М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Для задачи ! заметим прежде всего, что из формул (2) н (25) предыдущего пункта вытекает формула для вектора напряжений, отнесенного к элементу, нормаль которого образует угол а с действительной осью: -л'н= ((СОЗЯ а З1Па дт)(дя +1 д )= . д уаи .аит = — 1 — 1 — +! — ), (5) дз (, дк ду !' где — = сов (а+ — ) — + згп (а + — ) — — символ производдз = '( й)ах ~ й)ау хой в направлении элемента. Из этой формулы вытекает, что на контуре С вЂ” +1 — =1 ) хт„ага+ А, ди .ди дх ду (6) о $2.
пОетлновкл кРАеВых 3АдАч 283: 50 Отсюда следует, что в задаче П эти функции вполне определяются заданием одной нэ них в какой-либо точке области, например условием р (о) = о (о) (мы предполагаем, что точка 2 = 0 лежит внутри Р). В задаче 1 при допу- дУ д(! стимых изменениях»р и»р функция — + ! —, как видно яз (8), меняется дх ду' на Ь+ бь так что задание постоянной А накладывает одну связь яз Ь н Ьь Поэтому в задаче'! при заданной величине Л остаются свободнымн один номплексный и один Лействительный параметры и можно, например, задать условия »р (0) = !ш 45' (0) = О.
(Ро) В заключение опишем изменения, которые вяосятся в постановку краевых задач в случае неограниченных илн л»ногосвязных областей. Пусть сначала область Р ограничена н ее граница состоит нз замкнутого контура С„ солержащего внутри контуры Сь Сь ..., С . Из физических соображений ясно, что наприжения и смещения остаются в этом случае однозначными, однако функции ср и ф могут оказаться многазначными.
Выясним характер их многозначности. Из формулы Колосова Х» + У„ = 4ре»р'(2) следует, что Ве»р'(2) однозначна, но !ш ф'(2) при обходе каждой из внутренних кривых С» против часовой стрелки может получать приращение, которое мы обозначим 2пл, (см. п. 4!), Отсюда следует, что функция йг(2) будет при этом получать приращение 2ша» и, значит, функция ф (2) — ~~~~ л 1 П (2 — 2») = ф (2), А=! где 2» — точна, лежащая внутри С», будет олноэначпой в Р. Интеграл ф(2) дз в области Р также может оказаться многозначной функцией, причем эта многозначность будет вызвана члеяами вида Ь» Вп (2 — 2»). Таким образом, интегрируя соотношение (! !), мы получим, что и л ~ (2) = ~~р~ а 2 1 П (2 2 ) + ~ Ь 1 П (2 — 2 ) + »р* (2), А=! »=1 (12) где ~р»(2) — функция, однозначная в Р, ໠— действительные и Ь» — комплексные постоянные.
Как видно из (и ) нли (!2), функция ~"(2) однозначна а Р. иэ второй формулы Колосова (27) п. 50 мы заключаем тогда, что ф'(2) — однозначная функция, н следовательно, л ф (2! -м~~' с» 1 и (2 — 2») +»р (2), А=! (1ЗР где ф*(2) олнозначна в Р и с» — номплексные постоянные. До сих пор мы пользовались только однозначностью напряжений. Иэ полученных формул (12) и (13) н из формулы (24) и. 50 видно, что при обходе С» функция 20(и+ и) получает приращение, равное приращению фУнКЦии Ка»21П(г — 2») + кЬ»1 П(2 — 2») — за» 1 Ч (2 — 2,) — Ь»1 П (2 — 2»), гл гн дрлааыа злдлчи и их приложания 1!в 284 т.
е, равное 2п) ((к+ 1)а»а+ нЬ»+ с»), где я — точка Р, в которой начи. нается и кончается обход. Условие однозначности смещений приводит, следовательно, к условиям о =О, с,= — хЬ, (14) и фупнции »р и »р принимают вид ф (а) = ~~~~ ь» ьп (а — «л)+ ф (а), (16) ф (г) = — х ~ Ь, 1 п (а — я ) + ф' (а), где ср» и ф' — однозначные функции, а Ь» — комплексные постоянные. Коэффициенты Ь» имеют простой механический смысл: )т(»! 2п (!+ и) ' (16) где гт»! — главный вектор внешних условий, приложенных к С».
В самом деле, по форл»уле (6) этот вектор равен р4 = — ! Р Из=18 ~ — +1 — ~~, Ы ~, /дР д(71 л ''сл ( дх ду ~' с (!7) В задаче 1 коэффициенты Ь» заданы, а в задаче и они остаются неизвестными. Граничное условие (4), к которому приводится решение задачи !1, для многосвязных областей не изменяется, в то время как условие (8), к которол~у приводится задача 1, нуждается в некотором уточнении. В самом деле, значения постоянной А на различных граничных контурах могут оказаться различными, так что это условие следует теперь записывать в виде; на С» ф (ь) + ь~' (ь) + ф (ь) = ! (ь) + А„, (8') где .4» — постоя»шые (й = О, 1, ..., а).
