М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 78
Текст из файла (страница 78)
На свободной (волновой) поверхности давление должно оставаться постоянным, равным атмосферному; следовательно, по известной из гидродинамики теореме Бернулли в каждойг точке линии С должно иметь место соотношение р=А — 9 р)г"(г, С, /г) )г — йргг =сонэ!, 1 (3) — + 2чуг =с, где с — некоторая постоянная и ггъ е,ч ч=а — = —, "ь — безразмерныи параметр. Мы будем рассматривать случай, когда а = ч — ! — малое положительное число.
Введем переменные гз = аг„йз = а~г и где р — давление и А — некоторая постоякная. Таким образом, наша задача свелась к следующей: построить все кривые С: у = д(х), такие, что конфорлгные отображенггя !'(г, С, й) области Р(С): О ( у ( у(х), на пологи О ( д ( 6 заданной ширины и в каждой точке С удовлетворяют соотношению (3). Вследствие нелинейности условия (3) решение этой задачи во всей полноте вызывает большие трудности и не получено до настоящего времени. Мы изложим ниже приближенное ее решение, основанное на приближенных формулах теории конформных отображений.
В наших частных задачах мы будем искать периодические четные кривые у = у(х), мало отклоняющиеся от прямой у = Н. ,'.(ля удобства дальнейших вычислений совершим подобные преобразования плоскостей потока и комплексного потенциала, положив г = Нг, и ь = йьг. Соотношение (3) перейдет при этом в соотношение 4СО ГЛ. 1и, ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦНПЬ1 КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕ1Н1Й !ЕГ предположим, что в плоскости гз образ кривой С удовлетворяет условиям "!а < Уз < аза, (Уз ( < оз" ! ~ Уз ~ < а!а, ! Уз ( < аза ), (6) где аз — некоторые постоянные.
По формуле (25) п. 65 мы получаем тогда приближенное выражение У ~ = — (1 + ув!у2г) + 0 (а'Ь) (8) *) При выводе уравнении (9) в первом издании книги был допущен рвд погрешносзе)й на которые нам любезно указал Н. Н. Моисеев. млн после перехода к переменным гг и Ьз! — = — '(! + з у!у,") + 0 (а ! ). Подставляя зто выражение в формулу (4), мы получим с учетом условий (6) приближенное уравнение, справедливое с точностью до малых порядка 0(а'!) вдоль кривой, соответствующей С в плоскости гн (7) г/ ! Примем еше за новую действительную ось плоскости г прямую У = Н, т. е. положим У = Н(1+Ч), или, что то же самое, у, = 1+Ч; тогда уравнение (7) перейдет в уравнение —, т!" + 2о (1 + Ч)' + —, — с (1 + т!) = О.
н 2 Если выбрать постоянную с так, чтобы Ч = О было решением последнего уравнения (с = 2о+ 1) и воспользоваться тождеством — =1 — Ч+ Ч вЂ”вЂ” ! 2 Ч ! +Ч !+Ч ' то зто уравнение можно будет переписать в виде Ч" + 3(ч — 1) Ч+ 2 (2н+ 1) Ч' — ~ !" — — О. 2 )+Ч Так как мы ищем решения, мало отклоняющиеся от прямой у = Н, то Ч можно считать малой величиной. Мы предположим, что шах)Ч( имеет порядок сс, тогда с принятой степенью точности в левой части (8) последний член можно отбросить.
Вводя вместо т величину а = т — 1 и пренебрегая членом аЧ2, мы получим окончательно *): Ч" +ЗаЧ+ — Ч =О. (9) % 3. пРнложеппя 401 Дальнейшее изложение мы будем вести в двух различных предположениях. ' 1'. Л и пейн а я теория. Предположим сначала, что число п1ах!т1~ мало в сравнении с дх (волны малой амплитуды). Тогда уравнение (9) можно линеаризировать, отбросив в ием нелинейный член т!" + Зат! = О. (1О) Так как по принятому ранее условию а > О, то в качестве ре- шений этого уравнения мы получаем линейные волны: т! = — соз !/За х1, Н Период волн после подстановки значения т = а + 1 из формулы (5) записывается в виде т з™ откуда (! 2) Таким образом, при данной скорости распространения о, и данном периоде Т существует бесчисленное множество решений задачи, зависящих от одного параметра — амплитуды волнвт.
При этом средняя глубина канала Н определяется соотношением (!2). Из этого соотношения следует также, что скорость распространения линейных волн возрастает вместе с их длиной, но никогда не превышает )ТцН. Пренебрегая в (! 2) членом Г. '. тпН тт — мы получим формулу Лагранжа о,=)гуН. 2'. Длинные вол ны. Займемся теперь случаем, когда шах!т!) имеет тот же порядок, что и а. В этом случае приходится рассматривать уравнение (9) в полном виде, и задача становится нелинейной. Уравнение (9) допускает, очевидно, первый интеграл — = А — Зат!т — Зт!т дтх, ) (!3) где а — произвольная постоянная. В переменных х и у уравнение этих волн имеет'внд у=Н+ асов — х. (11) 402 гл.
