М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Очевидно, во всех плоскостях, параллельных 5е, картина поля одинакова и, следовательно, поле полностью описывается плоским поле,и векторов, лежащих в плоскости 5е. Прп этом, говоря о точке плоского поля„ мы будем иметь в виду бесконечную прямую плоскопараллельного поля, перпендикулярную 5е и проходящую через эту точку, кривая будет означать цилиндрическую поверхность, а область — цилиндрическое тело. Введем в плоскости 5о систему декартовых координат (х,д)1 тогда каждый вектор поля А с компонентами (А„Аз) будет характеризоваться комплексным числом А =А„+ (Аа, ГЛ. !П, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 236 причем компоненты являются известными функциями х и у: А, = А, (х, у), Ав — — А„(х, у), (2) У= ) (А,пе)г(з, с (3) где (А, ио) означает (как и дальше) скалярное произведение вектора поля А н единичного вектора нормали и' к кривой С. Если обозначить через с(х и с(у дифференциалы вдоль С, т.
е. положить войз = йх+ !йу, то будем иметь пойз = — !за йз = = йу — !'йх, (А, пе)дв = А„с(у — Авс(х, и формула (3) принимает вид У= ) А„ду — Авйх. (4) с Поверхностная плотность потока, т. е. предел отношения потока через замкнутую кривую С к плошади 5, ограниченной этой кривой, взятый в предположении, что область 5 стягивается к точке г, называется дивергенцией, пли расхождением поля в точке ги б(ч А=!Ип — ~ (А, ие)йз; !" (5) С'ав с как известно, дАл длв б!ч А = — + —. дл др ' (бр *) Основные понятия векторного анализа мы считаем известными; см., например, Фихтенгольц, т. 1П, стр.
445 и след. илн, что то же самое, комплексного переменного г = х+!у. Таким образом, плоские стационарные векторные поля описываются с помощью комплексных чисел и функций комплексного переменного. Более того, в условиях„которые выполняются для наиболее важных практически полей, оказывается возможным построить описывающую поле а н а л и т и ч е с к у ю функцию, так называемый комплексный потенциал полл. Благодаря применению хорошо разработанной теории аналитических функций задачи, связанные с такими полями, поддаются наиболее глубокому анализу и удобному для расчетов решению. Остановимся подробнее на построении комплексного потенциала.
Для этого напомним основные понятия векторного анализа плоских полей*), Мы будем, как принято, пользоваться гидродинамической терминологией, хотя все, что мы будем говорить, относится к полям самой различной физической природы. Потоком векторного поля А через кривую С называется ин- теграл $ К ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Точка поля, в которой д(ч А чь О, называется источником (иногда говорят об источниках лишь в случае, когда д1чА ) 0; точку, в которой д)чА (О, тогда называют стоком). Если в каждой точке некоторой области 0 длг дАд д(ч А = — + — = О, дг ду (7) то говорят, что поле соленоидально в этой области. В таком поле поток через любую замкнутую линию с, внутренность которой д принадлежит полю, равен нулю — это следует из известной теоремы Остроградского: ~ (А, пб) да= ~ ~ д1чАд5.
(8) (9) Функция о(х,у) восстанавливается (с точностью до постоянного слагаемого) по своему полному дифференциалу ауо с помощью интеграла г о(х, у) = ) — АуаУх+ А.ду+ сопз1. гу (10) По той же теореме поток через любое сечение трубки тока (так называют область, ограниченную двумя линиями тока, т. е. кривыми, в каждой своей точке Ю ° ' Ш.. ° --. -у Ш' го вектора поля) одинаков (рис. 103). '"У...... (7) показывает, что выражение — Агдх + А„ду является дифференциалом некоторой ,уу г..., функции о(х,у), которая называется функцией тока.
Это название объясняется тем, что Рнб. ~ОЗ. линии уровня функции о(х,у) являются линиями тока. Действительно, вдоль такой линии уров- ду АР ня имеем до = — Агдх + А„ду = О, следовательно, дх А т. е. направление касательной к этой линии совпадает с направлением вектора А.
Из выражения дифференциала функции о вытекает, что ее частные производные равны, соответственно, 233 ГЛ П!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 14в В силу условия (7) этот интеграл в односвязной области 0 не зависит от пути и, следовательно, определяет однозначную функцию, а в многосвязной области обладает циклическими по- стоянными и определяет многозна тую функцию*), В соленоидальном поле поток через линию С согласно фор- мулам (4) и (10) равен приращению функции тока в концах С: йг= ) — Аайх+А,с(у= ~ йо=п(га) — о(г,), (!1) к, г, при этом, если область 0 многосвязна, следует брать ветвь о(г), непрерывную на линии С Далее, циркуляцией поля вдоль замкнутого контура С на- зывается интеграл вида Г= ~(А, ао)й.= ~л„йх+А„йу.
(12) с с Поверхностная плотность циркуляции, т. е. предел отноше- ния циркуляции вдоль кривой С к площади 5, ограниченной этой кривой, взятый в предположении, что 5 стягивается к точ- ке г, называется роторож или вихрем поля **) в точке г го1 А =! Нп — ~ (А, в") сЬ; (13) с->к ~ с как известно дАа дАк го1А= —" — —. (14) дх ду ' Точка поля, в которой го1 А Ф О, называется вихревой точкой, или, короче, вихрем поля. Волн в кагкдой точке некоторой области 0 дАа длк го1А= — — — =О (15) дх ду то говорят, что поле является в этой области безвихревыж, или иотенциальныл!. В таком поле циркуляция вдоль любой замкнутой линии с, внутренность й которой принадлежит полю, равна нулю — это следует из известной формулы Римана — Грина ~ (А, в') йв= ~ ~ го1 АйЯ.
