М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Через комплексный потенциал выражается вектор напряженности до . д44 Е = — — — 1 — = 11" (г), дх дх (20) а следовательно, и все величины, характеризующие поле. В ча- стности, суммарный заряд, расположенный внутри замкнутого контура С, равен 4 .4~ () (', с (21) Мы видим, таким образом, что и электростатическое поле вполне аналогично полю скоростей течения жидкости — разница между этими полями (не считая несущественного различия в формулах) состоит, лишь в том, что в первом случае обе компоненты комплексного потенциала могут быть многозначнымн, а во втором действительная часть всегда однозначна.
Приведем простой пример. Рассмотрим плоское поле точечного заряда величины е, расположенного в начале координат г = О. В пространстве ему соответствует поле бесконечной прямой Е, перпендикулярной плоскости г в точке г = О и несущей заряд постоянной линейной плотности е (рис. 112). Подсчитаем напряженность поля Е = Е, + 1Е, в точке г = х+ гу, т. е. силу, действующую на единичный заряд, помещенный в этой точке. Для этого введем па Е координату й — длину, отсчитываемую *) А4ы ввоани комплексный потеиииал так, как зто принято н злектротехиипеской литератзре. Ои, о !авиано, отличается ииогкитслеи 4 от принятого в ! идроавнаиике.
% а постАНОВкА кРАеВых 3АЛАч 253 от точки г= О, и заметим, что элементарная напряженность, создаваемая зарядом едй, расположенным на высоте Ь, равна по величине (дЕ)=е,,+А,, где г =~ г ~= )Гх'+ у'.Так как вектор Е лежит в плоскости г, то его величина равна сумме проекций на эту плоскость всех элементарных напряженностей дЕ, т. е.
ка !Е~= ) соз1~ дЕ!=е ),+А, дп=е ~ —,д( = —, где 1 — угол между дЕ и плоскостью г, и = г1п1, дй = гщ «2+ А« с(1 (рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- ного заряда величина напряженности обратно пропорг4иональна расстоянию между точками, а не квадрату расстояния, как в пространственном поле. Учитывая направление вектора Е, получим: Е = — гс = —.
(22) г « Отсюда видно, что наше парис. Ы2. ле полностью совпадает с плоским полем точечного источника интенсивности йг = 4че (ср. пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20): 1 (г) = — 1 ) Е дг + с = 2е( 1.п — + с. «« (23) 4) Магнитное поле токов. Мы ограничимся случаем поля системы линейных токов 1А. По извсстному закону электротехники вектор И напряженности прямолинейного тока 1 на расстоянии г от него по величине равен 21/г, лежит в плоскости, перпендикулярной току, и направлен по нормали к кратчайшему отрезку, соединяющему точку поля с линией тока, в сторону, определяемую правилом буравчика.
Следовательно, в соответствутощем плоском поле этот вектор равен Н=Ф (24) 254 Из ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Под комплексным потенциалом такого поля понимается функ- ЦРЪЯ Р (г) = У -1-1(г = 271п г + с, (25) где У вЂ” силовая функция поля, Р— потенциал и с — произвольная постоянная. Для системы токов 78 (й = 1,2,..., п), пересекающих плоскость г в точках гм вектор напряженности и комплексный потенциал получаются сложением выражений (24) и (25) и соответственно равны н=У вЂ” ' 21,! ~ г — г А=! Р (г) = ~4 278 1п (г — гь) + с. (26) Из сравнения формул (23) н (25) можно заключить, что сетка из силовых линий и линий равного потенциала электрического поля линейных зарядов, псресекакицпх плоскость г в точках г,, полностью совпадает с такой же сеткой магнитного поля линейных токов, пересекающих плоскость в тех же точках.
При этом лишь меняются роЛЯМ44 СИЛОВЫЕ ЛИНИИ И ЛИПИП равного потенциала. В качестве примера приведем магнитное поле системы двух одинаково направленных и равных по величине линейных токов, пересекающих плоскость г в точках ~ а. Комплексный потенциал поли равен г" (г) =7(п(г' — а'), (27) силовые линии определщотся уравнением 1г — а11г+ а1= сопя(, (28) Рис, ! 13. т. е, представляют собой так называемые лемнпскаты (лемпискатой называется геометрическое нес~о точек, произведение расстояний которых до двух точек, фокусов, постоянно, рнс. 113). 48.
Краевые задачи. В предыдущих пунктах мы видели, что для изучения плоского поля достаточно знать его комплексный потенциал. Прикладные задачи обычно сводятся к определению комплексного потенциала по заданным условиям на границах полн (они диктуются самими физическими условиями данной зц З е постлновкк кглевых зкдхч 255 Из формулы (23) п. 46 следует тогда, что с ~ 2п1 = Г+ И', где Г и йг — циркуляция и поток вдоль любого замкнутого контура, охватывающего С.
