М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 67
Текст из файла (страница 67)
А, Ч а ил ы г и н ы м, который, пользуясь нх линейностью, решил ряд важных задач теории газовых струй *). Прн и= — 1 интеграл Бернулли (20) принимает внд р= 1 Ухт 2 = ре 1 — 2 ~ и, подставляя это в уравнения годографа (26), Утпах найдем: ди Г Ух до дп аи дВ=У 1 — 2 — — = — У 1 — 2 — ° Уя,х дУ да Введем функцию от модуля скорости 'йг (к') — 1 ~, 1п '" "",; (27) ау У ! — ~мах+ 1 п1хх 1 тхх ') К сожалш1ию, переход к плосности годогряфя, дя1ошвй выигрыш в линейности уравнений, дает проигрыш в краевых условиях — ети условия в плоскости годографа имеют, вообще говоря, сложный вид. Поттому метод годографя не является универсальным. 4 т пРилОжения до до 1 до те 1г' ди так как — = — —,= — )г 1 — —, и аналогично —, дат ду Ф' д1' 4У Рт„„ дз ' то последние уравнения принимают вид ди до до ди д8 двг ' д8 двг ' т.
е, совпадают с )равнениями Коши — Римана. Таким образом, и + 1о в сделанных предположениях является аналитической функцией от (8' — 18, и любая такая функция определяет некоторый газовый поток. Это обстоятельство дает возможность эффективно строить весьма широкие классы газовых потоков и, в частности, газовые потоки, обтекающие некоторые профили. Однако задача определения газового потока, обтекающего з ад а ни ы й профиль, в терминах переменных годографа ТР' и 8 представляет собой очень трудную нелинейную краевую задачу (см. предыдущую сноску). Поэтому для практических расчетов в сороковых годах были созданы (С, А.
Хрнстиановичем, Т. Карманом н Ця н ь Сюэ-сэнем) приближенные методы. В нх основе лежит следующая идея — строится поток, обтекающий профиль, «близкий» к заданному, и даются правила пересчета потока, обтекающего некоторый профиль, на поток, обтекающий близ- л (У1 ® ® кий профиль*). 58. Теория кумулятивно- ® 1.'.) Й го заряда. За последние годы методы теории функции коьшлексного перегаенного з, з кг,с: Ь з. -="-";.«тз нашли новое и неожиданное применение в теории 7""х; весьма интересного явлс- .- "" "т ния — так называемой кумуляции.
Проделаем следующий Рис. 129. опьп. Поместим над стальной плитой толщиной в 20 см цилиндрические заряды одинаковой высоты (!5 см) и диаметра (4 слс). Заряды а) и б) — сплошные, остальные имеют коническую выемку со стороны, обращенной к плите, причем в зарядах д) и е) в выемку вставлены стальные конусы с толщиной стали в 1,5 млс. Заряды а), в) и д) стоят на плите, а остальные приподняты на высоту 1'гх диаметра заряда; инициирование зарядов производится в месте А (рис.
129). ') См. С. А. Христиааович, Обтекание тел газами при больших дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ!, вып. 481, 1948, а также [61, ч. Ц, стр. 122 †1. 340 ГЛ. 1П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ На рис. 129 изображено действие этих зарядов. Обращает на себя внимание парадоксальное увеличение пробивного действия в случае е), когда коническая выемка покрыта стальной оболочкой и заряд удален от пробиваемого тела. Эффект увеличения бронебойного действия при наличии выемки (случай в) ) был открыт еще во второй половине прошлого века и получил название кумулятивного эффекта.
Однако его использование ограничивалось некоторыми техническими задачами в горном деле. Значительное повышение бронебойного действия при наличии металлической облицовки было обнаружено позже, а к 1914 г. относится первый патент применения этого эффекта в бронебойном снаряде.
Широкое применение кумулятивный эффект нашел только в войне 1941 — 1945 гг. К этому же времени относится и создание теории явления кумуляции, которая за последнее десятилетие получила большое развитие во многих странах. 1) Физические предпосылки теории. Прежде чем сформулировать основные предпосылки теории, отметим несколько простых экспериментальных фактов, относящихся к взрыву н его метательной способности.
В описанных выше опытах имеются в виду заряды из так называемых бризантных (дробящих) взрывчатых веществ (тротил, гексоген, тэн и т. д.), которые характеризуются следующими свойствами. Если в малой зоне вещества создается достаточно высокое давление (инициироеанае), то от этой зоны начинает распространяться волна взрывчатого превращения этого вещества — дегонационная волна, Перед фронтом такой волны имеется покой, а за фронтом — продукты разложения с давлением порядка 100 000 — 200 000 аг; скорость распространения волны имеет порядок 5 — 10 км/сек. В теоретических исследованиях толщиной фронта детонационной волны обычно пренебрегают — опыты показывают, что иа практике толщина этого фронта дейсгвительно мала по сравненшо с другими характерными размерами.
