М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Ми- хайлова. Критерий Найквиста — Михайлова. Для того что- бы система автоматического регулирования, описываемая функ- цией (18), была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при обходе по часовой стрелке границы полукруга Ол, ограни- ченного отрезком мнимой оси и полуокружностью достаточно большого радиуса, вектор 1/0(г) повара швался вокруг точки гв = — К против часовой стрелки Р раз, где Р— число полюсов !/6(г) в правой полуплоскости, П р и м е р. Пусть функция 0 (г) имеет внд 1 0(г) = г(! + т,г) (1+тгг) ' где т, и т, — положительные постоянные.
Частотный годограф функции 1/О (г) описывается уравнением 1 ш = —, =!у (1+ 1ту) (1+ )тзу) = — (с, +та) у'+ )у (1 — ттгч) 0 ()у) и имеет внд, изображенный на рис. 168 жирной линией. В самом деле, мы Иьсссн: я = — (с, + тг) д', о = у (1 — т,тэуз), откуда видно, что этот годограф целиком расположен в левой полуплоскости, 1 / пересекает ось и при у=о и при у= Ш 1/1 т,т,, причем угловой ьоэффисГо Зт,ттуз — 1 1 тд, х циент касательной — =, равен оо н ис в точках пересечедп 2(т, +тдя т,+т, ння годографа с осью и н неограниченно возрастает прн ~ у)-ь со, При доста- 1 точно больших )г) имеем 0 = т,тггз,, откуда видно, что правой полу- 0 (г) окружности ~ г ~ = й, )!е г ) О при больших )с соответствует кривая, близкая к полтора раза проходимой окружности (ш(=т,т,рз (см.
рис. 168). Пусть значение коэффициента усиления К К таково, что точка — К! лежит внутри петли годографа (так нак в точке самопересечения годографа 2 1 т, + тг и' = —, то для этой точки и =— в иаш случай соответствует т,т, *) Различие в знаке с формулой и, 23 объясняется теи, что там граница области обходилась против часовой стрелки. ГЛ. У. ПРИЛОЖПИ1Я ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К А1ШЛИЗУ (тн 484 значениям О< К < т!+тз) ). Как нидно из рнсупна, при полном обходе С т!тз 1 ! вектор — =2 — (изображен пуннтиром на рисунке) а этом случае не де- 6(г) 6, лает ни одного оборота, — если начинать обход с точки а, то 1/6 сначала (при обходе годографа) сделает более одного оборота против часоаои стрелки, Рпс. 188.
но затем (прн обходе кривой, соответствующей полуокружпости) поаернстся иа такой же угол по часовой стрелке. Если же значение К=К таково, и т1+ тз ) что точка — К лежит левее петли топографа ( т. е. К) 1, то при и т,т, 1' ! 1 полном обходе С асктор — = —, очевидно, сделает дна полных обо- 6 (г) 61 рота по часовой стрелке (рис. !68). Так как а рассматринасмом случае число полюсов 1/6 (г) а праной полу- плоскости равно нулю, то согласно критерию Найканста — Мнхайлоаа соотаетстаующая система автоматического регулирования устой шаа при т1 + т2 т, + тз 0<К< ' и неустойчива прн К~ т!т2 т,т, 3) йй е год В ы ш не градского — На й к в иста.
Этот метод является развитием предыдущего и также приспособлен к исследованию функций, зависящим от парамегоов"). Мы рас- *) Идея метода принадлежит русскому инженеру И. А. В ы ш н е г р а дс к о м у (!877), дальнейшая его разработка — американско ау инженеру Г. Н а й к а и с т у (1932); четкое обоснование метода дал советский математик Н. Н. М е й м а н (!949), иы следуем его изложению (4). тз) 5 т. пРилОжения теОРии вычетОв 465 смотрим семейство многочленов, зависящих от двух действитсльных параметров к и т) или, что то же самое, от одного комплексного параметра ~ = к + (т): 1(з 0 = Р (з) в + Рз (з) т) — Рз (з), (19) где Рв(г) — некоторые фиксированные многочлены.
Мы будем считать, что не существует общего корня всех трех этих много- членов (если бы такой корень гв существовал, то уравнение можно было бы сокРатить на множитель г — зв в надлежащей степени); через и обозначим наибольшую из их степеней. Обозначим через 0(тйп — )т) совокупность точек плоскости параметра (, для каждой из которых многочлен (19) имеет й корней опюсительно г с отрицательными действительными частями и и — й корней с положительными действительными частямии *) .
В частности, )) (и, О) — область устойчивост — совокупность тех точек г, для которых все корни имеют отрицательные действительные части. Так как корни многочлена непрерывно зависят от г, то вместе с каждой точкой ~ совокупности 1)(КП вЂ” й) принадлежит и некоторая достаточно малая окрестность этой точки. Отсюда вытекает, что совокупность 1)(й, и — й) состоит из некоторого числа областей. Точка ~ не принадлежит ни одной из областей Р(й, п — й), если соответствующий многочлен (19) имеет хотя бы один чисто мнимый корень или, в частности, бесконечно удаленный корень, который также можно рассматривать как лежащий на мнимой оси. Малым изменением значений параметров $ и т) в этом случае можно достичь того, что многочлен уже не будет иметь чисто мнимых корней; следовательно, дополнение к совокупности всех областей 12(й,п — Й) состоит из граничных точек этих областей.
