармоническими функциями (см. теорему 1 п. 17), Основываясь на теореме 3, можно получить практически удобный способ восстановления аналитической функции 7(г) по известной действительной части и(х, у). Элементарно преобразуя выражение (7) общего члена ряда для и(х, у), мы по-.
лучаем представление этой функции в окрестности точки го! и(х, у) =ао+-;я~ (сл[(х — хо)+ 2(у уо)! + л=! + с [(х — хо) — ! (у — у,)[л). Этот ряд, по теореме Абеля, сходится и для комплексных значений х и у, достаточно близких к хо и уо, поэтому в нем можно Ь о Ь хо положить х — х, = ', у — Уо = 2., где ь — тбчка, достаточно близкая к го, и мы получим: и[хо+ 2 уо+ 2; )=по+ 2 ~~~слС вЂ” хо) Ь 2О л=! ! по+ 2 [) (ь) со! ГЛ. П1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (о Заменяя здесь ь через г, после простых преобразований полу- чаем окончательную формулу 1 (г) = 2и ( ", —.' ) — со.
(8) Формула (8) получена для точек г, близких к го, но, по теореме единственности, очевидно, сохраняет силу во всей области определения 1(г), ибо в этой области обе части (8) являются аналитическими функциями г. В частности, если )(г) аналитична в начале координат, то можно положить го = О, и формула (8) принимает особенно простой вид: 1(г) =2и1-, —.) — со (2 ' 21> Приведем несколько примеров применения формул (8) и (9): 1) и = 2 + у, 1 (2) = 2 + —.
+ С = (1 — 1) 2 + С (формула (9)); 2) и !и (2'+ у"), 1(2) 2 )и ) (( +П ( — 1)21 4 )+С=21пг+С 4 (формула (8), 2, 1); 2 а1п (2+ — ) он 1~ 2) сов 2+ ) ~2 ) ( 2) и (г) = — ) и (г + ге>е) с(ср. 2я г о (10) Доказательство вытекает непосредственно из формулы (5) п. 14 отделением действительных частей. Теорема 5. Отличная ог постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.
(формула (8), -,=и/2). Во всех трек формулах С вЂ” чисто мнимая постоянная. Перейдем к рассмотрению свойств гармонических функций. На основании теорем 1 и 2 эти свойства легко получаются нз соответствующих свойств аналитических функций. Для удобства мы будем иногда писать и(г) вместо и(х, у), как пишут и(Р) вместо и(хь хь ..., х„) для функций нескольких переменных, понимая под Р точку с координатами (хь хв, ..., хп).
Теорема 4 (о среднем). Если функция и(г) непрерывна в замкнутол1 круге радиуса г с центром в точке г и гармонична внутри этого круга, то тп $4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКДИИ зов 4Ц Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции и(г) является точкой максимума функции — и(г), также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция и(г) достигает максимума во внутренней точке го области.
В окрестности точки го построим однозначную аналитическую функцию 1(г) такую, что и = 1сег(г). Функция впп аналитична и не постоянна, а ее модуль е"~4~, По НаШЕМу ПрЕдПО- ложению, достигает максимума во внутренней точке области г,. Это противоречит принципу максимума из п. 15, и теорема доказана.
Можно было бы доказать теорему 5 непосредственно на основании теоремы о среднем в точности так, как доказывается принцип максимума в п. 15. Т е о р е м а 6. Если гармоническая во всей открытой плоскости функция и(г) ограничена хотя бьг сверху или снизу, то он а постоя и на. В самом деле, пусть и(г) ограничена сверху: и(г) ~ М.
Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию 1(г) такую, что и(г)=йер(г). По условию теоремы все значения функции ш = 1(г) лежат в полуплоскостн и ( М, следовательно, по замечанию в конце п. 28, функция 1(г) постоянна, а значит, постоянна и и(г). Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций, т. е. совокупностей точек, для которых и(г) = сопз1. Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция и(г) имеет замкнутую линию уровня и(г) = ио, го внутри линии находится хотя бы одна особая точка* ) этой функции.
В самом деле, в противном случае функция и(г), непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и(г,) и наименьшего значения и(гз). По теореме 5 точки г, и гз должны ле:кать на границе области, т. е. на линии уровня; следовательно, 44(г~) = и(гз), н фУнкциЯ и(г) постоЯнна. Теорем а 8. Лгобая достаточно малая окрестность точки го линии уровня и(г) = и, разбивается этой линией на четное число 2п(п )~ 1) секторов, в которых и(г) попеременно принимает значения, болоише и меньшие ио.
Функция и(г) — ио равна нулю в точке го, 'подобрав к ней сопряженную функцию а(г) так, чтобы а(го) = О, получим аналитическую функцию 1(г) = и(г) — ио+1о(г), также равную *1 Так называют точку, в которой нарушается условие гармони шести функции.
ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛО>КГИИЯ 206 [41 нулю в точке го. Обозначим через и порядок этого нуля, тогда в окрестности точки го имеем )(г)= си(г — го)" +; + Сае,(г — га) "Э'+..., С„Ф О И, СЛЕдОВатЕЛЬНО, и(г) =из+ 4СЕ!'(г) =иО+ АГа З1П(Пф+ В)+ О(Г"), (11) где положено г — го = ге''т, А Ф О н  — иекоторыс постоянные и о(ги) означает малую порядка выше г" при г- О. Отсюда видно, что для достаточно малых г при изменении ф от О до 2я разность и — и, обращается в нуль 2п раз, меняя при этом знак.
Теорема доказана. Точно так же доказывается, что линия уровня сопряженной с и(г) гармонической функции о(г), проходящая через точку го, в окрестности этой точки распадается на и ветвей, касающихся в го биссектрис секторов, о которых идет речь в теореме 8. Из теоремы 8 вытекает, что линия уровня гармонической функции может иметь лишь простые точки (и = 1) пли кратные точки *) с различными касательными (и ) 1) — случаи изолированных точек, концевых точен или точек возврата исключаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
