М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 49
Текст из файла (страница 49)
7 Рис. !05. Рис. 104. 2) В и х р ь. Совершенно такими же соображениями получим, что вектор поля точечного вихря, расположенного в начале координат, равен А= — — ', (29) где постоянная à — интенсивность вихря, т. е. циркуляция вектора А по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь (рис.
)05), Комплекснь>й потенциал отличается от предыдущего ГЛ. ПЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 242 множителем 1, потенциальная функция и функция тока меняются местами: 1(е) = —. 1.п е + с; и — — — Ага г + сп о = — — 1П! г !+ с,. (30) г г г 2сл 2п 2п 3) В и х р е и с т о ч н и к. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности йг н вихрь интенсивности 1". Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (28) и (29) и, соответственно (27) и (30): л'+ г 1 ) (3П )()= 2' 1п + .' '! Линии тока и линии равпого потенциала в полярных координатах г = гена представляются соответственно уравнениями Г 1П г — %р = с„1 Аг!пг+ Г~а=с,.
) (32) Это — ортогональные семейРпс. !06. ства логарифмических спи- ралей (рис. !06). 4) Д и п о л ь. Рассмотрим систему источника и стока интенсивностей ~-М, расположенных соответственно в точках е, = = — Ь, гз = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока )„( ) = — '1ш( + 6) — — 1л ч У (33) (мы воспользовались формулой (27) и ее очевидным обобщением на случай, когда источник расположен не в начале координат; постоянное слагаемое мы не учитываем). Рассмотрим теперь предельное образование„ которое получается из нашей системы, когда й - 0 и одновременно У - пп так, что УЬ - р, — оно называется точечныяа диполеги с моментом р (рис. 108).
Комплексный потенциал поля точечного диполя находится предельным переходом в формуле (33) при Ь- 0: мь ьп (с+ ь! — 1.п с р и 1 р (34) л.+с 2п 6 2л и'с 2пс 5 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 243 На рис. 108 изображены линии тока и линии равного потенциала — это прообразы линей 1птв = с1 и зсе в = сз при отображении ю= —, т. е. окружности, касающиеся координатных Р 2па осей. Рис. 108. Рис. 107. 5) Простой слой.
Предположим, что источники расположены на некоторой линии С с линейной плотностью р(9) '). Обозначая г =)и — а(, по формуле (28) получим потенциал от элементарного источника р(;)ав, расположенного в точке Э, в виде 2п )пгс)з. Интегрируя, получим потенциал простого слоя и (г) = — ~ р (9) 1п г с)з.
(35) с б) Д в о й и о й с л о й. Предположим, что наряду с линией С, несущей источники с плотностью р(",), имеется линия С', кото- рая получается пз С, если на всех норма- лях к ней в определенную сторону отло- жить малые отрезки постоянной длины й,, ь и' + 7 Пусть плотность распределения источников С„ - р иа С' такова, что на ее элементе длины с)з' расположен источник величины р'сЬ' = = — р с(э (правая и левая части берутся в соответствующих точках 9 и 9', см. рис. Рис.
109. 109). Предельное образование, которое получается из нашей системы при й-+О и р(') — оо так, что )тр(9)- р('), называется двойным слоеги с плотностью момен- тов р, ') Этому полю в пространстве соответствует поле цилиндра с направляющей С и образующими, перпенликулярнынй плоскости - Цилиндр песет источники, поверхностная плотность которых постоянна на каждой образующей, Аналотнчно и в примере 6). ГЛ. П!, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 146 Найдем потенциал двойного слоя, При фиксированном йФО по формуле (35) находим: и„(г) = — " р !п г 4(з + — " р' 1и г' 4(з', 2и,) 2л с с где г' = !г — 1,"!. Для малых й, пренебрегая малыми высшего, чем й, порядка, имеем: г дг г =г — Ь вЂ”, дл ' где — — -производная в направлении нормали к С в сторону, д дл противоположную С'. Отсюда А дг) д 1и г' = !п г + !п 1! — — — 1 =1п г — Ь вЂ” !и г.
г д44 дл Учитывая еще, что р'с(з' = — р)й, получаем: и (г)= — 2„! йр(ь) д 1пг й. 1 Г д с Переходя здесь к пределу при й- О, получаем потенциал двойного слоя: "(г) = ~ И(ь) д !пг))з (Зб) с где нормаль берется в сторону кривой, несущей источники с плотностью +р (рис. 109). В заключение докажем, что любую гармоническую функцию можно трактовать как потенциал некоторого плоского поля. Для простоты ограничимся случаем односвязной области, ограниченной замкнутой кривой С, хотя утверждение верно и в общем случае. Пусть дана функция и(г), гармоническая в такой области Р; построим сопряженную с ней функцию о(г) и к функции !(г) = и(г)+)в(г) применим интегральную формулу Коши* ) п.
