М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Лаврентьева «Обитая задача теории квазиконформных отображений плоских областей», Матем. сб. 21: 2 (1947), 286 — 320. и «Основная задача теории квазиконформных отображений плоских областей», Нзв. АН СССР, сер. матем«!2 (1948), 513 — 554, а также его книгу 1181. Эти функции полностью описывают плоско-меридианное поле. Уравнения (!2) представляют собой частный случай системы линейных уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа вн — — аи„+ Ьи„, — и„= г(и„+ сиги где а, Ь, с, г( — известные функции переменных х и у, для которых всюду в рассматриваемой области 0 выполняется условие эллилтичности: % Е ГГРИЛОЖЕГ4ИЯ 321 с точностью до малых высших порядков в эллипсы плоскости Ш = ГГ+Ы: у, (Π— и)' — 2РГ (У вЂ” и) ([г — о) + а, ([7 — о)з = рГйт (15') (рис. 126), причем коэффициенты уравнений эллипсов опреде- ляются через коэффициенты системы (13) по формулам: а+и 2УЛ ' Ь вЂ” ГГ '=2 Л а а==, Ул ' (16) В А )' А 1 а,== 1 А (у нас р, р, )~! — отношения полуосей, Й, й, — малые полуоси эллипсов, осу — рт 1, аГуà — Я =— 1, В = ас — ЬГГ') А ) О) н, Я Рпс.
126. следовательно, являются нзвестнымн функциями точки г. Из решения и(х,у) н о(х,д) системы (13) мы составим функцию комплексного переменного )(г) = и+[о и отображение, ею осушествляемое, будем называть квизиконфорзгнозлт отображениелГ, связаннылГ с этой систелгой. В частности, когда эллипсы (15) и *) Изложение ряда результатов линейной теории квазвконформных отображений читатель может найти в книге Л. И, В олков ыского [!7]. **) См. Б. В. Шабат, Об обобшенных решениях одной системы уравнений н частвых производных, ЛтатсьГ, сб., 17 (69) (1949), 193 — 210 плп Л. И.
В оп коны ск н й 117]. свойств, вполне аналогичных свойствам конформных отображений. Не имея возможности останавливаться в рамках настоящей книги на этих результатах '), мы приведем лишь несколько простейших фактов. Можно доказать"'), что система (13) геометрически выражает условие преобразования бесконечно малых эллипсов плоскости г = х+ Гу из семейства у (Х вЂ” х)т — 2Р (Х вЂ” х) (У вЂ” р) + а (У вЂ” Г))а = рйт (15) | Л. И|.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕШ|Я 322 !за (15') представляют собой окружности„т. е. а = у = 1, 1) = О н а| — — у| = 1, [)| —— О, то, как легко видеть, система (13) переходит (при дополнительном условии сохранения ориентации, ср. п. 27) в систему Коши — Римана, т. е. квазиконформные отображения переходят в конформные*). Для решений системы (13) можно найти формулы, обобщающие теорему Коши и. 12 и интегральную формулу Коши п. 14**). Для доказательства перепишем систему (13) в виде Е. [и, о] = аи„+ Ьи„— о„= О, М[и, о]=с(и„+си„+ ох=О и воспользуемся и:вестной из анализа формулой Грина, которая для рассматриваемой системы запишется в виде: ~ (и'о — (Ьи' + со') и) |!х + [(аи'+ с)о') и + о'о) ду = = ) ] (и"Ь [и, о] + о'М [и, о] + и1, [и', о'] + оМ [и', о']] ах с(у, (17) о где С обозначает границу области 0 и (.
[и, о].= (пи + с(о)„+ (Ьи + со)„, М [и, о] = ох — о„ (зта формула имеет место для любой четверки функций и, о, и*, о', обладающих непрерывными частными производными и выводится интегрированием по частям так же, как обычная формула Римана — Грина). В предположении о непрерывности вторых частных производных из системы (!3) можно исключить функцию о так, что она сведется к одному уравнению второго порядка Л[и] =(аи, + Ьи„), +(с(и, + си„)„=О (18) (мы воспользовались условием равенства смешанных производных о„„и о„к), Рассмотрим также сопряженное к (!8) уравнение Л' [Х] = (аХ„+ дХЕ)„+ (ЬХ, + сХ„)„= О.
(19) Для каждого его решения Х(х,у) существует, очевидно, функция У(х,у), связанная с Х уравнениями 1,' [Х, г'] = а Х, + с(Մ— Уз = О, М'[Х, У]=ЬХ„+ сХ„+ г'„=О. *) Ср. круговое свойство конформных отображений и, 27. *') См. и. В. Шаба т, Теорема н формула Коши ллн квззнконформных отображений линейных классов, ДАН СССР, 49: 3 (!949), 305 — 303. Для част.
