М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Д. Гахов). Задача Привалова !' (ь) = и (ь) !'+ (ь) + Ь (ь) имеет семейство решений (19), зависящее от и+ 1 произвольных постоянны, если индекс — и граничной функции а(ь) не положителен. Если же индекс и функции а(Ь) положителен, то эта задача разрешима лишь з том случае, когда функция Ь(с) удовлетворяет дополнительным условиям (20). В заключение укажем, что изложенные здесь методы решения задачи Гнльберта — Привалова распространяются на случай незамкнутых контуров С. Чтобы получить такое распространение, достаточно дополнить кривую С до замкнутого контура Сь с помощью кривой С', соединяющей концы С(Сь = = С+ С'), и положить на С' а (ь) = 1, Ь (ь) — = О.
Рассмотрим для простоты случай, когда Ь(ь) = — 0 и индекс функции и(Е), который определяется как изменение агда(~) при полном обходе точкой ь обоих берегов разреза С в противоположных направлениях, равен нулю. Тогда решение 1+(г), построенное по формулам (4) и (5) для контура С„ причем в первой из этих формул интеграл берется лишь вдоль С (ибо на С' по нашему определению !па(!.) = — 0), будет однозначным и аналитическим всюду во внешности кривой С (на С' краевое условие дает !+(ь) =)'-(ь)), а на двух берегах С принимать значения Гь(~) и 1-(Ь), связанные условием (2).
Отличие от случая замкнутого контура состоит лишь в том, что это решение будет, вообще говоря, неограниченным в концах линии С. Можно, однако, показать, что если а(ь) удовлетворяет условию Гельдера, то это решение при приближении к концам С будет обращаться в бесконечность порядка, меньшего 1. Если умножить решение )' — (г) на произвольную функцию у(г), аналитическую в точках контура С, то произведение ,Ге(г)д(а) будет, очевидно, решать ту же однородную краевую задачу, что н (*(г). Пользуясь тем, что в случае незамкнутого контура С допускаются решения, обращающиеся в концах С в бесконечность порядка, меньшего 1, иногда можно умножать решения (*(а) на функцию, правильную всюду, кроме какого- либо конца С.
Этим замечанием мы воспользуемся в приложениях (см. п. 55), Полное изложение вопросов, связанных с задачей Гильберта — Привалова для незамкнутых контуров, читатель найдет в гл. 4 монографии Н. И. Му схел иш вил н (14). В той же монографии приводится обобщение метода Ф. Д. Гахова на многосвязные области, данное в 1941 г. Б. В. Хведелидзе. 304 гл.
пь кплввын задачи и их приложения 54. Формула Келдыша — Седова. Большой интерес для приложений представляет следующая смешанная краевая задача *): Уа границе С односвязной области 0 заданы точки аь Ьь аа, Ьз, ..., а„Ь„, расположенные в том порядке, в котором они выписаны. Требуется найти функцию )(г), аналитическую в О, действительная часть которой принимает заданные значения на дугах албм а мнимая часть — заданные значения на дугах Ьлаа41 (й = 1,2,...,и;а„41 = а,). М. В. К е л д ы ш и Л. И. С е д о в в 1937 г.
дали полное исследование этой задачи и доказали, что, вообще говоря, она не имеет решений, ограниченных вблизи всех концов дуг аа и Ьм Если же отказаться от условия ограниченности 1(г) и потребовать лишь ограниченности интеграла от 1(г), то задача буде~ решаться с точностью до (и + 1)-го произвольного постоянного.
Наконец, они доказали, что задача будет иметь единственное решение, если, кроме того, потребовать, чтобы 1(г) была ограниченной вблизи каких-либо п из концов и задать ее значение в некоторой точке границы. Мы рассмотрим подробно последний случай. Предположим еще, что область 0 представляет собой верхнюю полуплоскость,— к этому с помощью конформного отображения сводится, очевидно, случай произвольной односвязной области. Итак, пусть на оси х заданы точки — оо ( а, =' Ь1 аа ( Ьа ( ... ( а„ ( Ь„ ( оо и две действительные функции и(х), о(х), имеющие конечное число точек разрыва первого рода, причем и(х) определена на всех отрезках (ам Ьа), а о(х)— на всех отрезках (Ьд, аа 1) (й = 1, 2, ..., и; а,41 = а1).
Прел- полагается еще, что на отрезках ( — оо, а,) и (Ь, оо) функция о(х) удовлетворяет условию вида 1о(х)!л,,сопз1/)х1н для некоторого р ) О. Требуется найти аналитическую в верхней полу- плоскости функцию 1(г) такую, что на отрезках (аю Ь„) йе 1 (г) = и (х), а па отрезках (Ьа,аа+,) 1гп 1"(г) = о (г). Как мы говорили выше, имеет место Теорем а (М. В. Келдыш — Л. И. Седа в). Сл ешанная задача для верхней полуплоскости имеет единственное решение 1'(г), удовлетворяющее следующим условиям: 1) 1(г) ограничена вблизи всех точек аан 1 2) вблизи всех точек Ьа ограничен интеграл )' ~(г) йг; ') Задача представляет частный случай тан называемой задачи Гнльйерта (см.
