М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Отсюда следует, что функция (б) ~(г) =1. (2)+).. (г)+ ~,~(,~) в самом деле решает смешанную краевую задачу (наличие последнего члена ничего не меняет, ибо )(со) — действительное число, а д(г) на отрезках (аьлЬА) принимает мнимые значения, а на отрезках (Ьм а„+,) — действительные). Из построения функций ),(2) и 1„„(г) следует, что при г- ео они стремятся к нулю; функция д(г) при атом стремится к 1, следовательно, условие на бесконечности также выполняется. Из вывода формулы (6) следует также, что она дает единственное решение смешанной задачи, удовлетворяющее условиям 1) — 3).
Теорема доказана. Покажем теперь, что если отказаться от условия ограничен- насти )(2) в точках аь и требовать в них лишь ограниченности интеграла ~1(г) дг (как и в точках ЬА), то при заданном значении Цоо) решение задачи будет содержать л произвольных 4 3. интеГРАл типА коши и кРАеные зАддчи м) 309 !госгояииых. В самом деле, при любых действительных постоян- ных уе, уь ..., уп ! действительная часть функции у,+у,а+ ...
+т„р" ' й (г)— я П (а — од) (а — Ь ) д=! (11) равна нулю иа всех отрезках (аюЬА), а ее мнимая часть равна нулю на всех отрезках (Ьд,аде,). При г- оо эта функция, очевидно, стремится к нулю. Таким образом, мы можем добавить эту функцию к функции ((г), определяемой формулой (6), и полученная сумма будет давать аналитическую в верхней полу- плоскости функцию с ограниченным интегралом в окрестности точек ад и Ьд, принимающую в бесконечности заданное действительное значение ~(оо) и решающую смешанную краевую задачу. Вводя обозначение и(!) на отрезках (ад, Ь,), р(!) = (о(!) на отрезках (6„, а е!) (12) где дг(г) и Й(г) определяются формулами (1) и (11).
Можно доказать, что формула (!3) содержит все решения задачи, удовлетворяющие поставленным условиям (см. Му с х ел и ш в и ч и (14)) . В следующем параграфе мы будем применять Формулу Келдыша — бедова, преобразованную к случаю, когда вместо верхней полуплоскости рассматривается круг ~а — — ( ( †. Для выполнения такого преобразования 2( 2' л1ы воспользуемся дробно-линейным отображением !г~ 1 — а, (14). 1 ! круга ~ а, — — ~< — на верхнюю полуплоскость а.
Подставляя (14) в фор- 2 ~ 2 мулу (!3), где для простоты положено Д(з) = !(ео) = О, и заменяя г, снова через а, а Г! через Ь, получаем: 1 ( 2(~)<р(Ц 1 — г я(В(г) ) й — 1 — й с (13), (й = 1,2,...,И), мы можем записать ф ор мулу Келдыш ав Седова в виде ! (г) = . „ Г(! + Ь (г) + , (!3) я!и (2) и (а) ГЛ. И1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ и ИХ ИРИЛОЖЕИИЯ З(О 11 ! где С вЂ” окружность | ь — — ~ — ~р (ь) — заданная на окружности функция, 2~ 2' равная и(с) на (а», ь») и !о(ь] на (ь», о»+!1, а у(а) определяется по формуле (1) (точки и» и Ь» лежат на С).
Совершенно аналогично формула (13) преобразуется и к случаю единичного круга [г[ ( 1. В этом случае она имеет ввд 1 (2), ~ у (ь) ю (ь) ( — — — ) па + 1С1 ! г » ]у П !,, ',', 1~»ы*'-'»-,. »..» ч»| где с» — комплексные постоянные, удовлетворяюшие условию с„» = Е». Вывод формулы (16) читатель может найти в книге Н.
И. ]»(ускелнш в и л и [14]. 55. Другие краевые задачи. Здесь мы рассмотрим еще несколько краевых задач теории аналитических и гармонических функций. 1) Краевая задача Римана — Гильберта формулируется следующим образом. Найти аналитическую в области Р и непрерывную в Р функцию [(г) = и(г)+ т(е), удовлетворяющую на еранице С области условию а (ь) и (ь) — Ь (ь) о (ь) = с (ь), (1) где а, Ь, с — заданные на С действительные функции. Мы приведем решение задачи Римана — Гильберта, данное Н.
И. Мусхелншвили. Если Р— односвязная область, то с помощью конформного отображения задача сводится к случаю, когда Р есть единичный круг [г[( 1. Этот случай мы и рассмотрим, предполагая, кроме того, что функции а, Ь, с удовлетворяют условию Гельдера, и что и'+ Ьв Ф 0 всюду на С. Краевое условие (1) мы перепишем в виде 2 [(е(а+ »Ь)! (ь) =(а+ »Ь)!'(и) +(а — »Ь)[(ь)=2с.
(2) Положим во внешности единичного круга (3) и обозначим через Р(г) — функцию, равную ((г) в круге [г).с, (1 и („(г) вне его. Предельное значение Р(г) на С слева Р+(г)=!(ь), а предельное значение справа Р-(ь)=((ь) (последнее вытекает нз определения (3) и того, что 1/ь = ь" на С), 4 а.
