М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Ж у к о в с к о г о ( !904 г ): Р = — !рГУ„, (2) т. е. подъемная сила, действующая на обтекаемый контур, по величине равна произведеншо из циркуляции, плотности и величины скорости в бесконечности и направление ее повернуто относительно !т на прямой угол навстречу циркуляции (при Г ) Π— по часовой стрелке, при Г ( 0 — против). 2) Обтекание кругового цилиндра. Найдем сначала бесциркуляцнонный поток, обтекающий окружность (г(= = )г с заданной скоростью на бесконечности )т = о„е'а. По ГЛ.
И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕ!ШЯ ир доказанному в предыдущем пункте комплексный потенциал этого потока реализует конформное отображение внешности круга на внешность отрезка действительной оси. Такое отображение реализует функция Жуковского где й — действительная постоянная. Однако для этой функции п1'(оо) = йЯ вместо Ч = и е-1Р. Поэтому, чтобы получить комплексный потенциал потока с заданной скоростью на бесконечности, мы заменяем в последней формуле г на ге-1Р и полагаем й = Ю ; мы получаем: У 144 п1 =Ч г+ Накладывая на полученный бесциркуляционный поток чисто Г цнркуляционный поток —,. (.п г, который также обтекает зги окружность (г( = 14, найдем окончательное решение задачи п1 =1 (г) = Ч г + + — 1 п г, (4) Критические точки потока, т. е. точки, в которых скорость потока равна О (см. п.
47), определяются из уравнения Г г'+ = г — ез1РУ = О, зпФ откуда г р — (Г1 1 1 16п о )Р 1 ) 4пУ Отсюда видно, что при~ Г ~(4по„Л имеем ~ г„р ~=4 р 16п и 1;, ц обе критические точки лежат на окружности ~ г ~=14, прн (Г() 4по 44 имеем ~ г„р1= 4 ~ Г -~- ~гà — 1бп о Ч ~Ф444 и так как произведение модулей корней квадратного уравнения равно 44', то одна из точек лежит в круге ! г )< А(, а другая — вне его.
Рассмотри11 подробнее первый случай. Полагал на окружности г=)се1Р, имеем: 11'(г)(=:!о (е '" — е11Р 'Р') — — е 1ч)=(2п з(п(<р — О) — — /, Г1 ! 1 Г 2~0 2яй (6) откуда, принимая пока для простоты д = О, получаем следующие соотношения для критических точек: 1р1 а ге айп 4 рз и р1 Г (6) 263 з а пОЕТАнОВкА кРАЯВых 3АдАч чз! В точке гсерм линия тока потока, проходящая к ней, разветвляется на две: одна обходит верхнюю, а другая нигкнюю дугу окружности. В точке Ре'Р обе линии снова соединяются (рнс. 1!б,а). Первая из этих точек называется точкой разветвления, а вторая — точкой схода потока. Лля бесциркуляционного потока критические точки совпадают с '~ Й, т,', яе т',.~ Циркуляция стремится сблизить эти ю.4'.
точки — прн возрастании Г обе точки ',ф. поднимаются и при Г = 4но )с слива- а! . ° ° ° .; --, р -. рв.рр. а-' нейшее увеличение Г приводит к образованию замкнугых линий тока (рис. 1!б,в) — мы имеем уже второй случай. Если скорость в бесконечности д/ р р, . ° р .р„., В формула для точки схода (6) примет С,Г Г=4пйо з!П(ф, — 6). Заметим, что в нашей задаче вместо циркуляции Г можно задаваться точкой схода потока гхе®, ибо они Риа 1!6.
связаны между собой простой формулой (7). Через точку схода выражаетсявеличина подъемной силы в теореме Жуковского: ! Р 1= 4прРо' )з!П(ф, — О) 1 и скорость потока (ср. формулу (5) ): ! (т(=2о„! з!П(ф — 6) — ейп(ф, — б) !. (8) (9) 3) Обтекание произвольного профиля. Услов и е Ч а п л ы г и н а. Пусть дан произвольный профиль, ограниченный замкнутой кривой С, и функция ь=й'(з), И( «) =, д'(со) =1 .
