М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(25,) Г с Вводя комплексные функции 1(г го) = Г (г, го) +1Н'(го, га), 1'(г, га) = Г' (г, га) + аН (г. »а)1 мы объединим 25 и (25!) в одной формуле 1 (го) = — „, ~ и (г) с1,1' (г, г,) + !о (г) сЦ (г, га), (26) с которая и обобщает формулу Коши. 326 ГЛ.
ПЬ КРАНВЫВ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Если эллипсы в плоскости ш являются окружностями, то можно принять 1' = 1, и формула (26) упроститса: 1(го) 2я' ) ) (г) д*((г го). ! с Наконец, для системы Коши — Римана можно положить ( = =!п(г — го), и мы получим классическую формулу Коши. В заключение отметим еще один элементарный факт, свя- занный с системой (13). Если ввести соответствующие системе «приращения» ь+е / А Ьг = 1/с бх — = азу + 1 1/ — сзу, 21'с с Ь вЂ” о' /'А бтв = 'у' В тзи — = сап+11/ — Ао, 2 )/В то легко показать, что эта система будет выражать необходи- мые и достаточные условия существования «производной» 1' (г) = !пп = = = '( )/В и„— о„+ 1 1/ — ол ~, (27) Ьш ) ( — Ь вЂ” д .
/А Т ьо За )/с 2УВ В где предел не зависит от способа приближения Лг к О. Этот факт обобщает теорему и. 5, по которой система Коши — Рима- на выражает необходимые и достаточные условия существова- ния обычной производной — в частном случае, когда а = с = 1, Ь = с( = О «производная» (27) совпадает с обычной произ- водной. 3) 3 а д а ч а Т р и к о м и. Дифференциальными уравнениями смешанного типа называют уравнения с частными производ- ными второго порядка, которые в одной части области своего определения имеют эллиптический тип, а в другой — гипербо- лический. Изучение таких уравнений представляет весьма боль- шой интерес для аэродинамики больших скоростей, ибо пере- мене типа уравнения физически соответствует переход скорости движения через скорость звука. Простейшим уравнением сме- шанного типа является уравнение (28) где О(у) = 1 при у » О и 0(у) = — 1 при у « .
О (таким образом, уравнение (28) имеет эллиптический тип в верхней полуплос- кости и гиперболический тип в нижней) . 3 а д а ч а Т р и к о м и *) *) Франческо Т р и к о м и — современный итальянский математик, который впервые поставвл и решил такую задачу Хля уравнения д'и д'и у — + — „О. дяз два 5 с пенложения 327 бн для ~акого уравнения в области Р, ограниченной кривой С, лежащей в верхней полуплоскости и опирающейся на отрезок (О, 1), и отрезками л'. и Е1 характеристик уравнения, которые параллельны биссектрисам координатных углов (рис.
!27), ставится следующим образом. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (28) при у ~ 0 непрерывную в замкнутой области О, имеющую частные производные, непрерывные в 0 всюду, кроме точек г = О, г = 1, в которых они лбогут обращаться в бесконечность порядка, меньшего 1, и принилбающую на кривбчх С и Е задан- ° ные значения: и = $ (бр (0) = ф (0)). (29) (~р© на С, Мы приведем простое и изящное решение задачи, данное А. В. Б и ц а дРяс.
!27. зе в !950 г. С помощью конформного отображения эллиптической части О, области 0 задача сводится к частному случаю, когда эта часть представляет собой верхний полукруг ~ г — —,! < —,, у > О. Кроме того, можно пред,- полагать, что ~р(0) = ф(0) = О. В гиперболической части Ол области О, где уравнение (28) имеет вид дби дли — — — =О. д» дз решение и(х,у), как известно, можно подставить в виде и=Ф(х+ у)+ Ч'(х — у), н, следовательно, наше выражение примет вид и(х, у) =Ф(»+ у) — Ф(0)+ ф~ — "). (ЗО) Из условия непрерывности функции и(х,у) получаем, что на оси х и(х, 0)=Ф(х) — Ф(0)+ ф( — ").
где Ф и Ч' — произвольные функции (см. И. Г. Петровский, (!]). На Е мы имеем х+ у = О, поэтому подставив это выражение для и во второе из условий (29), найдем: Ф(0)+ Ч'(2х) =ф(х) ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ П ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !56 В эллиптической части Р! функция и(х,у) гармоническая; пусть. о(х,у) — гармоническая в Р, функция, сопряженная с и(х,у) и равная нулю в точке (0,0). Как следует из выражения (30), в Р имеем: — =ОЭ'(х+у) — — ф'( 1, откуда, пользуясь не' ду ди прерывностью †. на оси х, находим: ду до ди — = — — = — Оз (х)+ — ф'! — ). дх ду Интегрируя, находим, что на осн х о(х, 0) = — (0(х)+50(0)+ фЯ, и, складывая это с выражением для и(х, 0), получаем: и(х, 0)+ о(х, 0) = 2ф ~ — ).
Положим теперь (31)~ и = и, (х, у) + из (х, у), где функции и! и ит решают соответственно краевые задачи ~ <р(ь) на С, ~ 0 на С, и! = (32Ъ 0 на 1.; ( ф(х) на 1.. Для первой нз этих функций, в силу соотношения (31) на отрезке (0,1) получаем: и,(х, 0)+ о,(х, 0)=0, но это означает, что аналитическая функция 11(г)=и, (х, у) +1о, (х, у) ибо симметрия относительно второй биссектрисы сводится к замене и! на о1, о, на и, и перемене знаков обеих координат. Таким образом, функция !'1(г) (вместе со своим продолжением) 11 ! аналитична в круге (г — — ~ ( —, причем в силу условий (32) 2~ 2' на верхней полуокружности С известна ее действительная часть )хе1!(ь) = ч1(ь), а на нижней полуокружности с„в силу соотношения (33) известна ее мнимая часть 1гп1!(Ь) = — <р(Ь).
