М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Подставляя это выражение в (22), будем иметь выражение напряжений через функцию ~р(г): Уа — (Ха — — ф' (г) — ф' (г) + (г — г) м" (г). (23) Аналогично, из формулы (24) п. 50 получим выражение смещений через ту же функцию: 2р (и + ги) = н~р Ю + ф (г) — (г — й) ф' (г) + сопз(. (24) Перейдем к решению краевых задач. В первой краевой задаче на действительной осн задаются внешние напряжения: давление Р(1)= — У и а касательное напряжение Т(1) =Х; мы предположим, что они удовлетвоа ' ряют условию Гельдера и равны нулю на бесконечности. Из формулы (23), в которой надо перейти к пределу при г -~-1, получаем красвос условие для функции ~р'(г); ф+ (1) — <р (1) = Р (1) + (Т (1), (25) Решение краевой задачи (25) на основании формулы Сохоцкого (15) п 52 дается непосредственно в виде ннтегрзла типа Коши 1 Р(1)+1Т(1) 2л( .) 1 — г (26) При некоторых дополнительных условиях, наложенных на Р(1) и Т(1), функция ф'(г), определяемая формулой (26), будет удовлетворять нужным условиям на бесконечности, которые (как вытекает из формулы (22) п.
51) имеют вид ы'(г) = — ° — + о~ — 11 Х+1У ! 111 2н г )г1' (27) 11) 1 где о ~ — ) — малая высшего порядка по сравнению с —. При этих условиях, (г ) г подставив найденное выражение гр'(г) в формулу (23), мы найдем напряжения, а из формулы (24) найдем смещения (с точностью до жесткого смещения). Мы видим, что на ненагруженных участках оси х, где У вЂ” 1Х„= а =ср (х)+ф (х)+х~р" (х)+ф (х)=0, соотношение (21) принимает вид ср+ (х) ср (х). й 4. ПРИЛОЖЕНИЯ зэ! Во второй краевой задаче на действительной оси задаются значения компонентов смешения: и- = йс(1), е = йз(1); мы предположим, что производные у, (1) и д~(1) удовлетворяют условию Гелъдера и равны нулю на бесконечности.
Дифференцируя равенство (24) по х, переходя к пределу при г -ь 1 нз ппжпей полуплоскости и используя заданные смещения, найдем краевое условие задачи: 2Р(У!(1)+18з'(1)]=хф' (1)+ф' (1), (28) Обозначвм через Х(з) функцию, равную ф'(г) в верхней пол>плоскости п — хср'(з) в нижней. Тогда условие (28) перепишется в виде х+(1) — х (1)=2п[84(1)+1уэ'(4 н функция у(1) найдется в виде интеграла типа Коши Гс Г а!(1)+18з(1) Х (е) = —. 4(1.
хг 1 — г (29) Зная у, найдем и искомую фут~киню ф'(з) Х (з) при !сп е > О, 4Р' (г) = 1 — — Х (е) при йп е < О. х (30) 4) 3 ада ча о ш та и не. Пусть над участком ( — 1, 1) дсйствите.чьной оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жестнпй шта»п с прямолинейным горязонтальныи основанием (рис. 134).
Мы предполагаем, что точки участка ( — 1,1) соприкасаются и неизменно сцеплены со штампом и что штамп может перемешаться лишь вертикально. Задача представляет собой смешанную краевую задачу теории упругости: на отрезне ( — 1, 1) заданы смещения + 4"- и1 (1) + 1нз (1) = сопз(, (3!) а па остальной части границы, т.
е. лучах ( — се, — 1) н (1, со) — напряжения Д„= У =О. (32) Рис. 134. Подставляя условие (32) в формулу (25), мы видах, что в точках лучей ( —:о,— 1) и (1, сс) выполняется соотношение ф+ (1) = ~р П) аналитически продолжается через эти лучи. в формулу (28), мы получаем связь граничных разреза (-1, 1):хр (1)+ср+(1) О, или ~сь «) - — хф' П). т. е. что функция ф'(е) Подставляя условие (3!) значений ~р'(г) на берегах (33) Таким образом, для определения функции р'(е) ны приходим к краевой за! даче Гильберта — Привалова в случае Ь = О, а= — — и незамкнутого кон. х тура С (см, конец п. 53), Индекс функции о равен нулю, поэтому задача ГЛ.
И!. КРАНВЫП ЗАДАЧИ И ПХ ПРИЛОЖЕ!и!и 356 решается с помощью формул Гахова (4) и (5) и. 53, которые для нашего случая принимают впд Г "(--,') Р (з) = —. 2и! л ь — а 2п! !(ь = — —. ([и и+ [и) [и— г+[' -! з — !' (з+[~ [пи г где () — '. Однако найденная функция !р (з) ие удовлетворяет условиям 2я ' на бесконечности — она принимает там конечное значение А, а искомая функ.
ция согласно условию (27) должна иметь там нуль первого порядка. Поэтому, используя замечание в конце п. 53, и умножив найденную функцию на †, получим ): ! з — !' Вычет нашей функцнн в точке г = ~о равен А (при соответствующем выборе ветвей многозначных функций, вхолящих в полученное выше выражение), к+ !у поэтому, учитывая формулу [27), находим: Л = —, т.