Отметим, что полная теория детонации создана также сравнительно недавно и в настоящее время она входит в раздел ~азовой динамики, посвященный движениям с разрывами (см. [6], ч. П, стр. 258 — 266) . Приведем теперь краткое изложение основ теории первого приближения кумулятивного заряда типа е) с металлической оболочкой. В качестве предпосылок этой теории принимаем следующие гипотезы; 1'. Детонация происходит мгновенно, а действие взрывчатого вещества на оболочку сводится к импульсу, направлешюму перпендикулярно к поверхности казуса.
2'. Материя оболочки, а также пробиваемая сталь, считается идеальной жидкостью. $4 пРиложвния Обе эти гипотезы легко обосновать, хотя на первый взгляд представление броневой стали в виде идеальной жидкости и кажется совершенно неправомерным. Дело однако в том, что возникаюшие при кумулятивном взрыве давления имеют порядок 100 000 ат, а прп таких давлениях прочностные и пластические силы составляют сотые доли от сил инерционных. В принятых предпосылках качественную картину явления можно представить следующим образом. В начальный момент все элементы жидкой конической оболочки приобретают скорость (порядка 2 км/сек) в направлении осн конуса, происходит обжатие конуса с утолщением его стенок.
При подходе элемента к оси конуса часть этого элемента зыжимается и выплескивается вперед подобно тому, как выплескивается морская волна при затекаиии в клинообразную бухту. В результате этого из конуса выжимается струя — «проволока» (рис. 130). Расчет показывает, что скорость такой проволоки тем больше, чем острее конус. Обычно наблюдаемые скорости имеют порядок от 2 до 1О ки(сек; в отдельных экспериментах достигнута скорость до 90 кч/сек. Проволока при встрече с броней производит на нее давление порядка 1 000 000 ат, что и объясняет применимость схемы идеальной жидкости для построения теории пробивания.
Качественная кар- Рнс 1ЗО. тина пробивания отличается от картины формирования струи лишь направлением изменения времени (заменой ( на — 1). Характерным в этом процессе является то, что по мере его развития длина струи уменьшается, на каждый пробитый участок расходуется часть струи. 2) Гидродинамическая схем а.
Рассмотрим задачу о соударенин двух идущих навстречу друг другу струй с общей осью симметрии, причем то, что мы будем говорить сначала, относизся как к плоскому случаю, так н к случаю с осевой симметрией. Эта задача сводится к построению установившегося течения идеальной жидкости в среде с постоянным давлением, удовлетворяюшего следующим условием. Вдоль оси симметрии, которую мы принимаем за ось т, слева направо течет такой поток жидкости плотностью рь что при х- — оо диаметр потока приближается к 2гь а скорость — к г'и справа налево вдоль той же осн течет поток жидкости плотностью р,, диаметр которого стремится к 2гх прн х- +со. Течение имеет свободные поверхности и Ег и поверхность у раздела двух жидкостей; эта поверхность симметрична относительно оси х, причем в точке ее 342 Удаляясь вдоль у в +со мы видим, что 1'+- У2, на основании (2) мы получаем, что 1с — 1/ о' У, при х- +со вдоль у, ОтР2 сюда аналогично предыдущему заключаем, что вдоль свободной поверхности 12 Г !» У =СОПЕ1 = 1с' О У!.
Р2 Этим самым определяется предел при х- +со скорости потока, идущего вдоль оси х справа налево: 12 1 1!. (О) г Р2 Плоский случай. Остановимся подробнее иа случае плоско- параллельного течения и обозначим соответственно через ш = ~!(Е) = и, + 2он и! = )2(е) = и2 + 2о2 (4) комплексные потенциалы встречных потоков.
Пользуясь симметрией этих потоков относительно оси х, рассмотрим верхнюю нх часть, где о - 0; тогда функции (4) будут реализовать конформные отображения областей, занятых потоками, на полосы шириной д! и д„где д! = 1с,г, и 42 = Уэга — расходы в каждом из потоков. Отображения (4) определяются с точностью до постоянных слагаемых и эти постоянные, очевидно, можно выбрать так, чтобы полосамн в плоскости ш служили полосы 0(о(д! и — д2(о(0 ГЛ. И!.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ в~ пересечения с осью, которую мы принимаем за точку х = О~ скорости обоих потоков равны пулю (рнс. 131). Так как течение установившееся, то для давления р по фор~ муле Бернулли — Эйлера (1) п. 47 имеем соотношение р=А — фУ2, (1)! где А — постоянная, равная давлению, соответствующему У = О, т. е. в точке х = О. Из условия постоянства давления во! внешней среде иа основании этого соотношения получаем, что вдоль свободной поверхХ ности А.! и с! С С2, У = соне( = Уо т Вдоль поверхности раздела у скорости У+ и 1'- потоков жидкостей с плотностями соответственно р! и р2 должны быть связаны соотношением Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
