М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Обозначим через г=у(ю) функцию, обратную к искомой функции (1); так как (1) реализует конформное ') Как видно нз (1), мы ограничиваемся рассмотрением потоков со ско. ростью в бесконечности, равной едвнвце н направленной вдоль оси х. Общий случай легко приводится к этому. 405 бз! % 3. ПРИЛОЖЕНИЯ отображение на верхнюю повуплоскость, то й'(ю) аналитична и не равна нулю в этом полуплоскости и, следователыю, там аналитична функция !пй'(ш) (п )й'(ш) )+ >а>яд'(ю). (3) Очевидно, на луче ( — сь,А) оси и, соответствующем лучу ( — ьь,х,) осн х, имеем агк й'(и) = О, а иа луче (В, ьо), соответствующем уь имеем 1п)й'(и) ) = сь где с> — нвкоторвя постоянная (см.
рнс. 147). На отрезке (А,В), соответствующем уь а)ий'(и) неизвестен, нбо неизвестно соответствие точен (А, В) и уь Однако мы сами задаемся каким-либо соответствием ь = ь(и) точек (А, В) и у> и тог. да находии: агн й' (и) = агк 5' (и) ф (и). (4) Теперь отыскание фуннцпи !п д'(ю) сводится к смешанной краевой задаче для верхней полу- о плоскоств, нбо на луче ( †, А) известна 1ш!пй'(ш), а на луче Ф (А, ь ) — (че 1п д'(ге).
Решая эту задачу, например, с помощью „ , ' >е)е) формулы Келдыша — Седова п. 54, з т х> й ~п (> м находим функцию г = й (ю), Рнс. 147. реализующую конформное отображеиве верхней полуплоскостп на область 17 (у), где у = ( — ьь, х,') + у, + у, (ем. рис, 147) . По построению обратная к (5) функция ш ((г,у) решает задачу об.
текання со срывом струй дужки уь Если последняя сильно отличается от у> мы должны изменить задание функции ц>(и) из (4). Чтобы целесообразнее проводить это изиененне, иы должны иметь качественные сведения о том, как меняется функция (1) при деформировании дуги уь Приведем без до казательства основные из относящихся сюда результатов. !) Если у, состоит из конечного числа дрг с ограниченной криеизной и каждая прял>ая х = хь(х, ( хь ч 0) пересекает у, либо е точке, либо по отрезку, то решение задачи о струях существует и единстоенно.
При атом допускается, что нривая уи начиная с некоторой точки, х = 5 ) О, совпадзет с осью х; уравнение такой кривой мы обозначим: (5) у у (х; 5). В этом случае условие постоянства скорости (2) на луче (5,>ю) заменяется условиеи совпадения скоростей при подходе к лучу сверху и снизу, т. е. условием однозначности комплексного вотеициала (1) потока, обтекающего со срывом струй дугу Г>, состоящую из уь н дуги, симметричной с у, атно. сительно оси х.
Иныь>н словаии, допускается смыкание струй за обтекаемая дугой. 2) Если при некотором значении к х, ордината точки у, обращается е нйиь, то при х ь хз дуга уз соепадает с осью х (иными словами, х, = 5), 3) 7(а участке (0,$) дуга ут аналитична, 4) На уз угловой коэффициент касательной не л>ожет достигать экстремйма. 5) 77ри $ ч ьо кривая уз не может иметь точек с ординотами большими, чем максимальная ординат>стачек кривой у>. О) Если .наксимальиая ординага точке кривой у, соотеетстерет х = О, то 5 = оь, и е. уз обладает беоконечной ветвью.
.408 гл. Рд влпплннонные ппнннппы >со>чеопыных отоирлжапнн 7) Пусть нри одинаковых абсциссах ординаты точек кривой т, больше ординат или равны ординатам точек и, и эта кривые имеют общие концы. Тогда йл $и у (х, $) (у (х, $), (7) причем при О < х ( й знак раеенстеа может достигаться лишь е случие соепадения у, и т> (рис. (48). Все эти результаты получаются методами теории функшлй комплексного переменного и, в частности, с помощью вариацпоиныч принципов п. б!. Их доказательство читатель найдет в статье 84. Рс Лаврентьева (эг).