141 Г !(11 с Положим с — г = ге)е, тогда дифференцируя по Ь при постоянном г, находим: — = 4)) !п (~ — г) = 4( 1и г + 1 Йр. '! В случае надобности мы несколько отойдем от грананы области 44, чтобы формула Коши была применима. $ к постАнОВкА кРАеВых ВАдАч 245 Подставляя это выражение в формулу Коши н отделяя дей- ствительные 'части, получаем; и(г)= 2п ) ! (ь) й!р+ — ) о(1;) с(1пг. Г (37) и, (г) = — — ( и (ь) — 1и т <(з, 1 Г д 2п .( дп с представляет собой потенциал двойного слоя с плотностью моментов — и (с), Пусть о(ь) имеет непрерывную производную; интегрируя по частям второе слагаемое формулы (37), находим: Г дп из (г) = — — ) — !п т с(з 2п " дя с (внеинтегральный член исчезает в силу замкнутости контура); таким образом, это слагаемое представляет собой потенциал дп простого слоя с плотностью — —.
Доказана де Теорема 2. Всякая функция и(г), гармоническая в одно- связной области Р, А!Ожет быть представлена в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя, распределенных по границе Р. Если область Р многосвязна, то к этим слагаемым могут добавиться еще потенциалы точечных источников, расположенных в концах граничных дуг (сравни вывод выражения дяя и,(г)) нли в изолированных трчках границы.
47. Физические представления. Здесь мы рассмотрим различные физические интерпретации плоских векторных полей. 1) Поле скоростей течения жидкости. Пусть векторы поля У представляют собой скорости частиц в установившемся плбском течении идеальной несжимаемой жидкости. Поток вектора скорости Аг 1 (1т по)с(з с На линии С имеем с(!р= — аз; в силу условий Коши — Риде дз мана для аналитической на С функции !п(ь — г) можно напндф д!пт д сать соотношение — = — —, где — — дифференцирование дз дп ' дп по внутренней нормали к С.
Поэтому первый интеграл в формуле (37): ГЛ. И1. КРАЕВЫВ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ' 246 [47 означает, очевидно, количество жидкости, протекающее за един и цу времени через кривую С, циркуляция Г= ) (У, ас) 22з = ) (222Ь (2) с с — интеграл от касательных составляющих $', вектора скорости вдоль замкнутой кривой С. Источники и вихревые точки интерпретируются соответственно как точки, в окрестности которых отличны от нуля поток и циркуляция вдоль замкнуной кривой, округкающей точку (точнее, точки, в которых отличны от нуля плотности потока и циркуляции, т.
е. д1пг н го!). Если в некоторой области А" вихри и источники отсутствуют, то в этой области можно построить аналитическую функцию ((г) = = и(г)+1о(г) — комплексный потенциал поля — такую, что Р=П~) (3) Обратно, любую аналитическую в области гг функцию можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого плоского безвихревого и без источников течения идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотрим п1дродннамическую интерпретацию простейших особых точек аналитической функции )(г). Из примера 3) предыдущего пункта видно, что логарифмическую точку ветвления а, в окрестности которой )(г) имеет вид 1' (г) = с ! и (г — и) + А2(г), где д(г) — правильная функция, можно интерпретировать как вихреисточник интенсивности У вЂ” 2Г = 2лс. Несколько обобщая пример 4), мы видим, что полюс а первого порядка с вычетом с 1, в окрестности которого ! (2) = + Р'(г), интерпретируется как диполь, полученный от слияния двух вихреисточников интенсивности -~-(Л! — 1Г), расположенных в точ- 1 ках г1 = а — 6, гг = а; при этом с, = — !1ш (У вЂ” 1Г) Ь.
ЗЛ1, 0 Точно таким же образом можно интерпретировать полюсы высших порядков. Рассмотрим два диполя с моментами С 2 т- 2п=', расположенных в точках г, = а — Й, аг = а. ПредельЬ пое образование, получаемое из этой системы при й-РО, называется квадруполег2 с моментом 2лс г. Комплексный потенциал поля квадруполя равен С-2 ! ! 2! ! с — 2 (нп — = = — С 2— А-22 Ь ~г — а+А г — а~ 2гг г — а (г — а)'' 47) $2. ПООТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 247 Таким образом, полюс второго порядка, в окрестности которого 7" (з) = ',, + ='+ д (г) интерпретируется как совокупность диполя и квадруполя с моментами, зависящими от коэффициентов с 7 и с 2.
Вообще полюс и-го порядка функции 1(г) можно интерпретировать как совокупность мультиполей порядков 2, 4, ..., 2п с моментами, зависящими от коэффициентов главнои части разложения )(г) в окрестности этого полюса. Прн этом под мультиполем порядка 2й понимается предельное образование, получаемое при 6- 0 из системы мультиполсй порядка 2й — 2 с моР22 — 2 ментами -~- —, расположенными в точках а~ — — а — 6, е2 = а Л (мультиполь порядка 2 †дипо).
Кратные точки комплексного потенциала, в которых его производная обращается в нуль, служат точками разветвления линий тока н линий равного потенциала (см. теорему 8 и. 41, в которой в этом слччае п ) 1). Такие точки называются крит«- чегкими' точками потока; в этих точках скорость потока равна нулю. В заключение приведем вывод известной формулы С.Л.Чаплыгина для подсчета вектора подъемной силы, действующей на цилиндрическое тело в плоско-параллельном потоке. Рассмотрим движение крыла самолета ,,7 11 с постоянной скоростью — $' . При скоро- 41 стях, не приближающихся к скорости зву- С ка, воздух можно считать идеальной несжимаемой жидкостью и пренебречь вихреобразованием вокруг крыла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
