М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для достаточно малых. 3 д значений Л частные производные функции и(х, у) Ф можно приближенно заменить отношениями разностеи и (х + Л, у) — и (х, у) и .ы и (х, у + Л) — и (х, у) (1Р Л Е ГЛРМОИИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 233 щперполирования и, следовательно, значения и в таких точках можно считать известными. Неизвестными считаются значения и во внутренних узлах сетке, для определении которых имеется система линейных уравнений (4). Решив эту систему, мы найдем приближеш<ое решение задачи Дирихле, ибо, как доказал Л.
А Люстерник, при й-ьб решение разностного уравнения (4) стремится к гармонической функции и(х, у). Доказательство этого предложения читатель может нанти в книге И. Г. Петровского [1] Так как число уравнений системы (4) весьма велико, и эта система симметри ша, то ее решение удобнее всего находить с помощью метода итерации. Для этого прежде всего перепишем уравнения (4) в обозначениях, смысл которых ясен нз рис. 101, и, + из+ из+ и, ие = 4 значение функции и(х, у) в каждом узле сети равно среднему арифметическому ее значений в четырех соседних узлах. После этого зададимся произвольно начальной системой значений и во внутренних узлах сетки (О-система) и найдем средние арифметические значений этой системы, причем для некоторых узлов придется испотьзовать и известные значения и в граничных узлах.
Построенные средние арифметические будут давать первое приближение (!-система). Затем находим средние арифметические значений первой системы, опять используя для некоторых узлов известные граничные значения и, получим второе приближение (У-система) и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока переход ог (и — 1)-й системы к п-й не дает изменения в пределах нужной точности.
Практическое осуществление вычислений по методу итераций зависит от имеющихся в распоряжении вычислительных средств. Наиболее совершенным средством являются быстродействующие вычислительные машины, которые в очень короткий срок дают решение задачи с весьма большой точностью. Для проведения вычислений вручную или при помощи малык машин (типа арифмометра) удобно заготовить достаточное число шаблонов.
Нулевой шаблон состоит из сетки, подобной заданной, но такой, что ее липни проходят посредине между линнямн заданной сетки, а узлы лежат в центре квадратов. Квадраты шаблона. содержащие граничные точки сетки, обводятся жирными линиямн, и в нпх вписываются заданные граничные значения, Остальные шаблоны отличаются от пулевого лишь тем, что в ннх срезаны квадраты, содержащие граничные данные.
Эти шаблоны лучше изготовлять нз кальки. Вычисления ведутся следующим образом. 1) Внутренние клетки нулевого шаблона заполняются значениями О-системы. Заметим, что чем ближе эти значения к истинным, тем быстрее сходится итерационный процесс, поэтому правильный выбор О-снстемы имеет большое значение. 2) Первый шаблон накладывается на нулепой так, чтобы соответствующие клетки находплпсь друг иад друтом, а клетки этого шаблона заполняются средними арнфметкческнми значениями 0-системы (с учетом граничных зпаче.
внй, которые остаются непокрытыми первым шаблоном). Для ускорения про. цесса прп подсчете средних арифметических можно использовать найденные значения 1-системы — шаблон нз кальки хорошо приспособлен для этого, ибо после того как написано значения 1-системы, находящееся под ним значение на 0-!паблоне почти не видно. 3) Второй шаблон накладывается на нулевой н первый, н клетки второго шаблона заполняются средними арифметическими значений 1-системы (с уча!оп граничных значений и уже найденных значений У-системы).
То же де.чается и с третьим, четвертым и т. д. шаблонами до тех пор, пока следую. щий шаблон не совпадет в пределах заданной точности с предыдущим. Полученная система значений и есть искомая. 14$ ГЛ. П!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖГИИЯ 234 Мы уже говорили, что хотя с принципиальной точки зрения итерационный процесс сходится при любой начальной системе значений '), все же скорость его сходимости существенно зависит от того. насколько начальная система близка к истинной. Если результат пе требует большой точности (3 знака), то для определенна начальной системы можно >юпользовать графический метод. Он состоит в том, что заданные на кривой С значения изображают с помощью аксонометрической проекции в виде линни Г в пространстве (х, у>, г); через эту лияию проводят на глаз поверхност~ (лучше всего представ>>ть ее как мыльную пленку, натянутую нз Г) и снимают с чертежа ординзты этой поверхности яад )зламн сетки.
Значительно эффективнее выбирать в качестве начальной системы для метода итераций решение той же задачи, полученное каким-либо более простым приближенным методом. Среди таких методов особое место занимает так называемый метод ана- логипЗ основанный на использовании моделирующнх устройств, физические процессы в которых описынаются уравнением Лапласа. Одна из наиболее употребительных аналогий — электрнческая — основана па там, что этому уравнению удовлетворяет потенциал электрического поля в тонком плоском слое проводящего вещества.