Из 7) вытекает, что у(х, $) все.гда меньше уь (х) — ординаты струи, Рис. >48. Рпс. ! 49. обтекающей вертикальный отрезок (О, гб) — случай, рассматриваемый Кирхгофом. Из того же предложения 7) следует, что в его >слоаияк равподей- Р ствуюшая сил давления иа дугуГ! — — т, + то где у! — зеркальное отображе- л иие т, относительно оси х, Р (Г!) ( Р (Г!), где Г! —— у! + т!. В заключение приведем, также без доказательства, некоторые результаты, относящиеся к симметричному обтеканию выпукльш контуров. Пусть дап замкнутый, выпуклый и симметричный относительно оси х контур С, пересекающий ось л в точках х> ( 0 и х = О. Пусть у~ — часть кои>ура С, расположенная иад отрезком (хь !) оси х(х> ~ ! н. 0). Очевидно, решение у=у (х,ь) (8) раеобраиной выше задачи для дуги >ч дает свободную струю потока, обтекающего со срывом струй замннутый контур С, если кривая (8) лежит целиком вне С.
Имеют место следующие предложения: !) Множество точек контура С, е которых при симллетричном обтекании возможен отрыа струй, есть дуга Сь с центром э точке х, и колл!алли, расположенными левее точек контура С с зкстреллсльныл>и ординаталли (рис. )49). 2) Свободные струи, соотеетстеующие двум различным обтеканиям С, .не имеют общих точек. 3) При двух различных обтеканиях С со срыеом струй даелсние жидкости на С будет ббльшим для того течения, которое соотеетстеует более раннему отрыву струй. Доказательства эвих предложений имеются в цитированной работе й>.
А. Л а в р е н т ь в в а (5). 69. Движение грунтовых вод. Как показывает опыт, движение грунтовых вод в однородном грунте достаточно точно следует законам движения идеальной жидкости. Ограничиваясь, $3 пгнложення 407 как раньше, плоским случаем, допустим, что через область О, заполненную грунтом, просачивается жидкость, н предположим, что двия4енйе установившееся. Обозначим через р(г) давление в произвольной точке г области О. Имеет место следующий опытный заков (Да р си): скорость частиц жидкости в точке г пропорциональна градиенту давления и направлена в сторону, противоположную градиенту р: У= — хйтад р. (1) Коэффициент пропорциональности х зависит только от характера грунта и называется коэффициентом фильтрации. Добавляя к закону Дарси условие несжимаемости жидкости д(ч У = О, (2) мы получим, что поле скоростей движения просачивающейся через область О 4 жидкости обладает потенциалом и: и (г) = — хр (г), (3) который является гармонической функцией, правиль- Ряс.
!50. ной в области О. При проектировании плотин одним нз существенных элементов их расчета является решение следующей задачи. Дана область О, граница С которой состоит из следующих прямолинейных участков: 1) прямая у= — йь (основание), 2) луч ( — оо, 0) оси х, 3) отрезок (О, !) (флютбег), 4) луч (1, оо) оси х, б) вертикальные отрезки (шпунты) сь выходящие из точек х! = О,хм ., х„флютбета и имеющие длины !>(! = 1, ..., и). Область О заполнена водопроницаемым грунтом с коэффициентом фильтрации х. Над флютбетом (О,!) расположено сооружение А; слева от А над осью х расположен слой свободной жидкости толщины Нм а справа от А — слой свободной жидкости толщины Н! (Н! ( Нз).
Стенки сооружения А, флютбет, шпунты и основание считаются водонепроницаемыми (рнс. 150). При перечисленных условиях требуется определить установившееся движение жидкости в области .О, причем проектировщиков интересуют в основном следующие три величины: 1) расход жидкости, 2) максимальное и общее давление на флютбет, 3) максимальная «выходная» скорость на луче (1, оо). 4оз гл. пл вкеикциониые пшшципы коиоогмных отовекжвнии кн Найдем граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал скоростей и. В силу водонепроницаемости основания у = — йо, флютбета и шпунтов на всех участках С, соответствующих этим элементам, должно иметь место обтекание, т. е.