иггткгядл тнпд коши н крдввыв задачи 55) зы Поэтому условие (2) можно переписать в виде (а+ сЬ) Р+(ь)+(а — гЬ) Р (г,) =2с, пли (4) Р (ь) =А(г,)Р+(ь)+ В(~), (5) где А (ь) = — —., В(ь) = — —. и+ гь 2с — (Р(г) + Р (2)), которая, очевидно, удовлетворяет и условию (3). Внутри единичного круга эта функция будет, следовательно, решать граничную задачу Римана — Гильберта. 2) Задача наклонной производной формулируется следующим образом. Найти гармоническую в области х) и непрерывную вместе со своими частны,ми производными первого порядка в 6 функцию и(г), удовлетворяющую на границе С этой области усло- вию а ((.) — + Ь К) — — с (~), (7) где а, Ь, с — заданньге на С действительные функции. Название задачи объясняется тем, что условие (7) можно переписать в виде дп сЯ) (7 ) д( )' и' + Ь' *) В салым деле, на С нчеем Е,(ч) = г(ч), н прп прнблнженнк а к С слева г/а приближается к нса справа.
Следовательно, переходя в соотпошеннн (4) к комплексно сопряженным велнчннам, мы полуяич такое же условие для р„(~), Таким образом, решение задачи Римана — Гильберта сводится к решению задачи Гильберта — Привалова п. 53. Однако не любое решение Р(г) задачи (5) будет давать решение задачи (2), ибо условие (3), связывающее значения Р(г) в симметричных относительно окружности точках, вообще говоря, не выполняется. Тем не менее, имея произвольное решение Р(г), легко построить решение, удовлетворяющее этому условию.
Для этого наряду с Р(г) рассмотрим функцию Р,(г) =Р ( —,) и заметим, что на С она также удовлетворяет условию (4)'), а следовательно, и (5). Но тогда тому же условию будет удовлетворять и функция ГЛ. П1 КРАЕВЫЕ Залаин И ПХ ПРИЛОЖШ!ПЯ '312 дн где — обозначает производную в направлении вектора 1 = д! = а+ сЬ, наклоненного по отношению к С под некоторым углом. В предположениях, которые были введены в предыдущей задаче, задача наклонной производной сводится к ней. В самом деле, обозначпм через 1(г) = и+ со функцию, имеющую и 'ди . дн своей действительной частью, и положим с'(г) = — — с — = = дх ау = и, + сос. Условие (7) переписывается теперь в виде а (ч) и, (ч) — Ь (ч) о, (с".) = с (~) — — — =ср(х) на (а, Ь), ди ди дх ду и = ср (с.) на у. (8) ! сд д! д Очевидно, —.
[ — — ] = — означает дифференцирова- 1'2 [,дх ду дС ние в направлении 1, составляющем угол — и/4 с осью х. Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением г =1(г,) области 0 на сектор О < агцг, ( 4, переводящим дугу у в луч у*: агаг! =О, отрезок (а, Ь) — в луч агиг! =— и точки а и Ь вЂ” в оо и О.
При нашем отображении направление, в котором задается производная на у, переходит в направление отрицательной осн х (рис. !25). Поэтому для гармонической функции и [) (гс)] = и, (г,), *) См. М. А. Лаврентьев и А. В. Бииадве, К ироблене уравнений емеснанното тина, ДАН СССР,!950, т. ХХ, № 3. и совпадает с условием (1). Таким образом, Т'(г) можно найти методом, описанным в 1), а 1(г) найдется простым интегрированием. 3) В некоторых вопросах, например при изучении дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа (об этих уравнениях мы будем говорить в следующем параграфе), встречается следующий вариант задачи наклонной производной *): Пусть область 0 ограничена отрезком (а, Ь) действительной оси и некоторой линией у с концами в точках а и Ь, и пусть на (а,Ь) и у заданьс действительньсе непрерывные функции ср(х) и ф(~).
Требуется построить гармоническую в области 0 функцию и(г) такую, что 4 т. иптгГРАЛ типА ко!и! и крдввь!г злдлчи З(З в которую преобразуется искомая функция и(г), первое из условий (8) перепишется в виде — — ',- рис,и та,)1. (9) Второе условие перейдет в соотношение иг(х,) = ф(1(х!)], которое после дифференцирования по х! принимает вид ф=ф ~ — „"; ~=ф И Я (Г(,) 1, (10) где — =ф означает производную вдоль контура у. Так как дф дз правые части условий (9) и (10) — известные функции, то наша задача сводится к отысканию гармонической дп, функции — по ее значе- Ф дх! ниям на границе сектора и л 0 < агах! < 4, т.
е. к за- и,, ' з) даче Дирихле. а/ х/ Аналогичным методом можРис. 125. но решить и более общую задачу. Пусть на части С, гран!шы С односвязной области Р заданы действительные непрерывные функции гр(Ь), н(Ь) и Ь(Ь), причем и'+Ь'Ф О, а на остальной части Ст этой границы — такая же функция ф(Ь). Требуется построить гармоническую в области Р функцию и(х), удовлетворяющую на гравице условию ди дн п (ь) — + Ь (ь) — = !р (ь) па Сь и = ф (ь) на С,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
