М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКНИН К АНАЛИЗУ (гз р; ~„ (! етак1) ~ + О 1 — ! — 2п!сан! 1+ел 1й) и в пределе прн )1-ь со получаем искомый интеграл 60 еах 2! !т — Ых=п ! .1 зх сап! е-ан! з1п,п! (О< о<1). (8) Пример 4. Для вычисления интеграла (Пуассон) у е х соя бхг(х о рассмотрим функцию 1(х) = е и заметим, что ее интеграл по действительной Рис.
159. оси вычисляется на основании известного результата (ег1 оо = 1, см. ш 10), а на прямой у = Ь она обращается в функцию е З !к+ !а! = е'Ь ° е ак (соз 2айх — 1 з! и 2айх), дейстзи- 6 тельная часть которой при Ь= — отличается от подыитегральной функции 2а постоянным множителем. В соответствии с зтим мы выбираем контур интегрирования, как уназано на рис. 159. По теореме Коши (9) 1Ч ! 1! 1П Здесь яУа ) е а~1(х==~ е ~ог, -и е = — ЕЬЧ4» ~ Е ах'Е Ых Лк Н! на отрезне Н и [Ч, где к = ш )1, -ах' ~ -а1Л'-д'! - Ы!1а -аи'.
е 1=е ~е е следовательно, если а>0 (что мы и предположим), то ~ -+О при )1-+со. !1,!Ч В пределе при Д -з. оо нз (9), используя известное значенйе ег( оо = 1 (п. 70), находим: ь / и еь04а ~ -ах'е-1зх ! 0 а следовательно, прн Р-+со оба интеграла ) и ~ стремятся к нулю, если 11 1Ч потребовать, чтобы было 0<а< 1.
Таким образом, прн 0<а<1 $2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 73! 445 откуда, сравнввая действительные части, имеем окончательно: е ах 277х,(х= ! 1/ и е зма (а>0). 2 2 а о (!О) Пример 5. Для вычисления интеграла (Лежандр) ОО мы возьмем вспомогательную функцию а!аз ( (г) е н* — ! + с~ (г 0 + е ! 1 Р ( е !г 7! — 1 2и ( г — !) + с (г — !)2 + ... 2л г — ! где Р(г — !) — правильнаи в точке г ! функция; так как на дуге 1 имеем г = 7 + ге е; 7(г = г!е т 7272, то ° ! -я72 — + О (г) = — — + О (7). е а Г г!еег(ф ! 2и ге~в о 4 Яналогично ~ = — ~ ! гпр+ О (г) = - — -1- О (г), и равенство (11) прнни- Г, 2и 3 4 Н н72 мает вид Н !-г е ад (! — е а) ~ = ! 1, Иу+ — (1+ е а) + О (г) + О ~ — 1.
'! азн7и ! 4 ~)11 г г (ее удвоенная мнимая часть на осн х равна подынтегральной функции) и проинтегрируем ее по контуру, показанному иа рис. !60. Так как ! (х+ !) = = е "! (х), то интегралы по нижней и верхней границам можно объединить н в один: (1 — е а) ~ 7(х) 7)х, интеграл по от- 12 Г резку х )1 стремится к нулю прн )1-+ оо (см.
с 7И пример 3), на отрезке х =0 полагаем г = !Еь Тогда по теореме Коши н 1-7 (,, )~,.~ е-"Ф, ~„~'„ г +О( — )=О, (!П где 1 и П означают дуги окружностей (см, рис. !60), Вблизи точки 2 =1 имеем: часть и перейдем к пределу г-ьО, )7-ьад; учи Отделим здесь мнимую тывая, что 1-г 1-г а азий Г е ая 1 д йе ) = — а! — а!У вЂ” (а "— 1) -(- О (г), ,2.
