М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Мы будем понимать под 1(г, С) любую нз них, но в тех вопросах, где величина О существенна, будем определять ее дополнительным условием. Замкнутую линию, переходящую при отображении (1) в окружность (ш(= р < 1, будем обозначать через Ср и называть линией уровня. Деформацией контура С мы будем называть замену его контуром С. Предположим, что области ))(С) и й(С) звездньс относительно точки гь, т. е. что их границы С и С в системе полярных координат с полюсом в г, можно представить уравнениями г = г Ор) и г = г (ф) с помощью о д н о з н а ч н ы х функций г и г.
Точку гз=гь+г,ене контура С, где достигает зкстремума отношение г(р)/г(р), и соответствующую точку ге —— =ге+с,енн контура С мы будем называть точками наибольшей деформации, а число Л=гб/г,— наибольшей деформацией контура. Основной качественный вариационный принцип, так называемый принцип Линделефа, утверждает, что если ограничиться отображениями на единичный круг областей, содержащих фиксированную точку г, (прообраз точки ш = О при каждом таком отображении), то при в д а в л и в а н и и внутрь границы области: 1) все линии уровня сжимаются; 2) растяжение в точке гб увеличивается; 3) растяжение в точках границы, оставшихся неподвижными (и, в частности, длина образа не- деформированной части границы), уменьшается; 4) в точках наибольшей деформации растяжение увеличивается более чем в 1/Л раз. Иными словами, имеет место Теорем а 1.
Если область 0(С) содержится в 0(С), то: 1) при любом р (О < р < 1) область Е! (Ср) содержится в Е! (Ср) причем соприкосновение СР и Ср возможно лишь при совпадении С и С; 2) в точке го 1)'(г„С) !)1)'(гб, С)1, (2) причем знак равенства возможен лишь при совпадении С и С; Збй гл. пл ваьилционныв принципы коньоьмных отоььлжвнни (аь причеиг знак равенства возможен лишь при совпадении С и С; 4) если области звездны относительно га, то в точках наибольшей деформации 1ГРа С)(~у))'(~ С)1 (4) где Х ( 1 — наибольшая деформация конгури. Мы приведем прямое геометрическое доказательство принципа, которое ясно показывает его существо и позволяет получить количественные оценки.
Для этого заметим, что теорему достаточно доказать для случая, когда козпур С отличается от С только на малом участке (а, Ь), где он представляет собой дугу кривизны, близкой к кривизне С па (а, Ь), так что 0(С) получается удалением нз 0(С) малой площадки (рис. 135). В самом деле, любую вариацию С можно получить последовательным применением этой простейшей вариации, и если теорема будет доказана для нее, то опа будет доказана и в общем случае.
Введем теперь вспомогательную плоскость ь и отобразим конформно область 0(С) на единичный круг )Ь1(1: Ь=)(г, С), 1'(го, С)=0. Пусть при этом С переходит в кривую С' и площадь, заключенная между С' и окружностью )гь) =1, равна о' (рис. 135). Отобразим конформно область 0(С') на единичный круг плоскости цц гь = д (ь), д (0) = О. С точностью до малых высших порядков площадку о' можно считать круговой луночкой а), следовательно, в качестве а можно взять отображение (9) п. 34 (5) *) Это утверждение а~ожет быть обосновано в случае, когда кривизна й конт>ра С как функпия длины дуги з згого контура удовлетворяет условию Гельдера (й (з + й) — й (з) 1 < л ( а 1", о < о <!.
Для обоснования приходится пою зоваться еще рядом граничных свойств отображений ы = 1(з), Ниже мы приведем доказательство принципа, не использующее граничных свойств )(з). 3) если контуры С и С имеют обгцую точку гь го в этой точке ( 1"' (г „С) 1~(1 ((" (г „С) 1, (3) * З ь основныв вхюпщионные пеинципы зе| бм где сг — аргумент какой-либо точки площадки а'. Найдем отображение, обратное и. Для этой цели перепишем формулу (5) в виде (мы воспользовались тем, что при малых и с точностью до 1 малых высшего порядка, = ! — и).
Так как гв отличается ~+ч Рис. !35. от ~ на величину порядка а', то в членах, содержащих множитель о', не меняя порядка точности, можно заменить Ь через га, так что (б) Обозначим через С» кривую плоскости Ь, соответствующую окружности ~ га(=р при отображении ю=п(~). Чтобы получить параметрические уравнения Ср, мы положим ь =геьг, в =- ре'В, прологарифмируем выражение (6): г рс~ )В-а) 1п — =.! и — + 1()р — 9) = —— ГР Р рс) 1В-а) и разделим затем действительные и мнимые части: О' рс 2)с 1 — 2р сов( — а) + р')' а' 2р Мп ( — а) 2а 1 — 2р сос ( — а) + р' ' (7) Из этих уравнений можно получить все утверждения доказываемой теоремы. Очевидно, имеем: ю = ) (а, С) = и () (а, С)); (8) следовательно, при отображении ~ =1(г, С) область 0(СР) пееходит в Е)(СР). Так как 0(СР) переходит при этом в круг ~~(р, то для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что 0(Ср) содержится в круге )ь)( р.