е. постоянная А 2и авиа равнодействующей сил, приложенных к штампу. В наших условиях = О, у = — Рж и мы получаем окончательное выражение функции !р' (г): гро ( з+! !р (2) =— !) (34) Вычислим давление Р(!) и касательное напряжение Т(!), действующее па тело под штампом. По формулам (25) и (ЗЗ) имеем: Р (!) + ! т П) = рг (!) — р' П) = — ([ + к) ф' (!). Подставив сюда выражение (34), найдем где в правой части следует брать предельное значение функции при я -ь ! по точкам верхней аолуплоскости е*).
После элементарных преобразований Э ) Мнонснтель — выбран так, чтобы полученная функция имела осо! г — ! бен!юсти лишь в концах отрезка ( — [, !). че) При этом в знаменателе появится множитель епй=)РИ (см. выше определение постоянной ()). ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ г!! получим; (!) .— соз р 1п Рэ !+к ! !+!! 2п )7 1' — !' )У х Т (!) = = 5!п [1 1п — ~ Ре 1+н .
l 1+!! 2ЛР ~' — !з Ун 1 — ! (35) Этн формулы получены В. А. Абрамовым (см. Н, И. Мусхелнш в н л и (1 О]) . Литература к главе 1П [Ц И. Г. Петро в с к и й, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. (2] Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. 1Н, ч. 1, ГТТИ, 1933. (3) Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского потенциала, Госгехиздат, 1946.
[4) д. !О. П а но в, Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1949. (5) П. Ф. Фильчаков и В. И. Пан чишин, Интеграторы ЭГЛА. Моделирование потенциальных полей на злектропроводной бумаге. Изд-во АН УССР, Киев, 196!. (6) Н. Е. Кочин н И. А. К и бель, Теоретическая гндромеханнка, ч. 1, ч. П, Гостехиздат, 1948. (7) В.
В. Голубев, Лекция по теории крыла, Гостехиздаг, 1950. [6) Л. И. Седов, Плоские задачи гидродпнамики и аэродинамики, Гостехиздат, 1950. [9] И, М. А с н и н, Расчеты электромагнитных полей, нзланне ВЭТА, Л., 1939. (1О] Н. И. М ус х ел и ш вил и, Некоторые основные задачи математической теории упругости, Изд.во АН СССР, нзд.
4-е, !954, (11] Г. В, Колосов, Применение комплексной переменной к теории упругости, ОНТИ, 1935. [12] Х. С. К а р с л о у, Теория теплопроводности, Гостехиздат, !947. [13) Ф. Л. Га х о в, Краевые задачи, Физматгнз, 1963. [!4) Н. И. М у с х ел и ш вил н, Сингулярные интегральные уравнения, Фнзматгиз, 1963. !5] И. Н.
В е к у а, ОбоГ>шенные аналигические функции, Фнзматгиз, 1959. !6] М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, Изд-во АН ГССР, !962. (17] Л. И. В оп ко вы с к и й, Квазиконформные отображения, Изд.во Львов. ского ун-та, 1954. (15] Ф. Т р и ко м и, О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат, 1947.
[19] А. В. Б ица две, К проблеме уравнений смешанного типа, Труды нн-та имени В. А. Стеклова, вып. ХЕ!, Изд-во АН СССР, !953. (20] М. А. Лаврентьев. Кумулятивный заряд и принципы его работы, Успекн матем, наук, т. ХН, вып. 4 (1957), 41 — 56.
[2Ц М. А. Лаврентьев и Б. В. Ш а ба т, Проблемы гидродинамикн и их математические модели, «Наука»,!973. Глава 1)т Вариационные принципы конформных отображений Эта глава посвящена <динамике» конформных отображений. В ней излагаются качественные и количественные предложения, позволяющие судить о том, как изменяются отображения прн изменении границ отображаемых областей. Такого рода предложения представляют собой интерес для практики, ибо оии дают простые методы пересчета при переходе от данной конструкции к конструкции близкой. Предположим, что при расчете запроектированной конструкции оказалось, что некоторые величины превышают допустимые размеры. Тогда, естественно, возникает вопрос о том, где и насколько надо изменить конструкцию. В некоторых случаях ответ на этот вопрос можно получить на основании излагаемых здесь вариационных принципов.
В конце главы даются примеры примененяя вариацнонных принципов к конкретным прикладным задачам. й 1. Основные вариационные принципы Пусть в плоскости г заданы две односвязные области В и В, ограниченные кривыми С и С, и пусть э = )(г) и гв = = ((г) — функции, реализующие конформные отображения О и Ю на одну из канонических областей (круг, полуплоскость, полосу) и одпнаково нормированные.
Задача, о которой мы только что говорили, ставится следующим образом: Считая отображение и = )'(г) известным, а контур С близким к С, найти главную часть Ц приращения ~ (г) — 1 (г) = б( + г (1, г ) при переходе от области 0 к й Мы имеем два типа результатов, относящихся к решению этой задачи,— качественные теоремы и методы приближенных подсчетов 6) с оценками для остаточного члена г(Г',)).
Начнем с качественных принципов. 60. Основной вариационный принцип. Условимся о некоторых обозначениях. Область, ограниченную кривой С, мы будем $ Е ОСНОВНЫЕ ВХРИКЦИОННЫВ ПРИНЦИНЫ ' 359 бм обозначать О(С). Функцию, реализующую конформное отображение 0(С) на единичный круг, при котором фиксированная внутренняя точка гб области переходит в начало координат, мы обозначим: ш =)'(г, С); )'(гб, С) = О. Функций, удовлетворяющих указанным условиям, бесконечно много, но все они отличаются друг от друга множителем вида е ь, где Π— действительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
