М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

(1) 3 3. 1и!тггРАЛ типк коши 11 кРАевые .3АдАчи 331 Предположим сначала, что индекс равен О, т. е. что функция 1и а(") однозначна на контуре С. В этом случае решение легко найти. Построим интеграл типа Коши г' (г) = —, 3) ! Г (аа(й)с(~ 2Я(3 С вЂ” г с (4) и обозначим г'-(г) и Г+(г) функции, которые этот интеграл определяет, соответственно, вне и внутри С, тогда решением б>дет (г)=Ае ~ ('1, ('~(г)=Ае ~ (5) где А — произвольная постоянная (из формулы (18) предыдущего пункта следует, что г"-(оо) = О, следовательно, А = =Г-( )) Действительно, функции г"-(г) и ге(г) аналитичны соответственно вне и внутри С и обладают предельными значениями 3). связанными формулами Сохоцкого г~(ь) =г" (ь) + — 1па(ь), Р (ь) = " (ь) — 2 (п (ь) где г((,) — главное значение интеграла (4), Потенцируя послед- ние формулы и используя (5), найдем: (ь) =, е 1 а(Ц (ь) =А )'а© е ~1~1, откуда — '=а©, что и требуется.

1 (ь) 1 Ю Докажем единственность построенного решения с точностью до постоянного множителя А. Если существует второе решение (1~(г), то в силу того, что функции (5) не обращаются в О, будут аналитическими (в соответствующих областях) функции ') Так квк а зе О кк С, то (в а(ь) удовлетворяет условию Гельдера вместе с а(й). и весьма простое решение дал в 1938 г. Ф. Д. Г ахов (18).

Это решение мы и приводим здесь. Начнем с решения задачи Гильберта (2). Назовем индексом функции а(~) целое число, равное деленному на 2п полному изменению ее аргумента при обходе С: — Ьс агд а (~) = —, ) с(! и а (ь). 1 Г с 298 гл. пь кглевыв злдлчи н нх пгнложвння (53 1~ (г) — =й~(г). В силу граничного условия (2) на контуре С 1~ (г) а (й) 1 (й) 1+ (й) — = — — =п(ь).— =1 я (Ц 1~ (с) 1 (й) а (с) следовательно, по принципу непрерывного продолжения й-(г) и д+(г) образуют одну аналитическую в полной плоскости г функцию й(г). По теореме Лиувилля я(г) = сопз1, что и доказывает утверждение. Пусть теперь 1па(ь) неоднозначная функция и ее индекс — п отрицателен; для простоты письма предположим еще, что С содержит начало координат внутри себя. Тогда индекс функции и, (с) = ь"а (ь) будет равен нулю, ибо Ьс а гй а, (ь) = ос а ги ь" + ос агд а (ь) = 2лл — 2ли = О, н краевое условие (2) запишется в виде Г(ь) = "'й.

1+(ь). (6) Будем искать решение задачи в виде произведения двух функ- ций 1 (г) = 7, (г) ) (г). (7) Пользуясь произволом в выборе одной пары, подберем функции 71 (г) так, чтобы выполнялось соотношение 1, (ь) =а, (ь)1, (ь). (8) Так как индекс функции а,(~) равен нулю, то можно воспользоваться уже полученным результатом, т. е.

положить 1, (г) = е ' , 7, (г) = е (9) где г,(г) — интеграл тапа Коши, построенный по граничным значениям !па~(~) (см, формулы (4) и (5); мы приняли А = 1). Остается выбрать функции ) (г) так, чтобы на кривой С было )2 © ~~~ ~2 (~)' (10) тогда произведения (7) будут удовлетворять условию (6) (чтобы в этом убедиться, достаточно перемножить (8) н (!О)).

Пусть такие функции )'*(г) подобраны, тогда в силу (1О) функции гв! з з пптсгелл типл коши и квлввыа злдлчн )з (г) и г 1 (г) совпадают на С и, следовательно, образуют одну аналитическую во всей конечной плоскости функцию. Эта функция имеет в бесконечности полюс не выше и-го порядка, так как Г. (г) правильна в бесконечности и, значит, является многочленом.

Таким образом, (г)=а+ — '+ ... + — „, аог + а1г + ' ' ' + а вспоминая формулы (7) и (9), мы можем написать окончатель- ное решение задачи для рассматриваемого случая в виде (11) где Е', (г) = — ) Г ! 1~"~ (Г)1 с (12) Постоянные ао, аь ..., а„в формуле (11) произвольны, причем одна из них, ам определяется заданием значения 1-(оо), Итак, если индекс функции а(~) равен — и, то задача Гиль- берта имеет и+! линейно независимых решений. Вводя обозна- чение 6 (г) =е (1Э) Как и в предыдущем случае, ищем решение в виде произведений Г~(г)=Г,*(г)~ (г).

Первую пару функций подчиняем ус. повию 1, (1.) = а, (Ь) Г1, (~); эти решения можно записать в виде 6 (г), — 6 (г), ..., — „6 (г); 6+(г), г6+(г), ..., г 6+(г). Рассмотрим, наконец, случай, когда индекс и функции а(Ь) положителен. Оказывается, в этом случае задача не имеет решений, аналитических в соответствующих областях. Действительно, мы вводим имеющую нулевой индекс функцию а, (Ц = -а- а Ю. ГЛ. И1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !53 1, (г) находятся с точностью до постоянного множителя, ибо индекс функции а1(ь) равен нулю.

для второй пары функций получаем краевое условие в виде ), (И=ь"1,'(1) Из него видно, что гз (г) и г"~,"(г) образуют одну аналитическую функцию, правильную во всей полной плоскости и, следователыю, постоянную. Так как в начале координат она равна нулю (нбо внутри С эта функцвя совпадает с «"!а+ (г)), то она тождественно равна О, что невозможно").

