М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В конце параграфа приводятся приложения этих методов к некоторым задачам гидродинамикп и теории упругости. В основе этих методов лежат формулы для граничных зна. чений интеграла типа Коши, которые получены в 1873 г. Юлианом Васильевичем С ох о ц кн м *), но затем были незаслуженно забыты и получены вновь Пл ем ел ем в 1908 г. н в более общих предположениях И. И. П р ив а л о вы м в 1918 г. В настоящее время методы решения краевых задач математической физики, основанные на интегралах типа Коши, наиболее успешно развиваются в работах Н. И. М у с х ел и ш в н л и, И.
Н. В екуа, Л. В. Бицадзе и др. 52, Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого. Интеграл Коши 1(2) = —. ) ! Г 1(ь) Ль 2Л! й — 2 с *) Ю. С ох о цки й, Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ., !873, 4 з ннтеггхл типа коши и кгхгвые зхлхчн звт представляет функцию, аналитическую внутри замкнутого контура С, через ее значения на границе (см. п. 14), Предположим теперь, что С вЂ” произвольная кривая без точек заострения (это существенно для дальнейшего), не обязательно замкнутан, и на ней задана произвольная функция )(~), непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, где она имеет интегрируемый разрыв. И нтеграл Р(г) = —.
~ с (2) построенный так же, как и интеграл (1), называется цнтегралоя тпла Коиш, Повторяя в точности рассуждение п, 17, мы убедимся в том, что интеграл типа Коши представляет собой функцию, аналитическую в любой точке г, не лежащей на кривой С. При этом если С разбивает плоскость на несколько областей, то в этих областях интеграл типа Коши определяет, вообще говоря, различные аналитические функции.
Например, 1С1=' равен 1 всюду в круге 1г(» 1 и 0 — вне круга. Легко понять, что даже в случае замкнутого контура С интеграл типа Коши в общем случае не является интегралом Коши, т. е, значения функции !'(~) не будут предельными для значений Р(г) при г- ". В самом деле, как мы видели в п, 43, задание на границе области одной лишь действительной части аналитической функции определяет действительную часть внутри. Тогда нз уравнений Коши — Римана внутри области с точностью до постоянного слагаемого определяется мнимая часть функции, а следовательно, и ее предельные значения при г, стремящемся к границе области.
Поэтому, когда на границе задаются две ничем не связанные между собой функции — действитсльная и мнимая части функции !'(ь),— то в общем случае нельзя и ожидать, что Е(г) при г- с стремится к заданным значениям. Чтобы изучить вопрос о граничных значениях интеграла типа Коши, мы прежде всего вгяясним смысл, который можно придать этому интегралу, когда точка а лежит на линии интегрирования С.
Если точка з лежит на С, то интеграл (2), вообще говоря, расходится, нбо его подынтегральная функция обращается в бесконечность при ь- г. Однако в некоторых дополнительных предположениях, наложенных па !(~), этому ГЛ, И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАаи! И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [62 с" б Ь ! ) © — Р (Ц ! < М ! ~ — ~, (', О < )[ < 1. (З) Условие Гельдера, очевидно, выражает тот факт, что приращение функции является малой порядка не ниже [0 относительно приращения аргумента. Покажем, что в принятом условии инв теграл типа Коши существует и при г=,"о, Рис. !24.
если его понимать в некотором особом смысле, и найдем его выраженце через обычный интеграл. Предположим сначала„что со не является угловой точкой линии С, и обозначим через с' и Гн точки пересечения С с окружностью )г — со( = г, через с — отрезок кривой С между ч' и ч", через а и Ь вЂ” концы С (рис. 124). Имеем: — ![ ) д,+)(,) ! ": () й- йо,) й- 10 С-0 С-0 С-0 Но = — ! и (ч — чо) 1~ + 1П ([, — со) ! „=!и — ' — !и С вЂ” йо о а а — чо й' — 10 ' С-с где под 1п на дугах а0,' и ~аЬ понимаются две какие-либо ветви логарифма, непрерывно изменяющиеся на зтих дугах, причем для определенности принято, что значение 1ПЦ" — ~о) получается непрерывным изменением из 1п([.' — чо), когда точка ~ описывает дугу окружности )г — Го(=г слева от линии С. В сйлу последнего условия и того, что ) ~' — ~о! = = !Ь вЂ” йо(, имеем: )ип! и йо 0+0 О 00 (б) С другой стороны, при достаточно малых т, в силу условия Гельдера, имеем ~ ! [й) — ! (йо) ! М „; следовательно, суй - йо ! ! й - йо!Р-я ' ществует ![,„Г ![Е)-![С.) „, (' )Π— )(е,) (б) интегралу можно придать вполне определенный смысл.
Предположим, что в некоторой точке ~ = чо контура С функция [ К) удовлетворяет условию Гельдера с показателем [! ( 1: (Н) Существует настоянная М, такая, что для всех точек 1; на линии С, достаточно близких к со, имеет место неравенство % а. пнтигрлл типа коши и крливыи задачи 289 причем последний интеграл можно понимать в обычном смысле. Таким образом, формула (4) принимает вид: )сй) "1 ~ 1! ) У(ье) дг+)(и)! — ьа+ ° )(и)+()(с) (7) с- с где 0(г)- О при г — +О, Из формулы (7) видно, что существует предел В ! )ЮК ! !а)л~. о ) 1 — 10 .! 1 — 10 ' с-е с этот предел называют главньслс значениелс интеграла, а сам интеграл, определяемый формулой (7) при таком предельном переходе,— особьслс интегралом (в смысле Коши).