(10) реализует конформное отображение внешности С на внешность круга )"„)) 1с. Тогда комплексным потенциалом потока, обтекающего профиль с заданной точкой схода ер и заданной скоростью в бесконечности, будет, очевидно, служить функция =У„д(~)+ " + —,. (.пд(е), 1т А«2 Г ГЛ. П1. КРАЕВЪ!Е ЗАДАЧИ И ИХ ПРНЛОЖЕНИЯ где )с впотне определено условиями нормировки (10), а Г находится по формуле (7) через образ ь1 =ею точки схода потока. Пусть обтекаемый цилиндр обладает острой кромкой, так что его профиль С имеет острие в некоторой точке г, с углом между касательными ап (О = а ( 1). Тогда, как явствует нз поведения конформного отображения в угловых точках (см. п. 37), в окрестности этой точки 1=У( ) = А( — г,)'к' "'+ь, (12) и, следовательно, производная + = В (г — г,)|о (13) обращается в точке го в бесконечность о) (А и  — некоторые отличные от нуля постоянные, ьо = д(го) ).
С. Л. Чаплыгин предложил считать, что при обтекании профиля с острой точкой го в эту точку под влиянием вязкости и аихреобраэования смен(ается точка схода потока (у с л о в и е Чапл о| г и на). Тогда, согласно предыдущему прил|еру, в точке о'со (;о = д(го) производная — „отображения (4) (мы заменили г на ~) имеет нуль первого порядка, т.
е. в окрестности точки го имеем: = С(ь ьо) =()(г го) 1(Ь (мы воспользовались выражением (12); С и 0 — постоянные). Обьединяя формулы (!3) н (14), мы получаем, что в окрестное~и го — = — ° — = В(7(г — г )о|(з-о) Ню ию с(т с(а о э т. е что из условия Чаплыгина вытекает ограниченность скорости у острой кромки профиля. Для контуров с одной острой кромкой условие Чаплыгина однозначно определяет значение циркуляции (ср. формулу (7)). 4) Обтекание профилей Жуковского. В п.
34 (прнмер !) было доказано, что функция ю=г+ 11 гз — аз (16) отображает внешность профиля Жуковского с параметрами И и а' на внешяость круга С' с центром в точке озо —— 1И вЂ” с(е где —, = — агс!д —, и радиуса )7о= р'ах+ И'+ с( (рис. П7 и 63).
(! 4) ') Строго говоря, в формулах ()2) н (|3) могут быть о|не логарнфмнчссю|е множители, которые не меняют сделанного вывода (см. замечание на стр. )72). а 2 постхиовкА кяхсвых злдхч 2аб Производная функции (15) в бесконечности равна 2, следовательно, функция 1; = д(г) для профиля Жуковского имеет вид: 1 1 ь= (<в в>о) = (з !вв+ )7 з а ) 2 О а радиус окружности, на которую отображается профиль, равен )7 = — ' = —, (~' ас + 6' + г().
Подставляя зто в (11), получим комплексный потенциал потока, обтекающего профиль Жуковского. Из рис. 62 видно, что аргу- Рво 117. мент образа острой точки пров филя в плоскости ~ равен — — ф =де-!"и), так что по усло- 2 вию Чаплыгина и формуле (7) циркуляция Г = — 2 ()! а + й + а!) з!п(б+ 2 ) ° (Рб) и тогда по теореме Жуковского величина подъемной силы равна ! Р1= 2про'„()7 а'+ Ьа + а!) ~ з!и '(т! + — ) ~.