!Р. ЕАРилциОнные пРинципы конФОРмных ОтовРАжения ~ют где А — произвольная постоянная. Приняв, что в вершине волны, г. е. при х! = О, имеем т! = 21ю ) О, получим для А значение А = Зт!',(а+ Ч,). Для сушествования периодических решений уравнения (9) необходимо, чтобы нашлось еше значение Ч = Ч! ( Ч, (впадина волны), для которого — =О. В силу (13) это значение должа т! Их, но быть корнем уравнения Чю+ а!12 — т1';(а+ тъ) = О. Это уравнение имеет корень Ч = Чю, деля обе части на Ч вЂ” Ч„ найдем: т12 + (а + Чю) т! + т!ю (а + Чю) = О, откуда 2 ~ 2 т (а+ Чю) — 4Чю(!2+ Чю) (14) Таким образом, для сушествования периодических решений необходимо, чтобы было (а+ Чю)' — 4чю(а + т1ю) ) О, т. е.
а — ач Ч„( —. Так как у нас принято, что Чю > О, то это условие имеет вид а Чю~з' (15) При этом условии из соотношения (13), которое можно переписать в виде ~ч 'ттч 2 ах! ах — х=н — „=У'А — 3 ! — зчю У находим полупериод рассл!атрнваелтых волн — =Н „ Т ( дч 2 ) УА — ЗаЧ' — ЗЧ' тю (16) на участке О ~( х ( Т! х=Н и Ч УА — з ч — зчю (17) При Чю ( а/3 подкоренное выражение имеет в концах Чю и Ч! отрезка интегрировання простые корни, следовательно, величина Т конечна. Легко написать и уравнение половины волны о71 5 о, пРи,ложенс!я 46З Непосредственно видно, что условие Ч, а/3 явлнется достаточным для существования решений уравнения (9), имеющих волновой характер, В отличие от линейного случая амплитуда волн не может считаться произвольной, а при фиксированной скорости оо она зависит от периода Т.
Отметим еще несколько качественных свойств полученных решений; эти свойства вытекают пз приведенных выше формул. а) Период Т волны возрастаег при увеличении ординаты Чо, а также при увеличении амплитуды Чо — Чс —— .2а. Минилсаль2пН ное значение Т вЂ” = Уза соответствует линейному случаю, когда Чо бесконечно мало. Когда тсо приближается к значеа а' нию —., величина Т не- 3' ограниченно растет и при а = — периодическое ре- 3 шение вырождается в линию с единственньсм максилсулсом при х = О и 2 с асимпгогои Ч = — — а Рис !46. (рис. !46). В последнем случае решение легко выписать в явном виде, а 2 ес.чи заметить, что при Чо = — из (14) мы получаем Ч, т= — — а 3 3 и, следовательно, уравнение (13) принимает вид ДЧ сс 3 (Чс Ч) (Чс Ч) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными интегрируется в элементарных функциях и его решение, а которое при хс = О принимает значение Ч =тСо= —, имеет вид 3 ' /1, Уз т1 = а 1 — — 1!то — хс), (,3 2 или, в переменных х и у у=Н+аН~( (йо х).
'1З 2Н (18) Построенное апериодическое решение носит название уединен- носс валми. 404 гл. су. вдпссацстоиссьсе пиинципьс коивормиьсх отоиражегисп саа б) Кривизна волны в вершине всегда больше, чем кривизна волны во впадине. в) Скорость распространения волны убывает при возрастанисс а. Посмотрим в заключение, в какой мере построенное решение удовлетворяет условиям, при которых принятое приближенное выражение для (]'] мало отклоняется от истинного (см, п. 65). Для этой цели мы должны оценить функцию т) и ее первые три производные. Имеем: 1 — а* < т) < — а'.
2 Но тогда в силу (!4) и (9) ] т) ] < йса ] т) ] < йза , ) т) ] < йза где йь йж йз — числовые постоянные. Таким образом, при замене ][') его приближенным выражением мы допускаем ошибку порядка а*с'. Используя построенное приближенное решение и обшие вариационные теоремы, можно строго доказать сушествование всей описанной системы волн и показать, что наши приближенные решения отклоняются от точного на малые высших порядков. 68.
Обтекание со срывом струй. Задача обтекания со срывом струй была поставлена в п. 48. Здесь мы приведем приближенное ее решепве и результаты качественного исследования, основанвого на развитых выше вариационных принципах (см. М. А. Л а в р е н т ье в [1]). Для простоты мы ограничимся случаем потоков с осью симметрии, обтекающих тела, симметричные относительно этой оси. Сначала остановимся на задаче обтекания симметричных дужек.
Согласно п. 48 зта задача приводится к следующей задаче теории конформных отображений: Пусть и верхней палупласкости г алдана дуга уь соединяющая точку х, ( о оси х с точкой сь оси у. Трсбуетсл соединить точку сб с г = са кривой уз, лежащей в верхней полупласкости и такой, чтобы функция ю [(му); [(, у) =, Р(, у)=1, реализующая конфорлное о~ображение области 0(у), лежащей вьшсе кривой у = ( — са, х,) + у~ + уз, на верхнюю полуплоскость *), аа дуге уз удовлетворяла условию ][ (г, у) ] с соп51 (2) (рнс. 147). 1(аметссы приближенный метод решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
