М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1 1,„д 1 о 2и 3 дп 1!(ь;ао)1 с (17) Функция 1 8 (г! го) = )п 1) ! . (18) называется 4(>унк>4ией Грина для области Г>, она, очевидно, гармонична всюду в )), кроме точки го, где имеет полюс. Вводя в (17) эту функцию и заменяя го на г, мы получаем искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле: (Дж. Г р и н '), 1828 г.): и (г) = — „~ и (ь) ' о(з (19) с (' — — производная в направлении внутренней нормали). дл *) Гажордж Г р и и (1793 — )а41) — английский математик.
где о(з — элемент длины С, соответствующий Г(о. Обозначим через Г)п элемент внутренней нормали к С и через — >(р соответствующий ему элемент радиуса окружности ~а>~ = 1; тогда будем иметь )Г'()„го) !!тп = — о(р, Так как р = 11(ь,го) 1 =- 1 па с, то можно написать о(р= — =а11пр и)) (ь; г ) 1= — — = др др Р дл д1нр д 1 д = — — = — !п †, где — означает производную в направлено ди р ' дн нии внутренней нормали к С. Подставляя это в найденное выше выражение для !(о, находим; й~ = — 1п ГЬ.
д 1 1) (ь' ао) 1 (16) ГЛ. П1, КРАЕВЫБ ЗАДАЧН П ИХ ПРИЛОЖСНИЯ Формула Грина выражает решение задачи Дирихле для не- которой области 0 через логарифм конформного отображе- ния 0 на единичный круг, т. е, сводит решение задачи Днрихле к задаче конформного отображения. Оказывается и обратно, если для некоторой области 0 известно решение задачи Дк- рихле, то можно построить конформное отображение этой об- ласти на единичный круг, В самом деле, по оЧновной теореме такое отображение ш = =1(г; гь), 1(го,гь) = О существует. Предположим сначала, что мы знаем это отображение, и рассмотрим функцию Г (г) Р(го) 1!ш ! (гм го) ! (г, го) . ! (г, гь) ~ +м Она, очевидно, аналитична и отлична от нуля всюду в области 0 (функция ) (г, гь) равна О лишь при г = г,, а Г'(г, гь) Ф О в силу конформности отображения). Поэтому функция У(г) = = 1п!г" (г) ) гармонична в области О.
Ее значения на гравице С.этой области У („') = !и ~ ' " ~ = !и не зависят от вида функции 1(г, г,), ибо !1(~, гь) ~ = 1 на С. Предположим теперь, что функция 1(г,гь) неизвестна. По заданным граничным значениям гармонической функции У(Г) мы можем однозначным образом восстановить значения У(г) внутри 0 (задача Дирихле). Затем с помощью интегрирования восстанавливаем сопряженную гармоническую функцию )т(г)'; она находится с точностью до постоянного счагаемого а.
Таким образом, мы находим функцию 1п 6(г) = У(г)+ !'к'(г)+ 1а, а затем и искомое конформное отображение ) (г, гь) = (г — го) е с " = е'" (г — го) си "1+ 'Р ы! Оно определяется с точностью до поворота, что соответствует принятым условиям нормировки. Итак, задача конфорл!ного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны; они сводятся друг к другу с аол!ощыо Простыл операций дифференцирования и интегрирования. Задача отображения области 0 на полосу О < о < 1: ш = ! (г) ! (г1) ьь ! (гт) = О ! (гз) = ь" еще более просто сводится к обобщенной задаче Дирихле. Мы находим гармоническую функцию о(г) по условиям: о(Г)= О на дуге г1гзгз границы С и о(Ь) = 1 на остальной части С, затем находим сопряженную к ней функцию и(г), удовлетворяющую условию и(гз) = О.
Функция )'(г) = и(г)+ !о(г) и есть искомая. ГАРмоничаскив Функции 223 4И 44. Примеры. Дополнения. 1) Интеграл Шварца. Интеграл (12) предыдущего пункта 21 Нг)=+ 1 иЯ ~+ й!+!С Ц= и), (1) О где С вЂ” действительная постоянная, решает следующую задачу: найти аналитическую в круге !г( ! функцию, действительная часть которой на окружности принимает заданные значения и(") в каждой точке непрерывности функции и(ь) (Г.
Ш в а р ц, 1869 г.). Действительно, по теореме единственности решения задачи Дирихле действительная часть и(г) функции 1(г) вполне определяется своими граничными значениями, а из уравнений Коши — Римана следует, что тогда мнимая часть о(г) этой функции определена с точностью до постоянного слагаемого. Таким образом, формула (1) при различных С содержит все решения поставленной задачи.
Полагая в этой формуле г = 0 и пользуясь теоремой о среднем, получим, что член с интегралом равен и(0); мы можем, следовательно, утверждать, что постоянная С = о(0). Отделяя в интеграле Шварца мнимые части, мы получим выражение гармонической функции о(г) через граничные значения сопряженной к ней функции; 2п о Если мы воспользуемся методом п.
41 для восстановления аналитической функции по ее действительной части (формула (9) п. 41), то получим интеграл, решающий ту же задачу, что н интеграл Шварца, но несколько отличающийся от него. В соответствии со сказанным в п. 41 положим г = 0; тогда будем имат!а 2 Е г2= к'+ у2= — — — =О, 4 4 ге4Ф ге' е г г е 2 2г соз (4Р— Г) —.