Резюмируем полученные результаты. Теорема 1 (Ф. Д. Гахов). Задача Гильберта (ь) = а (ч) 1+ (Е) имеет и+! линейно независимых решений вида (!3), если индекс — и граничной 4уунк![ии а(Ь) неположигелен. Если же индекс и положителен, то задача не ил!еет решений, аналитических в соответствующих областях. Перейдем к решению задачи Привалова: 1 (ь)=а(ь)!'©+Ь(ь). Пусть сначала вндекс функции аЦ) равен нулю, т.

е. соответствующая задача Гильберта, которая получается, если в условии (1) положить Ь(ь) = О, имеет единственное решение: -Р~ !я! (14) (мы заменили ау+! по условию (2) на !! ). После подстановки сюда 1! (Е) из (14) мы получаем краевое условие для га(г)! ~, (Ь) — ~, (1;) = — Ь (и) ее (15) '! Если допустить, что искомая функция может иметь полюс в некоторой точке, например точке л=оо, то задача будет разрешимой. Если индекс а(ь) равен и, то существует единственное решение, имеющее в бесионечности полюс порядка ч л, см.

Га хо в [!3). где г"(г) определяется интегралом (4). Решение задачи Привалова снова ищем в виде произведения ) (г) =1, (г))" (г), где функции )~ (г) определяются формулой (14). На контуре С должно выполняться соотношение =аф~ + Ь=[, ~+ +Ь 2 а 1штсГРАл типА коши и кРАеВые 3АдАчи зо! 231 Это краевое условие сводится к заданию скачка функции !2(г) на контуре С. Вспоминая формулу Сохоцкого (15) из предыдущего пункта, мы можем утверждать, что функция )2(г) лишь постоянным слагаемым отличается от интеграла типа Коши ! Г Ь (й) е-л РР Р2 (г) 2л1 Ь вЂ” г с (16) т. е (17) (~ (г) = А + Р,,* (г), где А — произвольная постоянная. Таким образом, если индекс функции а(с) равен О, то реше- ние задачи Привалова представимо в виде ! " (г) = е " !' (А + Р2 (г)), (18) где Р(г) и Р2(г) определяются формулами (4) и (!6) и А— произвольная постоянная. Докажем единственность полученного решения.

Очевидно, разность двух решений задачи (!) удовлетворяет условию (2). Отсюда вытекает, что два решения задачи Привалова могут от- личаться лишь иа решение задачи Гильберта. Учитывая дока- занную выше единственность решения задачи Гильберта, мы видим, что любое решение задачи Привалова получается из (18) изменением постоянной А.

ЕСЛИ ИНДЕКС ФУНКЦИИ а(ь) РаВЕН вЂ” 11, МЫ ВВОДИМ ФУНКЦИЮ а1(Д= ь а(2) с нулевым индексом и ищем )~(г) в виде про- изведения ), (г))2 (г), где !"! (г)=е ' и Р!(«) определяется интегралом (12), а )2(г) удовлетворяет краевому условию )2 (Ь) = †„ )2 (Ь) + Ь (Ь) е ' Последнему условию, очевидно, удовлетворяют функции 12 ( )=пО+ г + .

° ° +2!! +Р2 (г) 12+ (г) = а,г" + а1«" ' + ... + а„+ « "Р,+ (г), где ач, а1, ..., а„— произвольные постоянные, а Р2(г) опреде- ляется по формуле (16), в которой вместо Р-(ь) подставлена Р, (~). Окончательно решение задачи Привалова в случае от- рицательного индекса — а представляется в виде Г(г)=(( + — "+ +Ф+Р, (гф "' ", (19) 1'+(г) = (асг" + а1«" '+ ... + а„+г"Р2 (г)) а "' '* . 302 ГЛ. !и КРАЕВЫЕ ЗАДАЧ1! И НХ ПР!!ЛОЖЕППЯ Как и выше, легко показать, что формула (19) содержит все решения задачи. Если, наконец, индекс и функции а(Д положителен, то тот же самый метод приводит для 11(2) к условию 1-, (~) =+) Г,'(~), В для 11(2) — к услоВию (ь) =ь !', (Ц+ й(Де ' где г"!(2) означает интеграл типа Коши, построенный по граничным значениям (п —. Последнему условию удовлетвои (ь) ~л ряют функции (2) = А + сз (2), )л (2) = А + Ь'з+ (*) где гз(2) определяется формулой (16), в которой вместо Е-(ь) подставлена )с! (ь).

Как легко показать, нашему условию удовлетворяют только зти функции. Функция Г~(2) будет правильной в точке 2 = О, если эта точка является для А + га(2) нулем порядка не ниже п. Последнее условие можно несколько преобразовать, если разложить г! (2) в ряд Тейлора по степеням 2. Для этого подставляем А — — — — — — + + ° + — + — ~А+! Т в формулу (1б) (в которой вместо г" стоит г!), получаем; + ! Г ь((,) Р !с! Г ЬК) Р-(с1- гз' (2)= — —. ( — е ' !(ь — —.

) — е ' ٠— ... 2В1,( 2п! 3 С! с с 2 ! Ь(л) Р (П ... — — ) — е ' !(ь — ... ~л+! с Отсюда видно, что наше условие разрешимости имеет вид ,+, е' ' !(В=О (й=1, 2, ..., и) (20) с (постоянная А должна быть взята равной свободному члену разложения). Таким образом, в случае положительного индекса л задача Привалова имеет правильное решение лишь при соблюдении условий (20). $ а пнтвгвлл типА коши и хялввыв ЗАдхчц зоз Резюмируем полученные результаты, Теорема 2 (Ф.

Характеристики

Список файлов книги