М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 74
Текст из файла (страница 74)
При е < и 0,1 такой путь приводит к неравенству ! Бгд~(е, С) — агаг1< 1,6р. (1О). Доказанные две теоремы дают оценки для вариации модуля производной и аргумента отображающей функции в зависимости от вариации границы области. Эти теоремы доказаны для граничных точек, но в силу принципа максимума они остаются справедливыми и внутри области. й 2. Отображения близких областей В этом параграфе даются приближенные формулы для конформных отображений областей, мало отличающихся от областей, отображения которых на канонические области известны.
Полученные в предыдущем пункте результаты позволят нам оценить точность таких приближенных формул. Мы начинаем с областей, мало отличающихся от единичного круга. 63. Области, близкие к кругу. Будем по-прежнему считать замкнутую линию С близкой к единичной окружности 1г( = 1 по положению и кривизне, т. е. в ее полярном уравнении г = г (ф) = 1 — Ь (ф) (О < ф < 2п) (1) будем считать ! б (ф) ! < е, ~ б' (ф) ~ < Б, ( б" (ф) ~ < е. (2) Главную часть 1(г, С) мы получим, отправляясь от формулы (9) п. 34 для отображения круга с выброшенной луночкой площади бь угловые точки которой близки к е™, б! 1 + БЕ ) а~ и! = г 1 + — ~,.
(=г+ — ~ть(г) (3) 2Б ! — Бе и 2я (!Б(0) =О, в'(О) > О), Предположим, что из круга (г!(1 выброшены две луночки, бн н бп, угловые точки которых близки соответственно ке" и е". По формуле (3) находим отображение круга (г( < 1 с выброшенной луночкой бп на круг (ы( < 1: ы а + — т! (Е). (4) С пРинатой степенью точности можно считать, что лУночка бп переходит в луночку той же площади и с угловыми точками, близкими к ы=еиь Теперь снова воспользуемся формулой (3), согласно которой функция бп !е = ы+ т!! (ы) зтб гл.
ис ва иацио!«иыг. пишпииы коижогмных отогга>кенин 1ав реализует отобраакение кр)гн !о!!(1 с выброшенной луночкой а!. на круг )ю~ ( !. Подставляя в (6) выражение оа из (4) н замечая, что благодаря наличию множителя пк под знаком функции «)!., (оа) с принятой степенью точности можно заменить «о на а, получим отображение круга !г~( ! с выброшенными двумя луночками иа единичный круг н, о! 2п )!'( 2п (6) Заменив сумму интегралом и подставРнс.
141. лня вместо т)!(г) ее выражение из (3), найдем окончательную приближенную 4«ормул)7 для конфорл«ного отображения на круг области, близкой к кругу: ая 1 г, +, !а,с|-*~!« — ) «р! и «!~ ен — а о (! (О, С) = О, !'(О, С) > 0). (7) Изложенный вывод формулы (7) геометрически нагляден, однако оп не является достаточно строгим н не дает оценки погрешности, допускаемой этой формулой. Поэтому мы приведем сп«е, следуя Г.
В. Сирыку"), аналитический вывод этой формулы, основаииьш на интеграле Шварца (4) п. 44. Обозначим через г = у(ш) функцию, обратную функции и! = !(г, С). Тогда д(и!)1«а будет правильной аналитической в круге !«в) ( ! функцией, отличной от нуля, и поэтому (ив у (м) *) Г. П. 6 арык, О копформноч отображении близких областей, Успеап матем. паук, т. Х1, нып.
5 (71), 19бб, 57 — 6В. айормула (6) остается в силе, если выбрасываемые участки круга по форме отличны от луночек. Перейдем к общему случаю области О, ограниченной кривой (1). Заменим эту кривую ломаной, состоящей из дуг окружностей и отрезков радиусов (рис. (4!). Площадь выброшенного сектора оп —— т = ( ! — г (Еа) ) б!а = б (7~) б(а, где 6!а = =- 1!,+! — Ом поэтому, применяя обобщенну!о на случай и выброшенных секторов формулу (6), получим: ((г, С) = г+ — '))', б ()а) $~!а(а) Ыа. 1 а=! З 2. ОТОБРАЖЕН!!Я БЛЫЗКПХ ОБЛАСТГИ кп можно представить интегралом Шварца. Если считать известным соответствие 4! = ср(0) аргументов точек в = есо единичной окружности и точек г= ге!о кривой С н учесть, что на окружности !хе !п — =!пг (42(0)), где г = г(сс) — полярное у (се) уравнение С, то этот интеграл запишется в виде 1п = — ! 1п (~г (О)! м дО се 2к е — се о (8) ! и (с) ! < Б, ! и'(с) ! < Б, то интеграл Шварца сл Е(г) = — " и(С) и дс 2Л .! Ес! — 2 о (!О) для всех г, ! г! < 1, удовлетворяет неравенству 1р(г)1< М, (11) где М вЂ” некоторая постоянная.
Для доказательства заметим прежде всего, что как следует из свойств интеграла Шварца для всех г, (г! < 1, 2л о е' — е поэтому 2л г е! + гено Г (гене) — и (Ч!) = — ! (и(!) — сс(се)! и, дй е — ге!о о Но по условиям леммы и по теореме о среднем ! и(!) — и(ср) ! < < Б)! — ср), следовательно, по теореме об оценке интеграла б ! есс+ ге'о (Е(е") — и(ср)! = —, ! (! — Бс( ~ сг,.„дс.