В нашем определении особого интеграла существенно, что дуга с, выбрасываемая нз С, стягивается в точку Ьо по в п о л н е о п р е д е л е пи ом у з а ко ну (так, что ее концы при любом г лежат на окружности (г — 1,о~= г); если с стягивается в точку по другому закону, то предел (7) может и не существовать. Напоасним, что в обычном определении несобственного интеграла требуется, чтобы предел (7) существовал при с- "е по любому з а кону.
Отсюда ясно, что если интеграл существует в обычном смысле, то он существует и как особый, и его главное значение совпадает со значением обычного интеграла*). Обратное, очевидно, не верно. Поясним определение простым примером. Интеграл 1 ~ с)х -с взятый по отрезку ( — 1,1) действительной оси, как известно, ие существует. Однако он существует как особый интеграл в смысле Коши, ибо предел с ссх . ! лх . с 1 Вт 1 ) — + ) — ~ =!)шс !пг+!и —, )=О -с Г существует (мы выбрасываем из отрезка ( — 1, 1) отрезок ( — г,г) в соответствии с определением особого интеграла). Переходя в формуле (7) к пределу при г - О, пол)чаем следующую теорему: Теорем а !.
Если в точке Ье, которая является правильной точкой контура С и отлична ог его концов, функция )(ь) удовлетворяет условию Гельдера с показателем )с (1, то интеграл *) Поэтому мы и сохраняем лля особого интеграла символ обыь ого интеграла. !О Ы. А.
Лаврентьев и В. В, Шабат 2ЗО ГЛ. 1Н. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1ою типа Коши существует в этой точке как особый, и его главное значение выражается через обычный интеграл по формуле © 2ло. 3 ~-~о Г 1(с) ес с С Если, в частности, кривая С замкнута, то можно принять а=б, тогда член с логарифмом исчезнет и формула (8) примет более простой вид Р(~ ) 1 1(й)вй 1 1(й) 1(то) йо ! 1 о(ою) й) 2ш',) й — йо 2ло .1 й — йо 2 с с Пусть теперь ью — угловая точка кривой С; обозначим через а угол между касательными к С в этой точке, измеряемый слева от линии С (рис. !24). Вместо формулы (5), учитывая наше условие о связи ветвей логарифма, будем иметь: !Ип !п й оо = — 1а.
° О Г' — 10 Тогда вместо (8) получим формулу с Перейдем к изучению предельных значений интеграла типа Коши при г, стремящемся к линии интегрирования С, Докажем предварительно следующую лемму: Л ем м а. Пусть функция 1(Ь) удовлетворяет в точке ~ю условию Тельдера с показателем )о ~ ! и точка з стремится к го так, что отношение й=)г — Гю! к й — кратчайшему расстоянию е от точек С вЂ” остается ограниченным.
Тогда !(„ ~ 1 (й) — 1 (ьо) йьо ! 1 (й) — 1(йо) Для доказательства оценим разность б между интегралами в левой и правой части (!!); д 1( 1(0 — 1(й) (й — г) (й — йо) с Разобьем интеграл б на два, из которых первый распространен на дугу с кривой С, для точек которой 1ь — ью) ( б, где б— некоторое число, подбор которого мы уточним далее, а второй— на оставшуюся часть С' = С вЂ” с. гл) з з. интегилл типа коши и киднвыа задачи 291 Для первого интеграла, пользуясь условием Гельдерн (чь считаем, что 6 достаточно мала) и тем, что !" — е!' й, получим: Г„л()1-й.)и(, ьм Г )~ц! и)! й ! а .) 1~ го)1-в ' Обозначим через 1 = ! ~ — ьо ! длину хорды, стягивающей дугу Е~~ кривой С. Так как С не имеет точек заострения, то отношение длины дуги к длине стягивающей ее хорды ограничено.
Пусть это отношение не превосходит А, тогда !й" ! = йэ ( А й, и последняя оценка принимает вид в ! Ь, (=2 —,МА ! — =сапа( 6 . л Г ш а о Отсюда видно, что 6 можно выбрать столь малым, чтобы величина !Л~! не превосходила любого заданного числа е/2. Так как, далее, кривая С' ие содержит точку "о, то при фиксированном 6 интеграл / (ч) — Е (ье) й с — а с как функция г непрерывен в точке ьо, следовательно, для достаточно малых й = ! г — ~о ! величина ! Лз ! будет также не превосходить е/2. Для таких й имеем (Ь(((Ь|(+(Лз(<в, что и доказывает лемму.
С помощью этой леммы легко получить и формулы для предельных значений интеграла типа Коши. Т е о р е и а 2 (Ю. В. С о х о ц к и й) . Пусть точка ~о является правильной точкой контура С и отлична ог его концов, г/гункция /(т,) удовлетворяет в этой точке условно Гельдера с показателем р ( 1 и г - Ьо так, что отношение й/й остается ограниченным. Тогда интеграл типа Коши обладает предельнглми значениями Рг(ьо) и г (Ер), к которым он стремится при гслева и соответственно справа от С, и (12) где Р(ьо) — особый интеграл (9)"). ') Формулы (! 2] впервые доказаны Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