ного случая зтн результаты были ранее получены Г. Н. Пол ож ям. % С ПРИЛОЖЕНИЯ Так как эта система отличается от (13) лишь перестановкой Ь и б, то эллипсы, связанные с ней, в плоскости г совпадают с эллипсами, связанными с системой (!3), а в плоскости ш получаются из них отражением относительно оси и (перемена знака р1); при Ь = с! эти эллипсы совпадают. Воспользуемся теперь формулой Грина (17), приняв в ней в качестве и и о решение системы (13) и положив и'=Х», о' = Х„, где Х и У вЂ” решение системы (20); мы получим: ) одХ+и НУ =0. с (21) Далее мы Решаем спстемУ (13) относительно ие и и„: 1,, (и, о) = — а1о, — г(,ое — ад=О, М,(и, о1= — Ь1о,— ср„+и,=Π— — ) е здесь а, = —, ..., д, = — ).
Для этой системы имеет место в' ''' в)" формула (17), в которой всюду и заменено на о, о на и и коэффициенты а, ..., д на — аь ..., — Ьь Для каждого решения уравнения Л~ [Х'[ = — (а, Х„'+ Ь~Х„')» — (АХ„'+ с1Х„'))Р = 0 (19,) Введем, наконец, комплексные переменные Х = Х+ !У', Х" =Х'+!У; тогда формулы (21) и (21~) можно объединить в одной формуле ~ и бг'+ !о Нг =О, (22) с которая и выражает обобщение теоремы Коши. Если, в частности, эллипсы в плоскости ш являются окружностями (Ь = д, В = ас — Ь' = 1), то системы (20) и (20~) существует функция У', связанная с ним уравнениями !.1[Х~, У ~ =а|Х, + Ь|Մ— У„=О, М,[Х, У! =АХ„+с|Х„+ У»=0. ! (20,) Эллипсы, связанные с этой системой, в плоскости г совпадают с эллипсами, связанными с системой (13), а в плоскости ш получаются из них отражением относительно биссектрисы первого координатного угла; при В = 1 эти эллипсы совпадают.
Вместо формулы (20) мы будем иметь: )г и»!Х' — о»!У1 =О. (21,) с Гл. ил, кРАеВые ВАдлчи и их пРиложе!Нля совпадают. Следовательно, в этом случае можно принять У*=Я и формула (22) упростится: ) !'(г)л!2=0. Если, кроме того, и эллипсы в плоскости г являются окружностями (система Коши — Римана), то можно принять 2 = г, и мы возвращаемся к классической теореме Коши.
Чтобы получить обобщение формулы Коши, введем связанное с системой (13) «расстояние» р (г, г,) = $' с, (х — х,)' — (Ь, + г(,) (х — хо) (у — у,) + ао (у — у,)', где ао, ..., с(о — значения коэффициентов в точке го, и будем рассматривать вместо Х решение уравнения (19), имеющее в фиксированной точке г, области к) особенность типа 1п р(г,го): 1 (г го)=у (г го)!ИР(г го)+у (г го) (у' и у" — непрерывные функции), а также «сопряженную» с ним функцию Н (г, го) = ) — (ЬГ„+ сГ„) с(х+ (аГ „+ г!Гь) с(у. !Ип ~ — (ЬГ, + сГР) плх + (аГ„+ г(Г„) г(у = а»о тя .)~ ао Мп' ! — (Ьл+ л(л) з(п ! соз ! + сл соз' ! о = 2пу'(гол го) УА (го), (23) = А (го) т' (го ") Чтобы получить (23) достаточно заметить, что при вычислении предела интеграла в последнем можно заменить а..., и', у' и у" значениями ао, ..., л(л, у'(ко,кл) и у" (ко,ко); тогда мы вводим параллетр ! по формулам Ьсоз ! со сов'! — (Ьл+ л(л) з!п ! сов (+ поз(пл ! Ь з!п ! к лов У вЂ” Уо г' сл соз' ! — (Ьо + л(о) зпа ! соз (+ ао з!п ! Полученный интеграл вычисляется злементарно.
В силу (19) этот интеграл не изменяется при непрерывной деформации пути интегрирования, если при этом не задевать точки го. При обходе же точки г, (одни раз против часовой стрелки) Н получает приращение *) $4. ПРнлох(етп!я бб! 32а которое будет равным 2я, если принять у'(г, г)=17)7А(га). Таким образом, многозначная функция Н(г, га) имеет в точке га особенность того же типа, что и Агс1п ~ х — х, ' Применяя формулу (!7), в которой положено и' = Г„о'= Г„, а и и о — решение (13), к области Р с выброшенным эллипсом р(г, го)~ (6, получаем: ) об(Г+ и!(Н = ~ одГ+ иг(Н.
(24) а!а х,~=« Так как !!т ) па(Г=О и в силУ (23) Ит ! иб(Н=2пи(го),то «+о «-+о из (24) в пределе при й — О получим: и(го) = 2„) с(г)а(,Г(г, го)+и(г)а(,Н(г, го). (25) с Переходя к системе (20!), аналогично построим решение уравнения (!9!) с особенностью типа логарифма: (г' го) =%~(» га) !и р(г го) + у! (г»о) и многозначную функцию Н'(г, го) = ) — (И!Г„'+ с Г')б(х+(и!Г' +6!Г')!1у, приращение которой при обходе го будет равным 2я, если принять у',(г,, г,)=В(го)/3( А(г,). Тогда вместо (25) будем иметь: с (го) = — „) с(г) а(:Н'(г го) — и(г) б(хГ' (г~ го).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
