М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 81
Текст из файла (страница 81)
При этом иногда сравнение коэффициентов, найденных косвенным путем и непосредственным применением формул, приводит к интересным соотношениям. Приведем несколько примеров разложений функпнй в ряды Тейлора н Лорана. !) Весьма просто получаются разложения в ряд Тейлора некоторых незлементарных функпий, выражаемых посредством интегралов. Фдннния вероятности оигибок определяетсн интегралом ег1а== ) е 1 дс, Г о который не выражается через злементарные функппн. Чтобы получить разно!кение ег1а в ряд Тейлора с понт(!том в точке и = О, лостаточно подставить 2 — Ьз вместо й в разложение = е и последнее проинтегрировать почленно: )' н зз+! ег1з==У— )/д т,) И 2й+ ! з=о (4) Полученное разложение сходится для всех нонечных г.
Прп х-ь сс по поло- жительной полуоси функпня стремится к пределу *! ег1сс == ) е гГх = 1, 2 Г у-. 3 причем весьма быстро: ег1 2 отличается от ег1 со на 9,5тс. *) Этот интеграл, так называеыый интеграл Пуассона, вычисляется в ь!рсах анализа. Смл например, Фихте н гопьп, т. П1, стр. 279. 416 гл.
у. пигложения тиопии минкины к лиллизн !то Однако при провзвольном стремлении и к ьь предел ег1 а не существует, ибо, как видно из полученного разложения, а = со является существенно особой точкой еН а. График функции ег1х для действительных значений аргумента изображен на рис. 152; пунктиром показан график ее производвой. Наряду с функцией ег| часто рассматривается ее дополнение до |; Е11а= ! — ег1а== и! е ь йа. Г (5) Аналогично получаетсн разложенве интегрального синуса х Ю Г 5|о~ кч ( — |)' ата+1 а|а= ~ — йь= л'4 2й+ ! (2й+ 1)! ' о а=о (6) сходящиеся также длв всех конечных а. График 5|х для действительных Рис, !53. Рис.
152. значений аргумента изображен на рис. 153; пунктиром показан график производной. При х-э ьь по положительной полуоси 5| х стремится к пределу") 5|П Х П 51ьь = ~ — йх=— х 2' о (7) но ||гп 5(х не существует, ибо а = ьь является существенно особой точкой к-э ы Ы а. Наряду с функцией 5! рассматривается функция ! 5!п5 и 51 а= ~ — йа=з|а — г 2 ' |.'Ю а также интегральный косинус С|а= ~ йь, *) Интеграл (7), так называемый интеграл Эйлера, вычисляется в курсах анализа, см. также пример 2 п. 73. то! й 1.
РАзлОжение В РЯДЫ И БескОНЕЧНЫе ПРОизВедення 4!7 4!8 гл. ч. пгиложниия тиоиии охикиии к лиллиэ!' ро 2) Многочлен Лежандра Р (г) определяется как коэффициент прн в" в тейлоровском разложении =1+ Р!в+ Р,вг+ ... + Р вп+ ... (8) 1 — 2гв -1- гез Для определения этих коэффициентов диффереицируем (8) по в: = Р! + 2рзв+ .. ° + нрава ! + )'(1 2гв+ вч)з н сравниваем полученное разложение с (8)! (1 — 2гв+ в') (Р, + 2р,в+ ... +нрав~ + ...) = = (г — в) (1 + Р!в + Р,гэ' + ... + Рпвп + ...).
Теперь прнравняем коэффициенты ври одинаковых степенях в; найдем: Зг' — 1 Р, г, 2рэ — 2гр, = — 1+ гр, нли Рч н, далее. (и + 1) Рпч ! — 2пгрп + (н — 1) Рп-! = грп — Рп-н или (и + 1) Рп+ ! — (2а + Ц грп + аР„! = О, (0) 4 — вт 4 4, +в, !+'~~ Тп(г)в и ! (10) Покажем, что для любого натурального и Т (г)= „, соз(аагссозг). 1 Для доказательства положим г = соз Ь; разлагая левую часть в (1О) на про.
стейшие дроби, змеем: 4 вэ 1+ + 4 — 4в соз 0+ в' 1 — — е 2 1 — — е!ч 2 Обе дроби при любом фиксированном ь н достаточно малом по модулю а можно разложить в геометричесную прогрессию по степеням в; будем тогда нметга 4 — в' ~ч соз иь !+ чч п 4 — 4в соз 0+ га' 2п и 1 1 Сравнивая это разложение с выражением (10), получим Тп (соз ь) = — „, соз пь, что и требуется. С помошью этой рекуррентной формулы по известным дв>м первым много. члевам Р, и Р, можно найти остальные.
