М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 75
Текст из файла (страница 75)
И,1теграл в формуле (16) следует понимать как особый, ибо в точке ! = О подынтегральная функция обращается в бесконечность первого порядка. Замечая, что по свойству интеграла от периодической функции пределы интегрирования в (16) можно взять от Π— н до О+я, и пользуясь нечетностью котангенса,' получим, что главное значение интеграла равно 382 гл. Ил ВАРПАциоппые при!Пшпы кОИФОРмных ОТОБРАженин !р = О + 1т! и ' = Π— в (а, Б1п Π— Ь, соз О + я (ге) + аг зш 20 — Ьг соз 20 + ...) + О (е') (24» ' В случае задания 6(ф) а виде тригонометрического много- члена формулы (22) — (24) весьма удобны для расчетов. П рн м ер. Рассмотрит! отображение на единичный круг эллипса с полу- осими а = 1 + е н Ь = 1.
Так как уравнением эллипса служит л = (1 + е) соа ф, у= — Мп<р, то р = У(1+ а)'соэ'ср+ Мп'!р =1+ е соа'<р+ 0(е ), следовае тельно, Ь Ьр) = — а совке = — — (1+ соэ 2е) и по формуле (22) 2 1(г, С)=г — — г(1+г')+ 0(е') е 2 (25) В заключение отметим, что все формулы этого пункта остаются в силе н для конформных отображений ге = Р (г, С), Р (оо, С) = со в н е ш н о ст и близких к кругу областей на в н еш и о с т ь еди- ничного круга. При этом 6(ф) следует определять не нз урав- нения (1), а нз полярного уравнения кривой С в виде г=г(ф) =1+6(ф). (26) Это замечание следует из того, что формула (3), ва которой основаны все дальнейшие формулы пункта, справедлива также и для отображения внешности единичного круга плоскости г с выброшенной луночкой на внешность единичного круга плоскости и1. В последнем проще всего убедиться, совершая до- 1 1 полнительные преобразования г = —, ю = — плоскостей И И1.
04. Области, близкие к данной. В этом пункте дается приближенное решение следующей важной для приложений задачи. откуда легко находится А" (ш) = 1 — е (а, + 2 (а, — 1Ь ) га + 3 (аг — 1Ьэ) ш' + ...1+ О (еа и, в частности, растяжение на границе ~О' (е' ) ! = еие ма (" ) = 1 — е (а, + 2 (а, соз О + Ь, Б1п О) + + 3 (а, соз 20 + Ьа з(п 20) + ...) + О (в'), (2ЗЦ а также соответствие аргументов граничных точек бя Э Б ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕН Пусть задана односвязная область 0(С) с границей С, удовлетворяющей условию Ляпунова (см. п.
29), и пусть из- вестна функция =1'(г, С), )(гм С)=О, Пг,, С) >О, М»22 Допустим теперь, что контур С близок к С в следующем смысле. Обозначим через Ь(з) длину отрезка нормали к С в точке г, заключенного между С и С, взятую со знаком «+», если этот отрезок принадлежит 0(С) и со знаком « †» в противоположном случае (рнс. 142); мы предполагаем, что ~Ь(з)~<Б, ~б'(з)~<е, |б«(з)!<Б, (4) где е — фиксированное малое число. В плоскости 1ь = ре'ь построим кривую С", близкую к единичной окружности, которая определяется полярным уравнением р= 1 — ~ )'(г, С) (б(з) =1 — б'(з), где з есть функция О, определяемая формулами (3).
Пусть ю=)(ьз, С*); ~(О, С')=О, )'(О, С') > О, (5) реализующая отображение 0(С) на единичный круг (гье= Р— фиксированная точка). Требуется найти конформное отображение на тот же круг ь2 = 1 (г~ С) 1(гь С) = О, 1'(гм С) > О (2) области 0(С), близкой к 0(С).
Простое решение этой задачи можно дать, пользуясь полученными в предыдущем пункте формулами. Пусть г, — точка С, переходящая прн отображении (1) в точку ь2 = 1. Через з мы обозначим длину дуги С между г, и произвольной точкой г этого контура; при движении г по С от точки г, в положительном направлении число з меняется от О до 1, где 1 — длина контура С Так как С удовлетворяет условию Ляпунова, то отображение (1) конформно на границе (см. п. 29), поэтому, если обозначить через 0 аргумент тачки ы = 1(г, С) на окружности ) со( = ЕО ез = 1, то мы будем иметь =-(Т'(г, С) ! и 0(з) = ~ |1'(г, С) )йз. (3) о гл.
)и илпплц)юпнын пниипппы коиоормных отоврл>ив)п)н )ооо будет функция, определенная по формуле (7) предыдущего пункта, в которой вместо 6(1) подставлена 6*(1); тогда искомое отображение области Р(С) на единичный круг может быть, оче. видно, построено по следующей формуле о): и) =7 (г, С) = 7[1(г, С), С*) = -)1, с))1-~- —,„) о' О)'„' *' )ю(. 15) Используя форл)улы (16) и (19) предыдущего пункта, можно найти также вариацию соответствия границ н вариацию производной при переходе от данного отображения к близкому отображению. Остановимся еще на одном важном частном случае только что разобранной задачи, когда контур С отличается от С только па малой дуге с центром в точке а контура (так называемый случай локальной вариации).
