М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Производя описанную локальную вариацию достаточное число раз, можно доказать, что имеет место более общий П р и н ц и п л о к а л и з а ц и и. Пусть й(г) обозначает диаметр наибольшего круга, которсчй касается в точке г линии Со и целиком содержится в полосе Р(Со, С), и пусть для всех точек г этой линии (12) й=бй„, О,<О<О, где й,р, О1) О и Оо < ьо — некоторые постояннгяе. Тогда для любой вариации полосы Р(Со, С) вне круга )г — го! < 1 вариация растяжения в точке го конформного отображения полосин Р(Со, С) на полосу О < о < й удовлетворяет неравенству 1 '5) Г(го Со С) ! < Ме гоо, где М и т — постоянные. Можно подсчитать, что если место вариации расположено от точки г, на расстоянии, большем, чем четырехкратная ширина полосы, то вариация !п)Т'(го, С„С) ) составляет менее !ого.
Из формулы (13) следует также возможность применения формулы (10) при условиях более широких, чем те, при которых она была выведена. Так, если шах( ~у ~, ! у — 1), ') у'1, ! у'), *!у,"~, ( у" )) < е() х — х,)" + 1), (14) где )о — произвольное положительное число, то в точке го = = хо + !уо(хо) !( (го Со С)1= — — Г уо ОО уо(хо) д1 (- — "~ Г у () й! (- )~ (!5) 4 г, п(à — хо) о)о' 4 ) о и(( — х,) с'во 39О ГЛ.
лн. ВАРНАЦИОННЫЕ пРИНЦиПЫ КОНФОРмных ОТОБРАЖЕнип )Кв (рис. 143). Так как по формуле (18) и. 34 растяжение в точке го при отображении 0(С,, С) на полосу шириной й ! Г(го Со С' й) )= ~! + в йо+ 3 й + )3 йт+ 3 бд1+ О(й'), (20) то для доказательства достаточно показать, что )!'(»о, Со, С; й) ) отличается от )1'(го, Со, С; й) $ на малые порядка не ниже й'. В условиях доказываемой теоремы кривизны линий Со и С конечны, а их разность — малая порядка й. Отсюда на основании элементарных вычислений можно заключить, что угловые о Рис. )43. точки луночки 0(Со, С) находятся на конечном расстоянии от точки го *). Согласно принципу локализации из раздела 2) это~о пункта любая деформация области вне круга !» — »о)«1 дает изменение растяжения Ц'(го, Со, С) ) на малые порядка не ниже — м— з й' если е а «Мйз, т. е.
1) — !3!и — „— !пМ)*'). Поэтому в наших оценках мы можем считать, что вне 1!руга ! г — г, !«(1о= Зй ! = — ш1п — „область Р(СФ С) совпадает с луночкой 0(Со, С). Предположим сначала, что в круге !г — го(«1, линия Со совпадает с Со Совершим конфорл!Ное отображение луночки 0(Со, С) на полосу 0 «т) «й' плоскости Ь = Б+ !т), переводящее Со в нижний берег полосы Го, С вЂ” в верхний берег 1' и точку го — в точку ьо = !й. Линия С переходит при этом в некоторую кри- *) Подсчет показывает, что квадрат половины основания луночки l! где а = — — огравичевная величина. да '*) В наших условиях принцип, очевидно, применим, причем можно ПРИНЯтв !)со = Ь. $2.
ОтоБРАжГггия Близких ОБлАстеи зя Зз! вую Г, соприкасающуюся с прямой Г в точке сз = гй. Соглаг но (20) растяжение при нашем отображении будет ограничено сверху и снизу, поэтому достаточно показать, что при !$!( /з растяжение в точке ~з отображения полосы Р(ГР, Г) на полосу О < и < й отличается от 1 (растяжения при отображении полосы Р(ГБ, Г) на себя) на малые порядка не ниже йз. В окрестности точки $ = О мы представляем уравнение 1' по формуле Тейлора Ч=й+ аУ+ Я4+ о(И4) (коэффициенты при 3 и 42 исчезают, так как Г соприкасается с прямой Г).
А(ля !Б! < /з остаточный член формулы представляет собой малую высшего порядка относительно й4!п4 —, т. е, с А' принятой степенью точности им можно пренебречь. Попытаемся подобрать постоянные а и Ь так, чтобы функция ь — — ги + аигз + Ьгиз (2!) реализовала отображение полосы О < и < й па полосу плоскости ~, ограниченную осью $ и (по крайней мере для (з) /„) кривой тг = й+ аэ'. Если а и Ь вЂ” действительны, то при действительных иг = и значения ~ также будут действительными, т.