3) Многочлен Чебышева Т (г) определяется как коэффициент при в" в разложеанн |О| 4 |. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЪ| И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 419 4) Днянядрнчввкоя фу»гиня первого рооп х (г) целого порядка л опре. деляется каг '.»ффнциент при зв" в разложении Лорана ез ' Х= ~~ Х (г) мл. (12) »=- со Функцню Х» (г) можно представить в виде степенного ряда. Для этого г | достаточно перемножить ряды для е и е и; имеем: 2 и. г | гг Отсюда коэффициент яри ю» (л 9, 1, 2, ...) равен ( 1)а Х г 1л+2а Хл(г)= 7~ ( +»г)»й) я) г а о ! а коэффициент при — „(и 1, 2, ...) равен Х .(.)=(-П»Х.(). à —,'(.-Я б Хл(г) = — ~ в 2и! Е юл+' ' с (14) Преобразуем это выражение; для этого выберем в качестве С окружность ) ю! =1 и положяи в=е»', получим: Х (г) е»гг|п»е-»П|»»1 2я» е о 1 Г г — соз (и! — г з|п !)»(1 — — ~ з1п (и! — г з|п !)»(!.
2и,~ 2и Х Но второй интеграл равен нулю, ибо по свойству интеграла от периодических ункций промежуток интегрирования (0,2п) можно заменить промежутком - и,и), а подынтегральнан функция нечетка. Так»»м образом, 2я Х» (г) ) соз (и! г 5|п !)»(1. Г (15) 2и Х о Полученное соотношение, так называемый интеграл Бесселя, дает предста- вление цилиндрической функции в виде интеграла и оказывается полезным в некоторых задачах математической физики (см. также гл, з»П), Найдем теперь выражение для Х„(г) непосредственно с помощью формулы (2) дли коэффициентов ряда Лорайа» 4Ю ГЛ У, ПРИЛОХ(ЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКИИ(Т К ЛНАЛНЗУ 1ТО 5) Деление степенных рядов.
Пусть даны два степенных ряда ), (г) = ~ а„г", Гз (г) = ~~,'з Ь„г", (16) причем Га(О) = Ь, Ф О (для простоты письма мы считаем, что центры рядов (16) совпадают с началом координат). В круге г) ( 17, где й — наименьший из модулей особых точек Г,(г), в(г) и нулей Гз(г), частное этих рядов, очевидно, снова представляется в виде степенного ряда (17) Для фактического определения с„лучше всего пользоваться соотношением О О Ю ~ Ь„г" ~~'.~ с„г" = ~'., а„г", п=о и=о л-о " из которого, сравнивая коэффициенты, найдем: Ьосо = ао Ьос, + Ь!со = аи ..., Ь,с„ + Ь,с„ , + ...
+ Ь„со — — а„..., (18) (общий закон построения коэффициентов довольно сложен). Отметим, что ряды Лорана связаны с известна(ми из анализа рядами Фурье. Пусть функция 1(г) аналитична в кольце ! — а <)г) 1+ а; тогда в этом кольце она может быть представлена своим рядом Лорана 00 Г(г)= Х ..", где с„= — 1 " = — ) 1(е")е-ТиаЮ 1 Г 1(ь)ас ! Г 2н! Г" +1 2п 1с! 1 а (20) Система (!8) последовательно разрешается относительно со, сь ..., с„, ..., ибо в каждом новом уравнении новый коэффициент сп входит с множителем Ьо Ф О. ми а ( — 1)' Для 1(г) =1йг= —, например, имеем а,а =О, а,а+, = соз а (2й+!)1 ' ( 1)а ьза =- —, ь,а+1 О и из (Рз) найдем: 12Ь)1 (е — 1йг — г! з ! з1 т ! 2 17 3 15 315 (19) Уо! 4 !.
Разложение В Ряды И БескОнечные пРОизВедения 421 В частности, для точек г =еи единичной окружности мы получим: ф(!) =! (е') = ~ с„е'"'. (2 !) Ряд (2!) представляет собой ряд Фурье функции !р(!), запи- санный в комплексной форме. В самом деле, мы имеем: <р(У)=СО+ ~)~~ (СРЕ1эг+С лЕ !Ш) = а 1 О = — '+ ~ (а„сов ю(+ Ь„в(п и!), (22) э=! а= — „~" р(О)дй, а„= — ~~ р(Е)совяйдй, Г Г о о Ь„= — „~ ф(0) в(пай !(О.