а 2о г Г будем иметь окончательно: -л«э!пах 1 1+а а 1 — л« вЂ” — (о 'ь 6). зЬ нх 1 а-а е (12) П ример 6. Для вычислеяия интегралов (Э й л е р а)) 72 — — ~' з!и «2 а(» о аа 71 = ~ созха а!«, о мы выберем вспомогательную функцию ! (2) — аы и контур, указанный на рис. 161. На дуге С после замены ха ь получим'. Г а11 и ! («) Лз=— 2 Уь сл с где С, — четверть окружности радиуса )7 ! следовательно, по. лемме Жора 2, дана этот интеграл стремится к нул1о при )!-ь аа. По теореме Коши, если на ОА положпть г =х, о на Ойй х !)7 и имеем: Я о ~е'"'Лх+ ~+~'! ~;1',И О. а ся Переходя к пределу при !с -и аа я пользуясь зна« чением ег1 ад 1, получим: 0 д Рнс.
161. е г!«=р ! —. 1 ' =' ° 1«' у - Ф П 2 е Отделяя здесь действительные и мнимые части, найдем: ад аа 1 l и соз «2 агх ~ 51п ха ы« = у 2У 2 о о *) Интегралы впервые были вычислены Эйлером в 1781 г. 446 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКПИП К АНАЛПЗУ 1тз ?0 т т. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ С иитегралани (13) связавы специальные функцки — так называемые интегралы Френеля х х 3()=~ —," И, С()= ( '." 1!. )' 2пт .
1 )' 2пг е о (! 4) В самом деле, подстановка ! = т' дает: тх 1гх 3(х) = ~/ — ! з(п те 1(т, С(х) = 4У вЂ” ) соя т',г!т, гг2 Г г 2 Г и следовательно, формулы (13) можно записать в виде 8(оо) = С (оо) = —. 1 2' 74, Вычисление интегралов (продолжение). Начнем с вычисления интегралов, содержащих многозначные функции. Пример 1. Для вычисления интеграла 1п 2 г(х (к'+ 1)' е мы возьыем вспомогательную функцию !П 2 (2) ( х 1 1)з и контур интегрирования выберем, как в примере 2 предыдущего пункта «) (см. риО 157). Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначных ветвей; !и 2 пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенствами 0<аг22<п.
Функция )(2) имеет в точке 2=1 полюс второго порядка с вычетом г( Г г( 1пз Т и+21 е-1 11ш — (! (2) (2 — !)г) Й2 !П2 (2+!) ~ 1 В По теореме о вычетах ') Мы окружаем 2=0 малым кружком, чтобы исключить особенность функции ) (2). -я е„г Ед При 2 )!е~о, 0<ф<м имеем, начиная с достаточно большого )7, ! (п 2! = = )г ) из )( + 1рз ~ 2 1п )с; следовательно, 44В ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К ДНЛЛИЭУ !74 и ) ->О при )1-ь со, Аналогично при г=гее, О < ф < я, начиная с доста- го сл 1 точно малого г, ! 1п г ) < 2 !и —; следовательно, г ' и этот интеграл также стремится к нулю при г-об.
В первом интеграле после замены г= — х получим: л (хх ! 1)з -Л г и, таним образои, в пределе при г-ьО, я -ь оь будем иметь: СЮ чь 1пхг!х . ( з!х яз! я 2) '+ +я!) о о Сравнение действительных частей ') дает искомый интеграл 1пхбх я (х' -(- 1)' 4 о Пример 2.
Для вычисления интеграла !пхдх (х + а)з + Ьз о мы выберем вспомогательную функцию 1(г) Рис. 162. !п' г и контур, указанный па (г, + а)' + Ьз рос, 1б2 (внутри контура 1пг однозначен, если считать О<агйг<2я). Па верхнем и нижнем берегах разреза, входящего в этот контур, !паг принимает соответственно значения 1п'х и (1п х+ 2я!)'= 1пзх+ 4я! !и х — 4я*, поэтому интегралы от !пах,взаимно уничтожаются и появляется возможность вычислить искомый интеграл.