+ — = — + — = —, е4 гет ь е (как и выше, мы считаем г = ге'Ф, ~= еи), Подставляя это в интеграл Пуассона 2е ! .2 2п,) ( ) ! + ге — 2гсое(я — !) ь 224 ГЛ. П!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧП И ИХ ПРПЛОЖЕНИЯ по формуле (9) п. 41 получим: 7(г) =2и ~ —, —,) — 7(0) = — „~ и(ь) — [(0), 2 2! и ~ г) 1 — г "= г-е полуплоскости 1!и ь) 0 на круг [ы[(1. Так как точка г переходит прн этом в ы = О, то по теореме о среднем (7 (0) = — ) У (в) !(т, О (4) где и[ь(!В)) = У(ы), а т — аргумент точки на окружности: е!$ ! — г' Дифференцируя последнее равенство, находим е" с(т =, с((, 2у (! — 2) откуда ат —, —...; перейдя в (4) к старым переменным г и (, найдем окончательно интеграл Пуассона для верхней полуплоскости: и (г) = — [ и (() — Ф Так как, очевидно, =Ке .
! (! — х)'+ у' ! (! — г) го можно написать и интеграл Шварца для полуплоскости: нли окончательно 7 (г)= —, ~ 1, — 7(0) (3) (с(=! 2) Задача Дирихле для полуплоскости. Пусть на действительной осн задана функция и((), ограниченная н с конечным числом точек разрыва; пусть еще пределы и(() прн (-+ -~со существуют и конечны. Для того чтобы найти значение в точке г гармонической в верхней полуплоскости функции и(г), принимающей заданные значения на оси, мы совершим конформное отображение $ Ь ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКИНИ 44! 225 где С вЂ” действительная постоянная. Следует, однако, иметь в виду, что в то время как интеграл (5) сходится для ограничении>х функций и(4), для сходимости интеграла (6) недостаточно ограниченности и(4)*).
Лля сходимости это~о интеграла достаточно, например, чтобы функция и(Г) при ((~- о стремилась к нулю не медленнее, чем 1/(4(о, где а ) Π— произвольная постоянная. Приведем несколько примеров. Непосредственно по формуле (5) получаем гармоническую в верхней полуплоскости функцию, равную 1 на отрезке (а, р) действительной оси и О на остальной части этой оси; р Г рлг (г й — х а — хт и(г) = — ),, = — (агс(й' — агс(д и 3 (( — х)4+рг и ( р р а Если ввести углы гр и фв, образованные векторами г — а и г — р с действительной осью х, то можно написать: и(г) = чв чя (7) (из рис.
99 видно, что срв = ф„+ ет). Таким образом, функция и(г) равна деленному на и углу се, под которым отрезок сер виден из точки г, Формула Шварца здесь также применима и она дает в я Пусть теперь заданы точки аг, а,, ач ( — оо ~ а1 < ая < ... ... ( ан ( оо) действительной оси Рис. 99, и требуется найти гармоническую в верхней полуплоскости функцию и(г), принимающую на отрезках ( — оо, аг), (аь а,), ..., (а„оо) постоянные значения ие, и,, и„соответственно. Задача решается применением формулы (7): и (г) = — '' + — ' (гр, — ф,) + ° .
° + — (и — гр„), или, после перегруппировки членов, и (г) = †' (ие — и,) + †' (и, — и,) + ... + †" (и„ , — и„) + и„. (9) ') Это объясняется тем, что интеграл от мнимой части подмнтегральной функции в (6) сходится хуже интеграла (б), гл. нь кглевыв заллчг1 н нх пгпложгния нх 3) Вывод интеграла Шварца — Кристоффеля. В качестве примера применения полу.ченных формул приведем вывод интеграла Шварца — Кристоффеля, значительно более простой, чем в п.
37; мы сохраняем принятые там обозначения. Рассмотрим гармоническую в верхней полуплоскости функцию и (г) = ага('(г) = 1т !п ('(г). Из геометрического смысла производной конформного отображения мы заключаем, что на отрезках ( — оо,а~), (аьаз), (а„, оо) эта функция принимает постоянные значения и,, иь ..., и„, ибо эти отрезки переходят в прямолинейные отрезки — стороны многоугольника.
На отрезках ( — оо, а,) и (а„оо) значение ио = и„= а — и = О, где а — угол отрезка А1А„ с осью и. При переходе через точку ах функция иЯ увеличивается на (1 — ах)н, ибо отрезок АхАи~1 получается из отрезка Ах,Ах поворотом на этот угол против часовой стрелки (см. рис. 80), следовательно, и„1 — их =(ах — 1)н, По формуле (9) находим тогда; и(г) =(а, — 1) ф, +(а, — 1) ф, + ...
+ (а„— 1) ф„+ О= =О+ ~ (аа — 1) агу(г — аа). х-1 По известной мнимой части легко восстанавливается и аналитическая функция л 1п 1' (г) = !п Со + 10 + ~~~ (ах — 1) 1п (г — аа), а=1 откуда потенцированием и интегрированием находится искомое конформное отображение 2 1(г)=Сое'~ Г (г — а,) 1 (г — а,): ... (г — а„) а!г+С, (10) 2 (Сэ — положительная, С, — комплексная постоянная). 4) Интеграл Шварца для полосы — Ь(1тг(й. Интеграл Шварца для круга )га~ ( 1 имеет вид: (11) где в = еьт (см. формулу (1)). Рассмотрим конформное отображение ге= ге(г) =!(з — ' круга )ги) ( ! на полосу — Ь ( 44 % С, ГАРМОНИЧЕСКИЕ СУНКШсИ 227 44! < 1гп е < й, переводящее нижнюю и верхнюю полуокружности соответственно в нижний и верхний берега полосы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