п. йй). $3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 305 3) )(е) имеет конечный предел ('(со) при 2- оо, который для простоты полагается действительным. Для доказательства обозначим Р й(е) =Ц)/ —; й=~ где рассматривается та ветвь корня, которая положительна на отрезке (Ь„ оо), П вЂ” знак произведения. Пусть е — произвольная точка верхней полуплоскости; окружим ее замкнутым контуром С, состоящим из верхней полуокружностн Сп'. = Я, 1т ~ > О, и отрезка ( — )с, Я) действительной оси, Предположим, что функция ((е) найдена, тогда по формуле Коши будем иметь: (2) с Но так как, очевидно, 1ип д(~) = 1, то существует и с.+ю (Я)й(ь) ь 4 †Следовательно, функция имеет в окрестности точки 1(1) е (ь) ~ = со разложение вида У(ь)е© )( )+е(1) ь — 2 где Ч~(Ь)- О прн (,- оо.
Интегрируя (3) по полуокружности Ся достаточно большого радиуса, получим: р 1(1) Е(0 ( " ч (ь) 2пГ,) à — 2 2 «~=-1(-)+ —. ~" — й~. 2еи ся я Так как р(ь)- О при ь- со, то интеграл в правой части стремится к нулю при Я- со и, следовательно. соотношение (2) в пределе дает: 2я( г ( — 2 +2~( Р (О)ЕО) (4) — О где интеграл берется вдоль действительной оси. Заменив здесь е на е, аналогично получим: гл нн «глввыв задачи и нх цниложвния Перейдем в последней формуле к комплексно сопряженным величинам и сложим ее с предыдущей: Р() () 1 Г ((г)яг!) — Р(г)я(г) а+Р( ) Ьи г — г Заметим теперь, что на отрезках (ам Ьь) произведение П г — ьь — отрицательно, а на (Ьь, ах+1) оно положительно„слег — а, ь 1 довательно, функция й(() принимает на (ам Ьь) чисто мнимые, а на отрезках (Ьм аь~,) — действительные значения. Учитывая это, мы переписываем последнюю формулу в виде 1(г)а()= ь„ 'и+1 знь .аиЬ а à — г и 7(ь)+/(ы (~) ( ( '~з ~ 7(м) 7м) (~)(г сиз г — г ь 1аь ь 1ьь +((со).
(5) Правая часть здесь известна, нбо на отрезках (ам Ьд) известна нет(ь)= и(Г), а на (Ььиад+,) известна (ш((() = о((). Таким образом, мы пришли к искомой формуле Келдыша — Седова: и 'ь+1 1 ~ ~и ( и(ь)Я(б,(+ ~и ~ ь(г)ЯР),Г~+ (( ) нгя(г) ~ ~,1,~ г — г,й4 а г — г ~ я(г) ' В=! а» ь 1ьь (6) (входящий во вторую сумму несобственный интеграл по отрезку (Ь„, а„+~) сходится в силу наложенного на о(х) дополнительного условия).
Остается показать, что функция, определяемая по этой формуле, действительно решает смешанную задачу. Для этого рассмотрим одно нз слагаемых суммы (6) ьь (у) аь Произведение гь(г)д(г) представляет собой интеграл типа Коши, построенный по функции гь(Г) = 2и(()д(1). Предельное его значение 1+(ь )й(Гь) прн г, стремяшемся сверху к точке Гь отрезка (аь, Ьь), определяется по формуле Сохоцного (!2) п. 52: 1ь' (гь) Ы(Г,) = Ф(Г,) + и ((,) я(гь), (8) $ Х ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ зот где согласно формуле (8) того же пункта ь„ Ф(Г)= ! ) «(Г)а(Г! — «0о)я(ьо! у(+и(Г) "(У)+ .
„)' ой" о 'А ! о! Я ( о! (п Ьь — Го (9) «Г а А О Учитывая, что при аь ( (о ( ЬА предельное значение логарифма при подходе к отрезку (аь, ЬА) сверху равно ЬЬ Го ЬА оо !п = (и — — (и а — à à — а А О О Ь (рассматривается ветвь логарифма, которая действительна на оси ! справа от этого отрезка), мы можем переппсать формулу (8) после подстановки в нее Ф((о) из (9) и сокращения на д((о) в виде ьь к (О г «р) (, -«(То) о аь аь Так как при ! и оо, лежащих на отрезке (амЬА), функция о й (!) =Ц)~ —', принимает чисто мнимые значения, то интеграл в последней ьо — Го формуле действителен, действителен также и член (п г — а о Следовательно, )(е!+(Го) = и(! ).
Если теперь г стремится сверху к точке (ь лежащей на каком-либо отрезке(аь, Ь„), Ь, Ф Ь, то предельное значение Г (Г,) находится непосредственной подстановкой ! = Г, в интеграл (7): ьь )+(,) ! ~ а(Г)К(!),у а, Здесь значение д((о) — чисто мнимое, так же как и д(!).
Следовательно, значение Гь (1,) — чисто мнимое и ((еГ+(1,)=О. Если, наконец, г стремится сверху к точке Ть лежащей на зоз ГЛ. и1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !Еи каком-либо отрезке (Ь„, а,,! ), т = 1, 2, ..., л, то предельное зна чен ие равно Ьь 1 ( л(йе(О айг О) ) здесь д(12) — действительно, д()) — чисто мнимо, следовательно, значение )~(! ) — Действительно и 1т)ь+ (1,) =О. Из наших рассуждений следует, что действительная часть функции л ь )„(2)= .'(, ",)', ~ "!Ое!О д) на каждом отрезке (а,, Ь,) принимает заданные значения и(1), а ее мнимая часть на каждом отрезке (Ьмаь+1) равна О. Совершенно аналогично мы докажем, что мннмая часть функции л А+! (2) = )' ~ аг Ь=! Ь„ на каждом отрезке (Ьмаь„!) принимает заданные значения о()), а ее действительная часть иа каждом отрезке (аьл Ь„) равна О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