о (23) Таким образом, на единичной окружности ряд Лорана для('(г) является рядом Фурье для функции Ф(!) =! (еи). Пример. Найдем разложение а ряд Фурье функции аз!и! 1 — 2асоз 1+ а' для этого положим еи=г и найдем разложение а ряд Лорана полученной функции ! — г' ((г) = 21~ гз — (а+ — ) г+ 1 ~ 1 Корни знаменателя раины г~ = а, гз —; разлагая !(г) на простейшие а дроби, получим: ! (г) = —. — 1+ — +— 1 1 1 1 —— и где положено со=во(2, а„=с„+с „, Ь„=!(с„— с „), и, сле- довательно, на основании (20) 422 ГЛ.
У, ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ [то 1 1 — ! Представляя — и — в виде суммы геометрических — — — '(! — — ") прогрессий, скодяйгихся при 1а1=1 в силу условия 1а1(1, будем кметы Подставляя а=е", получим искомое разложение Фурье ав!п! =У и" в!плб 1 — 2а сов 1+ и' .йй а=! Вообще любой тригонометрический ряд — '+ )~~ (а„созна+ Ь„созпе) (25) а=! с комплексными коэффициентами и комплексным переменным а после подстановки е"= ь переходит в ряд Лорана 4 с„~, (26) по доказанному в п.
21 ряд Лорана сходится в некотором кольце г ~ ) ь1( 17, то тригонолсетрический ряд (25) сходится е полосе !и и ( — у <. 1и 17, параллельной действительной оси (мы полагаем и = х+ !у, тогда ~Ц = е-У). В этой полосе сумма ряда (25) является аналитической функцией. Наиболее важни!м для практики является случай, когда г = = 17 = 1, т. е.
когда полоса вырождается в прямую — действительную ось. В этом случае, как известно нз анализа, ряд (25), если ои сходится, может представлять не только неаиалитнческую, но даже и разрывную функцию. В заключение укажем полезное для приложений обобщение рядов Тейлора, так называемые ряды Бура!ана †Лагран. Эти ряды получаются прн разложении аналитической функции по степенял! другой аналитической функции в(з)! 7 (х) = с(, + й,тп (г) + ... + й„ю" (г) + ...
(27) Получим формулы для коэффициентов ряда Бурмана — Лагранжа, обобщающие формулы для коэффициентов ряда Тей. лора. Пусть 1(е) и тп(а) правильны в некоторой точке а, причем в(а) имеет в этой точке нуль первого порядка. Выберем замкнутый контур С, ограничивающий область )у, так, чтобы 0 70! % ь РАзложенне В Ряды н Бесконечные пРОизведення 423 содержала точку а, обе функции были правильными в А1 и чтобы н1(г) в АА принимала свои значения лишь один раз.
Фиксируем внутри В произвольную точку г и рассмотрим интеграл с По нашим предположениям подынтегральная функция, рассматриваемая в зависимости от („имеет в АА одну особую точку ). = г — полюс первого порядка с вычетом, =) (е) ) (г) 1г (г) в' (г) (см. п. 23). По теореме о вычетах рассматриваемый интеграл равен, следовательно, )(е) и мы получаем формулу ) (с) в (ь) 2к1,) в (ь) — в (г) обобщающую интегральную формулу Коши. Предположим еще, что точка г выбрана столь близкой к а, что ~ — ~~д < 1 для всех точек ~ на С (этого всегда можно в (г) в (!) достигнуть на основании сделанных выше предположений). Тогда подынтегральную функцию в (28) можно разложить в равномерно сходящийся ряд 1(0 в'(!) в(0 ( в(г) в (ь) 1(0 в'(О ( ! + в(г) + + в" (г) + в (с) ! в (с) ' ' ' " (!) ' интегрируя который почленно, мы получаем ряд Бурмана— Лагранжа (27) и видим, что его коэффициенты = — ( "~~~~ (ь) 1(~ (и=0,1,2, ...).
(29) с Эти формулы обобщают формулы Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Их легко преобразовать, заметив, что подынтегральная функция, по нашим предположениям, имеет внутри С единственную особую точку Г = а — полюс порядка а+1. Вычисляя вычет по формуле п. 23, находим выражения для коэффициентов ряда Бурмана — Лагранжа обобщающие известные формулы Тейлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