Для практического осуществления этого метода <>бычио изготовляют пз какога-либо изолирующего материала границу области, для которой пало рспп>ть задачу Днрихле, н укрепляют эту границу в ванне так, чтобы вн> >ренность области можно было за>щть слоем электролита, Можно, напрнчер, укрепить пластилином по контуру границы области стенни из гибких изолирующих полосок высотой в 1 — 2 сж и залить образовавшу>ося область слоем ,слабо подсоленной воды, Теперь остается сооб>цигь точкам границы потенциалы в соответствии с заданными граничными условиями — это делают с помощью за>кимов нз проволок нли тонких металлических пластинок, закрепляе° ° о,,сь 1:,! «, ° ° ° мых на стенке, к которым подвОдятся ° , 'Х Х! Х~ Х, Х . напряжение. Распределение потенциала , н, — 0~-,Т.
Т%т (, внутри области исследуется прп почоши "ь — ~-''Ч--Д4 — Ф' — ~'-' =" нгольчатого зонда. При хорошея выпол- нении модели и при соблюдении особыт р — ь+' мер для уменьшения погрешностей эгпч ° Х Х Х Х) Х( * методом можно получить точность до 1 — 2%. 1Х Х !Х~ 'Х * Вместо элентрической ванны чожяо * использовать проводящую бумагу (папричер, бумагу, покрытую тонким слоем графита), которая вырезается по форче заданной области и н границе которой Рис. 102.
подводятся потенциалы в соответсгвян с заданнычи значениями. Этот способ проще, чеч способ электролитической ваяны, но менее точен — ои дает точность около 5%. Более подробное опнсание метода аналогий читатель может найти в ннпге П. Ф. Фильчакова и В, И. Паичншипа (5). Если требуется большая точность (4 — 5 знаков) п сетка содержит большое чясло узлов, а вычисления ведутся вручную, то лучше сначала провести итерационный процесс с более грубой сеткой, составленной из квадратов основной сетки, взятых в шахматном порядке (заштрихованы на рис. 102).
На этом этапе можно проводить итерации до совпадения 2 — 3 знаков. Когда это достигнуто, нужно вернуться к основной сетке в вычислить значения в пустых клетках, отмеченных на рнс. 102 косым крестом, как средние арифметические *) Доказательство см. в дополнении Д. Ю. П а п о в а в книге С к а р- б о р о, Численные методы матемагвческого анализа, ОНТИ, 1934. й з постановка кРАГВых зхдАч 235 гб1 чшырех соседних по диагоналям значений, а затем в остаишихся пустых клетках как обычные средние арифметические. Полученную таким образом систему пшчсшш принимают за начальную и далее ведут процесс итераций лля основпоп сетки с полным числом знаков. для ускорения процесса итераций разработано большое количество разнообразных приемов, выбор которых определяется особенностью задачи, а заиже применяемыми вычислительными средствами.
При вычислениях па малых чашшшх наиболее аффективны таи называемые релаксационные приемы нли мезоды применения поправок по различным формулам. С этими приемами и метг~дамн читатель может ознакомиться, например, по книгам В. В «М и ли а «Чпсленлое решение дифференциальных уравнений», ИЛ, 1955 илн Л.
К о л л а т ц а «Численные методы решения дифференциальных уравнений», !1Л, 1953. 9 2. Физические представления. Постановка краевых задач В этом параграфе мы рассмотримосновныефизнческнепредставления, связанные с теорией функций комплексного переменного. Они относятся к плоским векторным полям различной физической природы (пп. 46 и 47), а также к плоскому напряженному состоянию тела, которое имеет характер более сложный, чем векторный (и. 60). Эти физические представления, естественно, приводят к прнзожс.шям теории функций к различным областяи физики.
Основное внимание в этом параграфе мы уделяем постановке соответствующих задач (пп. 48 и 50) с тем, чтобы в дальнешпеи изложении дать и конкретные примеры таких приложений. Лишь в п. 49 мы приводим ряд конкретных задач, которые решаются методом копформных отображений. 46. Плоское поле и комплексный потенциал. Мы будем рассматривать здесь стаааонарные плоско-параллельные векторные поля. Это означает, во-первых, что векторы поля не зависят от времени, и, во-вторых, что векторы поля параллельны некоторой плоскости 5,, причем во всех точках любой прямой, перпендикулярной к 5е, векторы поля равны (по величине н направлению).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
