М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 82
Текст из файла (страница 82)
тн 4 1. Рлзложенне в Ряды и Бесконечные ПРоизведгния 425 71. Разложение мероморфиых функций напростейшие дроби. В и. 22 мы назвали мероморфной функцию 1(г), все конечные особые точки которой являются полюсами. Так как в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное число полюсов (см. п. 22), то все ес полюсы можно перенумеровать, например, в порядке неубывания модулей: а],ат,...,а„..., (а, (((а,(( ... ((а„(( ... Будем обозначать через д„(г) главную часть 1(г) в точке ал: ,]М д„(г) = ~)~~ Е 1 и через д (г) = ~ саге (2) ее главную часть в бесконечно удаленной точке (если последняя также является полюсом). Функции д,(г) называются в анализе простейшими дробями, а д(г) — целой частью 1(г). В анализе доказывается, что любую дробно-рациональную функ'цию можно разложить на целую часть и простейшие дроби. Приведем несколько более сильную теорему: Теорема 1.
Если мероморфная функция 1(г) имеет лишь конечное число полюсов а], аь ..., а] и, кроме того, а]ы — — со является либо правильной ее точкой, либо полюсом, то эта функция представляется в виде суммь] своих главных частеи' ") 1 (г) = со+ и (г) + Х а. (г) (3) л=] и, следовательно, дробно-рациональна. Для доказательства рассмотрим разность ]р(г) =1(г) — д(г) — ~ а„(г). Функция ]р(г) правильна в любой точке а„, нбо из разложения Лорана 1(г) в окрестности а„главная часть устранена вычитанием д„(г), а остальные члены р(г) аналитичны в этой точке, То же рассуждение относится к точке г = оо, а в точках г Ф ал, Фоо все члены ]р(г) аналитичны.
Итак, функция Ч](г) аналитична в замкнутой плоскости г и по теореме Лиувилля п. 24 *) Функция д(е) входит в разложение (3) лншь в тон случае, если е = ео является полюсок1. 426 гл. ж пРилОжения теории ФункциЙ к АнАлизу (те — "(А. «а Имеет место Т е о р е м а 2 (О. К о ш и) . Пуста мероморфная функция )(г) на некоторой правильной системе контуров (С„) растет не быстрее, чем степень гв, т. е.
на всех С„ ( г" (г) ( ( М ( г ( (6) где М вЂ” постоянная и р ) Π— целое число; пусть еице г = О не является полюсом. ((г). В этих условиях )(г) лгожно представить в виде 1 (г) = й (г) + Х (а„(г) — й„(г)), где у„(г) — главные части )(г) и ее полюсах и, и а=о а=о — мноеочлены степени не вьгше р**). Ряд (6) сходится при надлежашем порядке суммирования в любой правильной точке (6) *) В формуле (6) такими выражениями служат многочлены Н,(г). "е) Многочлеиы Н(г) и и (г) представляют собой отрезки длины р тейлоровскпх разложений ((г) и е (г) с 'пеитром в точке г = О (см.
замечание в конке этого пункта). Если г = О нвлнется полюсом )(г) с главной частью ео(г), то разложение (6) справедливо для функпаи )(г) — ио(г). является постоянной. Формула (3) доказана, а из пее вытекает после приведения всех дробей к общему знаменателю, что у(г) является отношением двух многочленов, т. е. дробно-рациональной функцией. Такого рода разложение можно построить и для произвольной мероморфной функции.
Однако в общем случае имеется бесконечное множество главных частей, а конечная сумма (3) заменяется рядом и возникает вопрос о сходимости этого ряда. Вообще говоря, ряд (3) оказывается расходящимся, и для обеспечения сходимости к главным частям приходится добавлять некоторые выражения в). Мы ограничимся доказательством этого утверждения для случая, который имеет наибольшее практическое значение. Для удобства формулировки условимся понимать под правильной системой контуров (С„) совокупность замкнутых кривых, удовлетворяющих следующим условиям: 1) С, содержит внутри себя точку г = О, каждый контур С„находится внутри области, ограниченной контуром Ся+г) 2) кратчайшее расстояние с(„от точек С„до начала координат неограниченно возрастает с ростом и; 3) отношение длины („ кривой С„к с(„остается ограниченным: тн 4 1.
РЛЗЛОЖГНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 427 ) (г), причем скодимость его равномерна в любой ограниченной области, если отбросить в нем конечное число членов, имеюзз)ик лолзосы в втой области, ЛзлЯ Доказательства РассмотРим интегРал Г )ан~ 2из,) й г где г — любая точка, лежащая внутри контура Св и отличная от полюса )(г), и обозначим через чз(г) сумму главных частей в„(г) по всем полюсам, лежащим внутри Сн, Чз(г) = Х й„(г). (он) Подынтегральная функция —, рассматриваемая в завп- )Ю с — г ' симостн от ь, имеет своими особенностями точки а„и еще точку ь=г — полнзс первого порядка с вычетом )(г). Вычеты — в точках, лежащих внутри Сн, равны, очевидно, вычетам ) Я) ~ — е т (г) .