Внутри контура лежат два полюса первого порядка г,,= — а.з- Ь!' функции ((г) с вычетами с ! = —. (!п г+ ! (я — !р)), с ! = — —,(1п г+ ! (я+ ф)), 1 1 з 2Ь!' 2Ь! ') Сравнение мнимых частей дает элементарный интеграл Г(Х Я (х' -(- !)з о 4 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРПИ Выг!ЕТОВ 74! 449 Ь гле г= г а'+ Ь' и и =асс!Š—, Применяя теорему о вычетах, получаем: а ~ + ~ + ~ + ~ — 4!р (и — 11п г). И а В соответствии со сказанным выше имеем: г и тогда в пределе при г-» О, (г -» са будем иметь: а г(х .
! 1п х !(х 4я!р 4п'~ ),+, — 4пл ) ( ),, = — (и — !!и ). о о Отсюда, сравнивая мнимые части, получим искомый иитеграл !п х с1х !Р(п г (п'г'а'+ Ьз Ь (х+ а)з+ Ь' Ь Ь агс1Š—. а о (2) П р и и е р 3. С помощью того же контура вычисляется иитеграл (Э й л е р) а-\ !(х (0<а<!), 1+х о если в качестве вспомогательной функции взять г а а-1 1а-111п а ( (х) и заметить, что па нижнем берегу разреза ! (ха а') = е "'" ! (х). Проделывая пеобхолимые вычисления и опенки, получаем: Ха-1 я 1+ х з!п ап г(х = о (О < а < 1). (3) Впрочем, подстановкой х=а этот иптеграл сводится к ивтегралу из при ! мера 3 предыдущего пункта. Пример 4. Вычислим гл а в кое зи а ч си и е особого интеграла х а-1 1 = ~ — !!х (О < а < 1) 1 — х о Так же как в прелыдущем примере, покажем, что!!ш 1 = Ош ~ =О, г»о а яа аг ся (особениость в точке х=!).
Для его вычисления мы выбираем вспомогательну(о функцию з е а-1 (а-Н 1« х (()= 1 — х 1 — х и контур, указанный на рис. 163. Учитывая, что иа апжнем берлу разреза вдоль положительной полуоси ((хе "') = е аа(( (х) и чтз внутри контура ( (х), вравильиа, по теореме Коши оудем ииеты ( 1-Г л +(~ — ""'1 ) ~".~."Г ) ~«>а)" а Г 1Ег + ~+ ~+~=. (4) т, сл г Рис. 163. Очевидно, ~ -«О при г-«О и ~ — «О при )! — «аа. Вдоль у и уг имеем соГг сл ответственно г» ' =1+ О (г) и ха =ета"(+ О (г); 1 — а=ге(е, дг= = — Гге(е агяь где Гр меняется от О до — и и от — и до — 2п; следовательно ~ + ~ = пг (! + е «"1) + О (г).
т Г Псрсходя в (4) к пределу при Г -«О, )с-«аа, получим, таким образом, (1 атак ) 7+ п((1+ езан() О откуда искомый особый интеграл равен Р а-1 /= ~ ' Г(к= по!2»(ь о (5) Пример 5. Для вычислення интеграла Г(Х -! Р (! — х) (1+ х)з прежде всего убеждаемся в том, что фуннция ((г) =)Г (! — з) (1+а)' во внешности отрезка (-1, 1) распадается на три однозначные ветви. В самом деле положим Гр, =агй (! + г), ~рз агп(1 — х).
При обходе против часовой стрелки замкнутого пути, изображенного пунктиром на рис. 164, 121 и Грз р(+ 2фз получают приращение 2п, следовательно, агй((х) ' получает при- 3 ращение 2п и ( (з) возвращается к исходному значению. Будем рассматривать 450 гл. ч. пвиложпння тпопии окнкнии к анализк !74 3 т. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 741 ту ветвь функции /[г>, которая иа верхнем берегу отрезка ( — 1, 1) принимает положительные значения, и возьмем контур, изображенный ва рис. 164 з жирными линияъ«и. На берегу! имеем агй / (г) = О, т. е. / (г) У(1 — х) (!+х)', на берегу !! (после обхода точки г 1 по часовой стрелке) агп/(г) Зи7 2 = — — и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