Но так как поток обтекает С и в области В нет источников, то й' = 0 и, интегрируя (1), мы получаем следующее разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки: =) (~) = ~ ~ + + — „, 1п (2) где с — произвольная постощшая. Величина циркуляции Г должна быть задана — в этом состоит первое граничное условие задачи полного обтекания. Физический смысл этого условия мы выясним ниже (см. п. 49, примеры 2) и 3)). Второе граничное условие относится к контуру С; в силу условия обтекания в любой точке контура С скорость потока должна быть направлена по касательной к С. Иными словами, контур С должен быть одной из линий тока, т. е.
на контуре С должно выполняться условие и (х, у) = сопз1. (3) Докажем единственность решения задачи нри заданной скорости в бесконечности )г и заданной циркуляции Г, Пусть задачи) или, как говорят, к решению заданной краевой, или граничной задачи. При этом, если задача физически правильно поставлена, то заданные условия должны полностью опредслять поле, т. е. комплексный потенциал поля должен определяться с точностью до постоянного слагаемого. Мы приведем здесь простейшие постановки краевых задач теории плоского поля, причем для определенности будем пользоваться гидродинамической терминологией.
В примерах решсния этих задач мы будем рассматривать и другие интерпретации. Начнем с трех задач на обтекание. 1) П о т о к в о в н е ш н о с т и з а м к н у т о й к р и в о й. Мы предполагаем, что область поля 0 содержит внутри бесконечно удаленную точку и ограничена одним контуром С вЂ” границей тела, погруженного в жидкость (Π— внешность контура С). Пусть тело поступательно движется с постоянной скоростью — У, или, что то же самое, тело покоится и на него набегает поток со скоростью У . Тогда производная комплексного потенциала — функция, комплексно сопряженная скорости потока (см. формулу (3) предыдущего пункта), — должна быть правильной в бесконечности, однозначной в области 0 аналитической функцией.
Ее лорановское разложени: в окрестности бесконечно удаленной точки имеет, следовательно, вид ГЛ, И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !48 /г(г) и /,(г) — комплексные потенциалы, соответствующие двум решениям задачи, и )(г) =1! (г) — /8(г). Функция 1(г), очевидно, однозначна и аналитична всюду в О, включая бесконечно удаленную точку. Ее мнимая часть о(г) постоянна на С и гармонична всюду в 0 (включая бесконечно удаленную точку). По теореме единственности решения задачи Дирихле должно быть о(г) = — сопз( и, следовательно, /(г) = сопз1.
Таким образом, наши комплексные потенциалы отличаются лишь постоянным слагаемым, что не влияет на распределение скоростей. Отметим, что в случае бесциркуляционного обтекания, когди Г = О, комплексный потенциал ш = / (г) реализует взаимно-однозначное отображение области 0 на внешность некоторого отрезка, параллельного оси и. В самом деле, из разложения /(г) в окрестности бесконечности ю =!(г) =-у г+ с — с ! — ... видно, что главный член разложения имеет вид У„г, следовательно, функция ш =/(г) реализует взаимно-однозначное отображение окрестностей бесконечно удаленных точек плоскостей г и ш (это следует также из того, что существует /'(ьь)= = У„чь 0). Так как /(г) имеет в области Р один полюс первого порядка (в бесконечности), то по принципу аргумента (п. 23) для достаточно больших а имеем; 1 — п(а)= —, ) ' =О, Г Р(,1,!.
2пю,) / (г) — а с где п(а) — число а-точек /(г) в области 0 и кривая С проходится против часовой стрелки. Но п(а) — целочисленная и непрерывная функция точки а, следовательно, она постоянна и 1 — п(а) = О для всех значений а, которые не принимаются функцией /(г) па контуре С. Таким образом, /(г) в области 0 принимает и притом только один раз любое значение, которое она не принимает на контуре С, а этот контур, как видно нз граничного условия (3), она переводит в отрезок, параллельный оси и. Утверждение доказано. Задача распространяется на случай обтекания системы контуров (полипланы).
В этом случае, кроме скорости а беско. нечности, следует задать значения циркуляций прн обходе каждого контура. 2) Поток в криволинейной полосе. Пусть даны две линии Сь и Сг, имеющие общими лишь свои концы, расположенные в точке г = со, и пусть 0 — область, заключенная между этими кривыми. В области 0 требуется построить без. вихревой поток, обтекающий Сь и С! и имеющий заданный рас- э 2. ПОСТА!!ОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 257 ход Лг, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