Более подробный анализ показал бы, что одну из этих постоянных »»о»ино задавать произвольно, а остальные определяются условием однозначности смещений. Отметим еще, что как явствует из физических соображений, решение задачи 1 может существовать лишь в том случае, когда главный вектор п главный момент всех внешних усилий, заданных на полной границе С = Со + С! + ... + Сл области, равны нулю. Условие равенства пулю главного вектора по формуле (7) равносильно равенству нулю полного прйращения заланной на границе функции 1 = ), + 1)». где Л вЂ” приращение прн обходе С» (знак — перед интегралом объясняется теч, что мы рассматриваем вектор в пеши их усилий).
По формуле (21) п. 50 мы получаем отсюда 44 '=1ЛС (ф(з)+ аф'(я)+ ф(ао= — 2п(!+и) Ь . -с» $2. ПОСТАНОВКА КРАВВЫХ ЗАДАЧ 265 5«! (в случае односвязной области оно выполняется автоматически, если задан- ная функция непрерывна). Условие равенства нул«о главного момента (хӄ— уХ„) «(з = 0 С легко преобразовать, если заметить, «что по формуле (7) Х„«(х = А«(ь У,«(з = = — «()«и, следовательно, после интегрирования по частям зто условве при- нимает впд: ~ (хУ вЂ” уХ ) «(з = — б (х) (6) + у) (6)) + ~ ) «(х + (,«(!« = О.
С учетом условия (!8) зто условие можно переписать в аиде 7««)х + !««(у = О. С (19) Если область неограниченная и содержит точку а = «х«внутри, то все наши рассуждения останутся в селе, еслв к рассматриваемым суммам добавить еще член вида Ь Е«т з, соответствующий обходу бесконечно удаленной точки. Коэффициент Ь выражается через главный вектор у внешних усилий, приложенных х границе области: у 2п (!+и) (16') — в отличие от случая ограниченной области он не обязан равняться пулю. Этот вектор считается известным: в задаче 1! он должен быть задан, а в задаче 1 определяется по заданным внешним напряжениям. Если предположить, что напряжения остаются ограниченными в бесконечности, то из форл«ул Колосова (26) п. 50 видно, что главные части лорановских разложений Аз*(х) и ф«(х) в бесконечности могут содержать лишь первые степени г. Таким образом, в рассматриваемом случае выражения для фупиций «р и ф принимают вид й«(з) = ~Чр~ ЬА 1. п (а — з«,) + Ы.п з + 1 " + «ро (а), (20) «р (а) = — н ~~ Ь 1.п (г — х ) — нЫ.п х + Г'з + фо ( ), А=! где Ьз и Ь определяются по формулам (!6) и (16'), а «р, и фз — функции, однозначные в Р и правильные в бесконечности.
Постоянные Г,н Г', как видно нз формул Колосова (27) п. 50, выражаются через напряжения в бесконечности. Л +1ы 4((еГ 1м — Х~+2!ХР 2Г (21) «р (г) = Ы.п з + «р" (з), ф (з) = с Еп з + ф* (г), В случае задачи 1! оии считаются заданными; в случае задачи ! зздаются Ке Г и Г' (можно доказать, что 1ш Г на распределение напряжений не влияет). Случай, когда область Р содержит бесконечно удаленную точку на грапаце, в общем виде мы рассматривать не будем, а ограничимся случаем, когда Р представляет собой нижнюю полуплоскость. Мы принимаем здесь так же, как и в предыдущем случае, что в окрестности точки г = вш 286 ГЛ. И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕИИЯ 152' где ф и ф' — однозначные функции, а Ь и с — комплексные постоянные.
Отсюда, используя формулу (17), находим вектор внешпнх усилий, приложенных к большому отрезку Сп'. — )С! ( х ( )Сг, оси х )ге - )г Р = !А (ф (2) + еф'(2) + ф (2)) = ! ~Ь !п — + Ьп!+ с1п — — сп!)+ и, Я )7! где е-ь 0 при )с!, )1г-ь сь. Потребуем, чтобы зто выражение оставалось ограниченным, когда )с„)сг -ь со независимо друг от друга. тогда Ь+с=й и предыдупгая формула ласт в пределе вектор внешних усилий, приложенных ко всей оси х; Р=п(с — Ь). Такпл! образом, 1 ! Ь= — — Р, 2п ' 2п бесконечности равны 0 предполагая еще, что напряжение и вращение в (т, е.
что Г = Г' = О), вместо формул (18) имеем: 1 ф(2) = — — Р 1.п 2+ ф, (2), оц (22) 1 ф (2) = — Р 1.п 2 + фь (2) 2гс гле фс(2) и фс(2) — функции, однозначные в (т н правильные в бесконечности. 9 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи В этом параграфе излагаются основные свойства интеграла типа Коши и основанные на цих эффективные методы решения различных краевых задач теории функций комплексного переменного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