Поэтому функция 11(г) восстанавливается по формуле Келдыша— преобразует отрезок (О, 1) в отрезок прямой и! + о, = 0 и, следовательно„ по принципу симметрии продолжается через отрезок (О,!). При этом в точках нижнего полукруга будем иметь: )! (г) = — о, (х, — у) — !и,(х, — у), (ЗЗ) приложения Седова (15), п. 54, которая для рассматриваемого случая при- нимает вид*) Заменим во втором интеграле переменную Г = й, получим: / а (! — а) Ч! (е) ой ./ г Й(1 — Й) Й вЂ” а с" с Обозначим агй'ол = /; так как на С имеем ол = е" сов!, то й = = е-аие. На еаи = 2соз'( — 1+ 2! з!п(сов ( = 2ат — 1, следовательно, й = «т/(2е — 1). Подставляя это в предыдущий интеграл, находим: Г -,/ (! — ) е(е) ле ('./ Г е [! — е) е — а (2е — !) с с Обозначая перелгенную интегрирования снова через ь и объединяя полученный интеграл с первым интегралом (34), находим окончательно: ( / (! — )( ! /г(з)= „; ) )а/ г(! г) 11 г а г ( а 2га 1'р(г)г(~ (3б) с Рассмотрим теперь аналитическую функцию /, (г) = и, (х, у) + (оа (х, у).
По принципу симметрии она продолжается через полуокружность С на всю верхнюю полуплоскость, ибо в силу условия (32) иа — — 0 на С. Согласно этому принципу в точках х и х/(2х — !) действительной оси, симметричных относительно С, функция /а принимает значения, симметричные относительно а, = О, т. е. отличающиеся знаком иа. /т(х) — — и., (, 0) + го, ( —, 0) . Теперь учтем, что в точках отрезка (О, 1) известна гте (! — () /, (х) .= иа (х, О) + тга ( х, 0) = 2чг ( —;, ) ° а в точках лучей ( — о, 0) и (1, оо) известна ! гп (1 — !) /, (х) = оа ( —,, 0) + и, ( —, 0) = 2 ар ( — ) .
') л(ы принимаем а1 = о, Ь, = 1; тогда д (а) =!' (а — !)/а. гл. пь краевые задачи н их приложения )аг Поэтому функция (1 — !))а(г) восстанавливается по формуле Келдыша — Седова для полуплоскости (см. (6) и. 54). После простых преобразований найдем: 1 и! 3 )г г(! — !) (! — а г+а — 2га) ф (2) Искомая функция в эллиптической части Р„очевидно, равна и (г) = )те ()г (а) + )а (г)), (37) где !'г(г) и )а(г) определяются формулами (35) и (36). В ги- перболической части Ра, как видно нз (30), она равна и(х, у)=и(х+ у, О) — ф( — )+ ф ( 2 ), (38) Можно доказать, что найденное решение единственно.
Более подробно об этой и других задачах для уравнения смешанного типа (28) см. работу А. В. Б и ца дз е [19). 57. Задачи гидродинамики и газовой динамики. 1) То н ко е крыло. В и. 49 мы убедились в том, что задача обтекания произвольного профиля сводится к задаче конформного отображения внешности этого профиля на р=г,гх) внешность круга. Однако фактическое построение такого кон-а ' к=~.-гх! формного отображения часто бывает затруднительным н поэтому приходится довольствоваться приблнженнымн решениями задачи.
В качестве примера такого решения рассмотрим решение Л. И. С е д о в а *) задачи обтекания тонкого крыла. Предположим, что контур крыла С определяется уравнениями у = Ра(х), — а <х < а, н близок к отрезку ( — а, а) (рис. 128). Пусть крыло обтекается поступательным потоком, имеющим на бесконечности скорость о и наклоненным к оси х под малым углом атаки а. Комплексный потенциал потока будем в соответствии с этим искать в виде от — а е-гад + )р' где Ф' = ()+ гИ вЂ” неизвестная функция. Мы имеем: 1птот=о (усова — хвбпа)+К(х, у), ') .Ч. И. Седов, теории плоских движений идеальной жидкости, М., Ойороигиз, )939; см.
также его монографию 191. $ С ПРИЛОЖЕ1!ИЯ ЗЗ4 оп и так как С совпадает с линией тока, то на нем 1т ь7 должна принимать постоянные значения, пусть равные нулю. Поэтому на С о (Г (х)сова — хз(па)+)7[х, с .(х)1=0. Пользуясь сделанными предположениями о близости С к отрезку ( — а, а) и малости угла а, мы заменяем в этом условии соз с4 на 1, зйп с4 на а и сносим условие на отрезок, заменяя, в частности, 1'[х, Га(х)) на )7(х, 0); мы получаем условия на двух берегах отрезка: )7(х, О) = о (ха — Ре(х)). Эта задача решается методом, аналогичным тому, которым выводится формула Келдыша — Седова п.
54. Положим —,—, =11(е)+6(.), дВ' ГдЕ 11(г) И 14(г) — аНаЛИтИЧЕСКИЕ ВО ВНЕШНОСТИ ОтрЕЗКа ( — а, а) и равные нулю на бесконечности функции, мнимые части которых удовлетворяют соответственно краевым условиям о+ — о- о++ оп+= — о, =, о+=о = . (4) рассмотрим далее ветвь функции у(з)=1~ —, которая на т а+а' осп х, при г = х '= а принимает положительные значения (эта ветвь, очевидно, однозначна во внешности рассматриваемого отрезка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