должно выполняться соотношение — = О. ди до (4) Кроме того, на участках ( — оо, 0) и (1, оо) давление р должно быть постоянным: на левом участке р = рНз+ ро, на правом участке р = рН1 + ро, где р — плотность жидкости, ро — давление атмосферы. Следовательно, вдоль ( — оо, 0) и = — к (РН> + ро) = иг (б) а вдоль (1, оо) и= — к(рН~+ ро) =ив (6) Таким образом, задача движения грунтовых вод лод соору.жением аривелась к частному случаю смешанной краевой задачи для гармонических функций п. 56.
Отметим два приема решения этой задачи, учитывающих специфику граничных условий (4), (5) н (6). а) обозначим через н функцию тока течения; в силу условия (4) о сохраняет постоянное значение оо вдоль у= — Ьо и постоянное значение о = о, вдоль флютбета и шпунтов. Комплексный потенциал и+(о реализует конформное отображение области 0 на прямоугольник, ограниченный прямыми и =ил и = иь о = оо, о = оь причем точки — оо, О, 1, оо переходят в вершины прямоугольника.
Имея в виду, что прямоугольник отображается на верхнюю полуплоскость с помощью эллиптического синуса (см. п. 39, пример 1), можно ограничиться отображением ь=1(г) (7) области 0 на верхнюю полуплоскость !гпс ) О. Пусть при этом отображении точки О, — оо, оо, 1 переходят в точки аь аь аз, и„; применяя дополнительное линейное преобразование, мы можем перевести эти точки в точки — 1//г, — 1, 1, !/й, Иными словами, можно заранее считать, что ) (-~- оо) = ч-1, Тогда искомый потенциал примет вид и+ 1о= ' ' зп '(ь, й)+ где зп-' — функция, обратная к эллиптическому синусу (см, п.39). 4 К ПРИЛОЖЕНИЯ 69! 409 Стороны прямоугольника равны и, — иа и о~ — ' о,= — (и, — иг), к где 1 пь 2К=2, К'= 1 Р'(~ — М) (1 — ьп~) ' э Р' Р2 — ~1(1 — »П21 его высота о, — о»= †(Н, — О,) дает расход жидкости под К' 2й сооружением.
б) При отображении (7) функции и(г) и о(г) перейдут в функции и ! у С) ! = (/ (ь) о ! а (ь) ! = 'г' (ь), (й) где г = д(~) — функция, обратная (7), причем (/ правильна всюду вне отрезков ( — 1/й, — 1) и (1, 1/Й) и принимает на этих отрезках, соответственно, значения и» н ип а У правильна вне отрезков ( — ьь, — 1/й), ( — 1, 1) и (1, ьь) и принимает на этих отрезках значения оь оы оь Поэтому выраженле для (/(~~)+ + Ю(~) можно получить по формуле Келдыша — Седова п. 54. Применяя к разбираемой задаче вариационные принципы, легко можно получить ряд заключений относительно характера изменений расхода, выходной скорости и давления при изменениях в размерах элементов сооружения. 1) Если увеличить длину одного или нескольких шпунтов, то всг линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная скорость уменьшится. Если стремиться уменьшить выходную скорость, то наиболее эффективным является удлинение крайнего правого шпунта.
2) Если увеличить длину одного шпунта, то давление на флютбет слева ог этого шпунта увеличится, а справа — уменьшится; а частности, увеличение длины крайнего правого шпунта увеличит давление на флютбет всюду. Те гке теоремы и соответствующие формулы дают также возможность обосновать и уточнить различные приближенные приемы для численного решения задачи. Одним из наиболее распространенных приемов для приближенного определения потенциала и является так называемый метод фрагмгнтоа, предложенный академиком Н. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