в тех же точках функции ~ - ; подсчитаем их сумму з, Функция — дробно-рациональна, и так как кроме точек а она чз (О ~ — г п имеет лишь одну особую точку ь = г с вычетом зр (г), то по теореме о полной сумме вычетов з + чз(г) + с, = О, где с, — вычет— ч© ь — г в бесконечности (см. п. 24). Но так как степень числителя зр(~) ниже степени знаменателя, то в окрестности ь = О имеем — ==+=+ ...; следовательно, с, =О и Ч(Ь) сз сз сиз си 1 з= — ф(г) = — Х й.(г). (си) Таким образом, по теореме о вычетах наш интеграл (8) (сн) (св) Если бы интеграл (8) стремился к нулю прн М-+ Ос, то функция ~(г) представлялась бы сходящимся рядом простейших дробей ~д„(г). Однако, так как в силу наших условий )(г) на системе контуров Си может возрастать как )г) Р, то интеграл (8), вообще говоря, не стремится к нулю.
Излагаемый ниже остроумный прием получения из (8) стремящегося к нулю интеграла принадлежит Коши. Так как по условию точка г = О 426 гл. ч. ппило>квння теопии оннкнни к анализу ~т! является правильной точкой )(г) и лежит внутри См, то в равенстве (8) и его последовательных производных по а можно положить г = О, и мы получим систему уравнений г )(г) дс ) пн(о) „д'„а'(о) 2л> (см. формулу для высших производных в и.
17). Умножая ра- венства (9) на г" и вычитая их сумму из (8), получаем: Р (( —,' -ч,,*„~>юз~- =) (а) — Л (а) — '~', (а„(г) — й„( )). (с„) Просуммировав геометрическую прогрессию, стоящую под знаком интеграла в последней формуле, мы представим этот интеграл в виде см Оценим величину )см.
Принимая во внимание, что ) Д ) г(„, )~ — г!'= дм — )г), будем иметь в силу условий, наложенных на свстему (Сч) и на )(г), ( )и-ы г,т МЛ ) а(пы . (Рб) и Отсюда видно, что Рм- 0 при йг- оо; следовательно, формула (б) действительно имеет место прн надлежащем порядке*) следования членов ряда, в нее входящего.
Остается показать, что ряд сходится равномерно в любой ограниченной области О, если отбросить в нем члены, соответствующие полюсам, лежащим в г). Пусть для всех точек 1) будет )г((гс. Тогда согласно (10) имеем: ММа+' ! )4 (а)! ~ ~(д д) „, ') Именно, ряд (6) нужно суммировать, объединяя в один член слагаемые, относящиеся к полюсам, лежащим между контурами С, и С,+и и располагая полученные члены в порядке возрастания и. Это следует из приведенного доказательства теоремы.
В случае абсолютной скодимости ряда (6) порядок следования членов не существен. ГЛ, ч. пяиложе!;Вя темя!!и еу|!кы!!л к А!.!. !!зу 1+е ' !+ее следовательзо, при у>! )с!Яг)~ " <, а при у< — 1 ! — е " 1 — е !+ет" !+е (с1ь г ) ~ — < — †. В той же части области, где — 1 < у .. 1, 1 — е" 1 — е (с12г) ограничен в силу свойств непрерывных функций. Наше утверждение доказано н, следоватсльпо, в теореме Коп!и можно принять у=О.
1 В точке я=О главнав часть с(яг равна —, причем функция г' 1 1(г) с1Я г —— г при г-ьО стремится к пределу 0 (зто следует нз нечетности ) (г) и ее непрерывности в точке а=О). Вычет ) (г) в полюсе ге=ли (л= ~1, ш2, ...) ! равен 1, следовательно, уа (г) . Формула (О), которая для нашего г п3! случая имеет р 0 имеет вид.' О ) (г) =) (0) + ~з' (у„(г) — рз(0)) "), лает с1йг — + ~~ ~ + — ). (12) Ряд (!2) оказывается абсолютно и равномерно сходящимся в любой ограни.
чеииой части плоскости (г( < Й после удаления из него чле!юв, которые имеют полюсы в втой части. В самом деле, лля общего члена ряда справед. лиза оценка ! —. г ! ! )г( )С, 1 (г — ля)лп ) ле ~ г ~ ~ ~ )1) л'' Оть!стим еще формулы, которые получаются нз (12) и (!3) заменой г на ию Ф О и,а-=-+ У ( — + — )=-+У, 1 (г — л и) г 4 г' — ле' (14) и=! *) Штрих над знаком суммы показывает, что при суммировании исключается индекс л = О. 1 тде козффнпиевт при — стремится к конечному пределу и' сходится. Ото!ода, в частности, следует, что в ряде (!2) менять порядок членов. Обаединяя члены с индексом л Р жч 1 — „,а ряд 7 можно произвольно и — л, получим: тп 4 !.
разложении в ряды н ввсконнчпыв произввдиния 431 ! Заменяя в (!3) г через /2 и сокращая все яа —,, получим: 1 ОЪ с(нг + г 1 3 2' 2г (15) п 1 Отсюда следует: 1 ! 1 г 1 1 'кч 2г — = — — + — с!)! — — — + — + у (! 6) е' — ! 2 2 2 2 г 4 2' + 4п'л' ' п=1 Из формулы 1Х г= — с(к (г — —,1 и из (13) получаем также: 2/ Х (2п — 1)зле ' .
(!/) п=! 1 1 / 2 2! Аналогично из формулы —. — (21К вЂ” + (Х вЂ”,) выводим: з1п г 2 ! 2 2 ) — - — + ~ ( — 1) ( — + — ) = — + У~ ( — 1)"..., (18) 3!П 2 2 (, г — пл г+пл ) г ~4 2' — и'л' ' 4 (2 — пл)з,й~ (г — пл)' ' 1 1 — — + $1П 2 2 (19) 72. Разложение целых функций в бесконечные произведения. По теореме Лиувилля (п. !7), всякая ограниченная целая функция является постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