(16) с ') К интегралу (1О) при условии (7) полностью нрииеняются рассуждения относительно интеграла (2) и. 41. '*) Для пространстиенныт полей плотность цяркуляции дает лишь проекцию вихря на направленно нормали к площадке 5; сам же вихрь является вектором. Можно считать, что и в плоском поле вихрь является вектором, направленным перпендикулярно к плоскости поля. Тогда абсолютная величина (13) будет давать модуль этого вектора, а знак указывать ориентацию.
А а постАПОВкА кРАВВых ЗАДАЧ ьв 939 Условие потенциальности (!5) показывает, что выражение Ахйх+ Акс(у является дифференциалом некоторой функции и(х,у), которая называется потенциальной функцией нли потенциалом поля. Это название объясняется тем, что нз соотношения А,йх+ Ауйу = йи вытекает дх ' (17) ди А ду нли, что то же самое, 'А = пгай и (скаляр и по отношению к своему градиенту А и называется потенциалом). Потенциальная функция восстанавливается по своему дифференциалу с помощью интеграла х и(х, у)== ) Л,йх+Л, йу+сопэ!. (18) В силу условия (15) этот интеграл в односвязной области Р не зависит от пути, а в многосвязной области обладает циклическими постоянными.
Если в области 0 поле одновременно является н солспоидальным и безвихревык|, т. е. в ней выполнены условия (7) и (15), то из сравнения формул (9) и (17) мы получаем: ди да ди дь дх ду ' ду с>х ' (20) называется комплексным потенциалом поля — это н есть описывающая поле аналитическая функция, которую мы хотели построить. Из предыдущего вытекает, что если поле занимает многосвязную область (например, имеет источники, нли вихри, которые приходится исключать из области для возможности нашего построения), то комплексный потенциал может оказаться и многозначной функцией. С помощью комплексного потенциала выражаются все основные величины, характеризующие поле.
Например, по формулам а это — уравнения Коши — Римана. Таким образом, доказана Т е о р е м а 1. В плоском поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются сопряесенныл|и гармоническими функциялш. Отсюда вытекает, в частности, что в таком поле линии тока и линии равного потенциала образуют ортогональные семейства; совокупность этих семейств иногда называют сеткой поля, Функция комплексного переменного ! (В) = и(х, у) + !о(х, у) Гл.
и1, кРАеВые 3АдАчи и их приложения 240 (17), (19) и формуле для производной аналитической функции из п. 5 находим вектор поля ди . ди ди . до А= — + 1' — = — — 1 — =Т"'(г). дх ду дх дх (21) Отсюда вытекает, между прочим, что производная комплексного потенциала всегда однозначна. ДаЛЕЕ„1'(г)ига =(А„— 1Ая) (С(я+11(у), СЛЕдОВатЕЛЬНО, фОрмулы (4) и (!2) можно переписать в виде Аг = 1гп ~ (' (г) г(г, Г = Ке )Г )' (г) г(г. с с (22) Объединяя обе формулы, получаем: Г + тйг = ~ ~'(г) г(г. с (23) где г = )г~ — расстояние точки от начала координат и ао = = г/~г) — единичный вектор, направленный из начала к точке г.
Поток вектора через любую окружность ~г~ = г с центром в начале равен Аг= ) (А, то)г(з=ф(г). 2пг, 12 ~=г Этот поток не должен зависеть от радиуса, ибо по формуле Остроградского (8), примененной к кольцу г1 ()г~ < гь мы получаем: (А, ге)г(з — ) (А, то)сЬ= ) ~ с)1чАг(5=0, г, < ~е1Сг так как в этом кольце отсутствуют источники и, следовательно, с)1ЧА = О. Отсюда следует, что величина Аг постоянна и, значит, А' 1Р (Г) — „ (25) ') Такое поле следует представлять иак пространственное поле, вознииающее от дейстаня источнииоп, равномерно распределенных иа прямой, перпендикулярной плоскости а а начале координат. Аналогично и а примерах 2 — 4.
Приведем несколько примеров простейших плоских полей. 1) И сто ч ни к. Пусть в поле имеется единственный точечный источник, расположенный в начале координат; вихри отсутствуют*). Ич соображений симметрии ясно, что вектор поля имеет вид А=ф(г)ге (24) 4 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 241 Число >у называют интенсивностью источника. Подставляя это значение в формулу (24), получаем вектор поля в виде А> А> г А> 1 . то 2ят ' 2я !г!' 2я г ' (26) По формуле (2!) находим производную комплексного потенциала А> ! Г(г) = —, 2я и и, следовательно, сам комплексный потенциал имеет вид ) (е) = — (.и з + с.
А> (27) Отделяя действительные и мнимые части, получаем потенциальную функцию и функцию тока: и= — !и! г )+ с„ А> (28) Па рнс. !04 (и следующих) сплошными линиями указаны ли- нии тока и пунктиром — линии равного потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