Обозначим через о площадь, заключенную между С и С; а мы будем брать со знаком «+», если С расположена внутри Р(С), и со знаком « — » в противном случае. Для локальной вариации формула (6) принимает внд: )(г, С) =)(г, С)~1+ — 1)'(а, С) 15, ', ), (7) где Оо — аргумент точки окружности (о)~ = 1, соответствующей центру вариации а прн отображещ)н о) = 1(г, С).
Действительно, в этом случае вместо формулы (7) предыдущего пункта можно воспользоваться формулой (3) того же пункта, причем вместо о в нем надо взять о' =11'(а, С) )то. Из формулы (7) непосредственно следует, что вариация отображен))я )г пропорциональна пго)цади о и вблизи места вариации контура обратно пропорциональна расстоянию до этого лгеста. В случае локальной вариации, когда функция б()р) отлична от нуля лишь на участке длины т) вблизи точки е" окружности )о)! = 1, формула (19) п.
бЗ для растяжения на границе принимает внд: ! о )ь» ) 6' (Оо) ч и* ! лю 4и .,Π— Оо = 1+— 4л «О вЂ” Оо (О) 5П) 2 5)язв 2 *) Для возмо)кности применения формулы (6) мы должны прсдположнт малыми ие только б, б', б", но такжо б', б*', б"", что всегда ииеот мосто, если исходный контур достаточно глидон, например обладает движды диффереицируемой кривизной. 6я з а ОтОБРАжения Близких ОблАстеЙ (мы считаем, что ы = е'Б лежит на недеформированной части границы, т.
е. 6(6) = О). Далее, по формуле производной сложной функции !1'(«, С) ~= ) — ~ ° ~ — ~ = В>Е подставляя сюда (8), найдем окончательно граничную производную (Г(«, С)~=1Г(«, С)1 1 — —,,'!Г(а, С))> в в 1, (9) 51П 2 гле 66 и 6 — аргументы точек окружности 16>(=1, соответствую- щих при отображении ы = 7"(«, С) точкам а и «контура С. Из формулы (9) видно, что вариация граничной производ- ной функции 1 пропорциональна площади о и вблизи места ва- риации обратно пропорциональна квадрату расстояния до это- го места. 66. Распространение результатов.
Все изложенные выше предложения и формулы могут быть перенесены на случай кон- формного отображения на другие канонические области. Этот перенос можно осуществить или при помощи вспомогательнгно конформного отображения круга на такую область, или непо- средственно с помощью вариацнонных принципов и. 60. Приведем наиболее интересные из относящихся сюда формул. 1) Случай полуплоскости. Сохраним обозначения, принятые в п. 60, и допустим, что линия С определяется урав- нением у = у(х), причем ~ у (< е, ! у' ~< е, (у" !< е, 1нп ху(х) =О. (1) 5-6 ЯаО Прн этих условиях функция ш=)(«, С), )'(со, С) =1, реализующая отображение области Р(С) на верхнюю полуплоскость, может быть представлена следующей приближенной формулой: и>=7(«, С) = «+— (2) О (ср.
формулу (7) п. 34), Для функции д(ш), обратной к 1(«, С), получаем отсюда: 1 Г у(1)вг (3) а также приближенную формулу для производной )г'(и)(=1+ — " " тй п,) (1 — и)' Ю -(5) (ср. вывод формулы (19) в предыдущем пункте). Все приведенные формулы справедливы с точностью до ма- лых высшего порядка сравнительно с е *). 2) Случай полосы. Вполне аналогично, опираясь на ва- риацнонные принципы п. 58 и формулу (13) п. 34, легко полу- чить приближенные формулы для конформного отображения об- ластей; близких к полосе О < у < 1, на полосу О < п < 1. До- пустим, что нам даны две линии, С, в С: у = уо(х) и у = у(х), где уп(х) н у(х) — однозначные функции, причем )У )<е, )Уо)<е, )Упм)<е, (6) (у — 1)< е, ) у')< е, (ум)< е. ~ При этих условиях функция сп — 1 (г, Со~ С)1 1 ( 1 со, Сп~ С) = 'ь с точностью до малых второго порядка относительно е может быть определена следующей формулой: )(г, СО, С) -" 60 = г+ — ~ у (1)с(й сй+.— ~ (1 — у(1))1Л 411, (7) а функция г=д (те), обратная к 1, — формулой и (св — 1) г=д(а) ю — — ) уо(1)с1Ь 2 2 С(1— О *) Интегралы (4) и (3), а также (2) и (3) при действительных г и св надо понимать как особые.
333 Гл. 1ч. ВАРНАционные принципы конФОРмных ОтОБРАжеиил щ~ Последняя формула справедлива для всех значений гп, !гп се ~ = О; в частности, полагая тп = и, мы получим соответствие между точками линии С и оси и, х -"и — — ) 1 1 у(1) ог (4) и — 1 заа гл. пе вкыыционныс пгииципы коньООМнык Отовокженин (ое пусть о — площадь, заключенная между осью х и кривой у = = уо(х) с соответствующим знаком (интеграл от уо(х) по оси х), При этих условиях вне окрестности точки а будем иметь: ! !' (х, С) ) = 1 —— 4, п(х — а) оо (1 1) Из формул (1!) мы видим, что в случае полосы влияние локальной вариации затухает, как е ', где 1 — расстояние до места вариации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