(17) з= — ет + — га (18) 5) Электростатическое поле у краев плоского к о н д е н с а т о р а. Если прн изучении поля внутри плоского конденсатора это поле практически можно считать равномерным, то вблизи краев равномерность поля существенно нарушается н необходим специальный расчет. Рассматривая поле вблизи одного края конденсатора, мы для простоты пренебрежем влиянием второго края и будем представлять конденсатор в виде двух полуплоскостей, расположенных друг над другом.
Расстояние между пластинами обозначим 2Ь, их потенциалы ~!7, Задача сводится к расчету 1лоского по.я внешно.,и двух параллельных полупрямых (следов пластин конденсатора в плоскости, перпендикулярной краям пластин), т. е, к краевой задаче 2) п. 48. Комплексный потенциал ш = 1(г) реализует отображение области поля на полосу — 17 < 1т и )7 с соответствием точек ДА) = — оо, !" (С) = оо. Обратное отображение мы получили в примере 3 п.
39: гл. гп кгхевыв задачи и их пгнложвння !99 266 а!з=)/(г(х)9+ (г(у)9= —" \ е" + 2е' соз — о+ 1аРо и, следовательно, )Е~= —" — „ 1/ у — и / е +2е" сое — о+! !/ (21) (см. там формулу (13), мы лишь переменили роли г и ш, совершили подобное преобразование полосы н отбросили несушественное постоянное слагаемое). На рис. 118 представлены линии равного потенциала и силовые линии поля; их параметрические уравнения получаются соответственно при о = сопз1 или и = сопз1, нз соотношений, которые дает разделение действительных и мнимых частей формулы (18): Й вЂ” е я я а — и, и 'рр х = — !хе 9 соз — о + — и), у = — 1е !' 61п — о+ — о) (19) и )' и! (мы полагаем г =- х+ !у, ш = и+(в).
Напряженность поля по формуле (20) п. 47 равна ./ Хв~ р .!р 1 (20) 1В Внутри конденсатора, т. е. при г, близких к точке А, !в близко !р к — оо, следовательно, напряженность поля Е = — !†близка а к напряженности равномерного поля. Прн приближении к краям конденсатора напряженность поля неограниченно возрастает. Проследим изменение ве- р ! ргм ля ~!Е1= ~ — „вдоль линий рге равного потенциала, Так .р--.ы.р аналитической функции не зависит от направления, по которому эта производная Рис. ! !в. вычисляется, то мы можем вычислять ее в направлении силовой линии и = сопз1. Тогда )Ыпр! = )до), !!Гг! = еЬ, где !(з— дифференциал дуги силовой линии — находится из формулы (19) при и = сопз1: й к постАноВкл кРАеВых зАдАч Для нахождения максимума 1Е! вдоль линии равного потенциала достаточно найти минимум подкоренного выражения по и при фиксированном о.
Необходимое условие экстремума -"- И е Р + соз — о = О (котор ое получается прира вн и ванием нулю производной по и ) заведомо не выполняется, когда косинус л и У положителен, т. е. прн — ~ в1( —,, или ! о ~< †. Вдоль таких !' 2' 2 линий напряженность поля !Е! меняется монотонно, не имея ни макснмума, ни минимума, Для о = .+. — максимум К 1 (Е(= — „ е +1 стает неограниченно, как для плоского конденсатора. Этот конденсатор называется конденсаторол! Роговского. 6) Магнитное поле в зазоре электрической машины. Рассмотрим магнитное поле в зазоре между ротором и статором машины вблизи паза .1 'я Лее о' ротора. Радиусы и ширину статора и ротора мы будем считать столь большими, что это поле мало отличается от плоско- параллельного (на рис.
119,а изображено сечение машины плоскостью, перпендикулярной к оси вращения), Через 20 Рис. 119. мы обозначим ширину паза ротора; так как практически лишь весьма неболыпая часть силовых линий, проникших в паз, достигает его основания, то глубину этого паза можно считать бесконечно большой. Через Й -мы обозначим величину межжелезиого пространства, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