Но так КаК ! — 2р СОВ(9 — СС)+ рт с= (1+ р)В, тО ПО фОрМуЛЕ (7) дЛя всех точек контура Ср имеем: )ь(=г(р(1 — —., +',) <р. (9) Таким образом, первое утверждение теоремы полностью доказано. Деля неравенство (9) на р и устремляя р к нулю, получим в пределе ~)(га ~ 2 Но тогда ~~'(О) ~ ) 1, н согласно формуле (8) ! ~г (з„с) / =1д'(О) ~ ! (' (ЕВ, с) ! ) ! )' (Е„с) ! что и доказывает второе утверждение. Пусть теперь точка Ь=геар приближается к точке е)Ф окружности ~Ь(= 1 по радиусу этой окружности, причем е)Ф расположена вне о'.
Тогда в силу конформности отображения соответствуюц(ая точка и) = ре™ приближается к точке е)В по направлению, также касательному к радиусу окружности (п))= 1, и мы имеем: (ЛЬ)=)Ь вЂ” е)Ф)= 1 — г, (Ьа))= =(а) — е)В) ! — р. Но из неравенства (9) следует: 1 — р 1 — р а' р ~( = 1 —— 1 — г а'р ! — р 2я 1+р' 1 — р+— 2л 1+р зв2 Гл. )ч. ВАРНАцнонныс пРннцнпы конФОРмных ОтОБРАжения в)~ $1, ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦПОННЫВ ПР!и!ПИПЫ бб! н, переходя здесь к пределу при т — 1, получаем: О~сюда вытекает утверждение 3) теоремы. Для доказательства последнего утверждения обозначим через С' контур, который получается нз С преобразованием подобия Ь = ге+1(г — го) (рис.
135). Очевидно, функция ~=1(1, С) =~(га+ л, С) (10) реализует конформное отображение области Р(С') на единичный круг. Но Р(С*) содержится в Р(С) и точка йа принадлежит как С, так и С'. Поэтому согласно утверждению 3) теоремы 11'(га, С )1(1!'(га, С)1. ! Но так как из (1О) имеем Г(г„С') = — Г(га, С), то 11'(г,, С)1Ъ~ — 1)'(гм С)1, н теорема доказана полностью. Простым следствием доказанной теоремы являе«ся так называемый принцип Монтеля: Те оре м а 2. Пусть области Р(С) и Р(С) содержат точку г„ и С=С, +Се, С=С, +С„причем С, лежит в Р(С), С вЂ” вне Р(С), С, — вне Р(С) и Са — в Р(С) (рнс. 136).
Пусть, кроме того, при отображениях и«=1(г, С), и«=1(г, С) дуги С, и С, переходят соответственно в дуги 01 и Ь„ тогда длины этих дуг связаны соотношением и) Ь«~)б„ (11) Рнс. ! 36. причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С. Для доказательства введем вспомогательную область .Р(С'), ограниченную кривой С'=С, +С„и обозначим через Ь'образ С« прн отображении и« =1(г, С'). Так как Р(С') принадлежит Р(С) и дуга С, принадлежит и С' и С, то по третьему утверждению ') Янины иуг мы обозначаем теми «не буааамн, что и сами нуги. 364 ГЛ, НА ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ !9> принципа Линделефа в каждой точке С, !)'(х, С) !)!!'(г, С') !.
Следовательно, учитывая геометрический смысл модуля производной, будем иметь: Ь! ) 2п — б'. (12) С другой стороны, 0(С') лежит внутри области 0(С) и дуга С, принадлежит кривым С' и С, поэтому на основании тех же соображений Ю'~(2п — О,, (13) Объединяя неравенства (12) и (13), получим искомое неравенство (!1), В заключение заметим, что доказанные вариационные принципы Монтеля и Линделефа можно получить также на основании леммы Шварца (п. 15).
В самом деле, эти принципы вытекают из утверждения, что область Р(С„'), в которую преобразует круг ) ш~ ( р функция Ь = г>(в), обратная к функции и = д(>,'), принадлежит кругу ) Ь) ( р (мы придерживаемся обозначений, введенных при доказательстве теоремы !).
Но так как функция Ь = й(п>), й(О) = О, отображает круг )и>)( ! на область 0(С ), принадлежа>цую кругу ) Ь! ( 1, то по лемме Шварца для любого и, !п>)(1, имеем !П(в) )((и>). О~сюда н вытекает утверждение о том, что при любом р область 0(С;) принадлежит кругу )~~ ( р. Эти принципы можно получить также непосредственно из принципа максимума для гармонических функций (п. 42). Такой метод имеет особое значение при распространении варнационных принципов на отображения более общие, чем конформные и, в частности, на квазиконформные отображения (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