е. нижние берега полос соответствуют друг другу. Прп иг = и+ + /й имеем: г! = й+ йайи + 4бйи (и' — /22), $ = и + а (из — йз) + Ь (и' — бй'из + й4); следовательно, положив а = 2Ыгз, 4Ыг = а, получим: 2!= й+ аиз, $ = и+ — (и4 — 4йзггз — /г!). 46 ~ з Из второго уравнения видно, что и=за+ 0(йз!и' — )'„следовательно, с принятой степенью точности в первом уравнении можно принять и = $, и мы получим гг = й+ аэз, что и требуется. Подставляя в (2!) найденные значения а и Ь, получим гискозгое отображение + 2 +42 46 (22) Из формулы (22) видно, что соответствующая ~з = г/г точка з згг.
игз = /й + о [йз !пз — „г; следовательно, растяжение отображения (22) в этой точке [~ — „~~ =[)1+ а/гв+ — игз~~ =1+о(й4!Из — „~, что и требуется. Аналогично можно подобрать постоянные с и д так, чтобы функция ь = ш -1- си!3 -1- дш5 реализовала отображение полосы О < о < Ь на полосу, ограниченную осью ~ и кривой т! = Ь+ Я4. При 5в = и+ 4Ь имеем: т! = Ь + сй (8ит' — Ьт) + дй (5и' — 10Ьаиэ + Ь4), $ = и + си (и' — Э!5и),+ 4(и (и' — 10йэит -1- 5Ь'); следовательно, положив Зс = !Одйа, 5дй = р, получим: 5! = Ь+ (1и — — $Ь4, $ = и+ 0 Ь4)пч — 1, т / ! ! ь!' откуда с принятой степенью точности т! = Ь + рай!.
Таким образом, искомое отображение имеет внд: Ь = 5с -1- — рйшз -1- — и5 р 3 аа 4 4 и его растяжение в точке а4,=5Ь+ о(Ь4!п4 — ! равно «~ (23) +2анй ' ! Р 4~1 ! ! 0(йз) Ясно, что отображение ~йи43 ! и,5 аь т а 4 2 2 4Ь 3 ' бь с нужной степенью точности совпадает с отображением полосы О = о ( Ь на полосу 0(Гь, Г) и его растяжение в точке шы соответствующей сь = 4Ь, равно 1+ 0(Ь5). Для случая, когда линия С, в круге !а — хь) < 1, совпадает с Со, теорема доказана. Совершенно аналогично рассматривается случай, когда совпадают линии С и С, а общий случай сводится к двум рассмотренным, нбо сначала можно перейти от области 0(Сь, С,) к 0(С5, С), а затем от Р(С5, С) к 0(С5, С). Теорема доказана полностью.
В заключение приведем результат, который получается пз формулы (18) элементарными оценками. Пусть линия Сь совпадает с осью х, а линия С: у = у(х), удовлетворяет следующим условиям: а,й < у(х) < а5Ь, ! у'(< а51! ', ! у" 1 < ачй, (у"')< аьй". (24) Прн этих условиях в любой точке линии С имеем: !) (е, С,,С, Ь)!= " ~1+ —,уу" ~+)~, ! )5' ! < АЬ ь, (25) где А зависит только от постоянных а„. 392 ГЛ. !И ВАРИАИИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 155 393 % 3. пеиложенР!я Для доказательства достаточно заметить, что в принятых условиях и с принятой степенью точности в формуле (18) можно заменить б=агс1цу'=у', и= " =у, й= ~, = у", (! + у' )ч а также пренебречь членами, содержащими пзйз и 6'.
й 3. Приложения Здесь будут даны приложения вариационных принципов к некоторым задачам механики сплошных сред. 66. Пересчет подъемной силы. Модель идеальной жидкости является лишь первым приближением при описании движения реальной жидкости или газа. Поэтому, например формулы для величины подъемной силы, полученные в п. 49, оказываются неточными: при учете вязкости, сжимаемостн и т. и.
наряду с подъемной силой появляются вредные сопротивления, неравномерности потока и другие факторы, причем эти факторы в значительной степени зависят от характера распределения скорости потока вдоль крыла. В соответствии с этим при решении проблемы об улучшении качества крыла большое значение приобретают простые способы пересчета распределения скоростей прн переходе от данного профиля С к близкому профилю С. Мы приходим, таким образом, к следующей задаче: определить вариацию скорости и подъемной силы профиля С в зависимости от вариации форл1ы этого профиля.
Можно дать простое решение этой задачи, основанное на приближенных формулах конформных отображений близких областей. Пусть дан контур С с одной угловой точкой а и и тгт близкий к нему по положению н кривизне контур С. Мы будем предполагать, кроме того, что а принадлежит С и что обе а касательные к С в точке а явля|отея также касательными и к С (рис. !44). Допустим далее, что известен поток, обтекающий С; тогда мы можем считать известной и скорость потока (т, как функцию длины дуги з контура С. За начало отсчета з примем точку а, возрастание з пусть соответствует положительному обходу С (О =з !). Кроме того, мы считаем известным конформное отображение ! =Р(е, С); Г(со, С) = ьь 394 гл ип ВАРиАштонные ПРиниипы конФОРмных отоерлжении )ае (мы полагаем ь=ре'о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