о (в формуле (4) п. 44 мы полагаем С= О, ибо в силу принятого условия нормировки у нас у'(О) ) 0 и, следовательно, левая часть (8) действительна при ш = 0). Для оценки интеграла (8) воспользуемся следующей леммой. Л е м и а. Если непрерывно дифференцируе,яая де!сете!стельная функция и(С) на отрезке !О, 2п! удовлетворяет условия.и и(0) = сс(2п), '378 Гл. (н.
ВАРИАционные НРинципы конФОРмных ОТОБРАжении [бз Очевидно, что интеграл в правой части ограничен для всех г, 0 (гав!, и для всех (р, 0 ((р42н, а так как у нас по условию ] и((р) ] С е, то ] г (ге'Р) ! ~<] Р(геее) — и ((р) ]+ ! и ((р) ! < Ме, где М вЂ” некоторая постоянная. Лемма доказана. Вернемся к выводу формулы (7). В силу условия ]б((р) ] ~а мы имеем: 1и г [(р (8)] = !и (! — Ь [(р (8)]) = — Ь [(р (8)] + 0 (е2), кроме того, как видно нз доказательства теоремы 2 предыду- щего пункта, в условиях (2) (р'(8) = 1+ 0(е), поэтому (б [е((8)])'=Ь'[(р (8)] (р'(8) = 0 (е) и [! [(р (8)])' = —, (~ ЫВ) ВЛ = — (Ь [(р (ОН)'+ 0 (е2), Таким образом, по доказанной лемме замена в интеграле (8) !~г[(р(8)] на — б[(р(8)] приведет к погрешности порядка 0(е'). Далее по теореме 2 предыдущего пункта Π— (р = 0(е), поэтому в наших условиях Ь ((р) = Ь (8) + б' ((р') (Π— р) = б (8) + 0 (е2) (Ь[а(8)])' — Ь (8) =Ь'(р) [1+0(е)] — Ь'(8) = = б' ((р) — б' (8) + 0 (е2) = Ь" ((р'*) ((р — 8) + 0 (е2) = 0 (ее) ((р', (р** — точки, заключенные между О и (р).
Таким образом, по лемме в рассматриваемом интеграле с принятой степенью точности можно заменить еще 6[(р(8)] на б(8), н мы получим: (12) Так как по той же лемме в наших условиях!и =0(е), а (а(! то — =е =1+!п — -+0(22) н вместо (12) можно д ((Р) (л — л (а() написать 2л = е ( ( = ] ( — †,' [ е (е) '„ " ее ] -е о ( *1. (ее) о 5 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКНХ ОГЛАСТБП зтв Из этой формулы легко получить и формулу для обратного отображения те=1(г, С) — для этого достаточно переписать (13) в вице ш —,л + 0 (е') = Г 6(в),", е — !е о 2л =г~1+ — ) 6(О) „дй +0(Б') ! Г с!о+ о и на основании соотношений 6(В) = 0(е), ш — г = 0(Б) заметить, что с принятой степенью точности под знаком интеграла можно заменить ю на г. Таким образом доказана Т е о р е и а.
Если кривая С с полярным уравнением г = г ( р) = 1 — 6 (ср) у!довлетворяет условияж 16 (!р) 1< е, 16' (!р) ! ( Б, 16" (<р) ! ( е, то функцшо и! =1(г, С), 1(О, С) = О, )'(О, С) ~ О, реализующую конфорлное отображение области 0(С) на единичный круг, можно представить в виде =К(*,с! *(! -~ — „! Гя *, * а~!о!~, д4! о Для практических целей полезно отметить еще соотношения между полярными координатами точек г = ге!о и и! = реоо, соответствующих друг другу при рассматриваемом отображении: 2л г = р~1 — — ) 6(1) Г ро 2л .) 1 — 2рсоо( — О+р' о (16) 2л „! ! — 2рсоо( — г)+р' о Эти соотношения получаются отделением действительных и мнимых частей в формуле (13) (ср, п. 44) и справедливы с точностью до малых порядка е2. При р = сопз1 они дают параметрические уравнения прообразов окружностей 1ге) = р.
330 гл 1ю ВАРиАционныБ ПРинципы кОИФОРмных ОтОБРАженип !52 Вторая из формул (15) справедлива и при р = 1 2л р — Π— — ) 1(( — Π— — ~1 б (!) с(О' ! 1 3605!П(0 — 21 ! 1 0 — ! о о откуда 60 = р — О = — (~ б(!) с(п Г 2 — 0 2л,( 2 о (16) 25 а -а а ~ с1и 1(! = ~ с1и — 2(т=!нп ~ + ~ =О. о -п — а а Поэтому формулу (16) можно переписать в виде 2л ЛО= ~ ) (б(() — б(0)) !й, (( о (17) где интеграл понимается уже в обычном смысле (ср.
п. 52; функция б(!) удовлетворяет условию Гельдера, ибо она дважды дифференцируема). Наиболее важной для практических применений является формула (16). По этой формуле можно вычислять не только значения р по О, но прн условиях (2) также и значения граничной производной. В самом деле, представляя разность ЬО = = 1р — О по формуле (17) и дифференцируя по параметру О, находим: лв =1+ 2 ) ( 0 — б (0)с(Ю Г ! 3(0-3(0), (-0 ! о 2пп2 =,+ ! ('3«1- О)„, Оя,) 2 — 0 о 5(ио— 2 2 — 0 ибо, как мы отмечали выше, интеграл с(д — от О до 222 равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