Идея Вышнеградского и состоит в отыскании областей О()т, п — й) в плоскости параметров, Рассмотрим сначала частный случай, когда многочлен Рз(з) = (Р~(з), т. е. ) (з ь) = Р~ (з) ь Рз (з). (20) Уравнение 1(з, с) = О, которое в этом случае можно переписать в виде Рз 1з) (2! ) Р,(г) ' устанавливает некоторое соответствие между плоскостями г и ~, причем каждой точке ~о соответствует л точек г~ом — корней уравнения (20) при заданном значении параметра ~о (некоторые из них могут совпадать или уходить в бесконечность). ") 1(вк всегда, корни свити~итси столько рвз, какова нк кратность.
Фее ГЛ. У. ПРИЛОЖЕ!Нзя ТЕОРИИ ФУИКПИП К АНАЛИЗУ )Тз Из сказанного выше следует, что граница Г областей О(й, и — й) представляет собой образ мнимой оси при отображении (2!), т. е. частотный годограф функции ', = Рз(г))Р!(г). Пусть )., будет точка, не лежащая на Г; число й(!".з) корней соответствующего уравнения (20) с отрицательными действительными частями можно найти, как и выше, прн помощи принципа аргумента. Предпологким, что Р!(Е) не имеет чисто мнимых корней и обозначим через й! число его корней в левой полуплоскости, через и, и пз обозначим, соответственно, степени Р!(г) и Рз(г) н положим пз — и, еечи из > п! О, если и, «( п,.
(22) й(сз)= зп Лс* аг1~1з р ) (+ — Л ° агдР!(е), (23) где контур Ся проходится против часовой стрелки. Для больших ) г) имеем ьз — — ' — — г"-"1) сз+ — '+ ... ~, Рз (г) ) ! 1) се~О, следовательно, Л ! агд1~з — '(=п(п,— п,)+О( — ) /1) при и, ) п„при п,(п, это прирашение равно О! й !. Таким образом, в силу нашего выбора т всегда 2 Л а~се — р'( ) ~=т+О(Н). Разбивая первое слагаемое формулы (23) на два, соответству!ощне обходу Ся и Са, а также учитывая, что второе ее слагаемое по принципу аргумента равно )г„мы получим нз этой формулы в пределе при Р-Р со ) Рз (г) ) й '"-') = Л'"й1~' )+ + йн 2п ( Р!(г)) где С вЂ” мнимая ось плоскости г, проходимая снизу вверх. Переходя к параметрической плоскости ~, получим следующий результат.
Число корней в левой полуплоскости уравнения (20) при ь = ьо равно й (ьо) = — „Лгал(ьз — ь) + Ги+ йн ) (24) Рассмотрим полукруг, ограниченный полуокружногтью Сл! ) г ) = Р, йе г ( О, и отрезком Ся! — Р «(у ( Р мнимой оси; пусть Ся = Сл + Са. Для достаточно больших Р по принципу аргумента гя $ т. пРилОжения теОРии ВычетОВ 467 где à — частотный годограф функции (2!), проходимый в наггравлении возрастания у, гп определяется по формуле (22) и йз — число корней многочлена Р,(е) в левой полуплоскости.
3 а и е ч а н и е. При доказательстве мы исключили случай, когда Р,(г) имеет чисто мнимые корни. В этом случае формула (24) остается в силе, если каждый такой корень Рз(г) засчитывать с п о л о в и н н о й кратностью и первое слагаемое рассматРивать как сУммУ пРиРащений агд(Ге — 9) вдоль отдельных уходящих в бесконечность ветвей годографа (из уравнения годографа 9 = Ра((у)(Рз(гу) видно, что ч- оо при приближении к каждому мнимому корво Р,(г)). В самом деле, все проведенные рассуждения останутся в силе и в этом случае, если нз прн обходе Сл обойти каждый чисто мнимый корень слева по малой полуокружности с центром в корне.
Обход каждой такой ! !г Рз(г) ) Р полуокружности вносит в — б аге'! го — — ( величину —, где 2п ! Рз (г) ) 2' р — кратность соответствуюгцего корня *), величина же Ь * агРРз(г) остается без изменения, ибо внутри Сл не по- сл является новых корней Рз(г). Устремляя радиусы всех таких полуокружностей к нулю, в пределе получим нужный результат. П р и и е р. Для семейства много- членов ((г, ь) =(г' — з) ь+Заг(г+ !) кривая Г определяется уравнением ~= — +!— Зар Зауз ! ! з ! ! з и представляет собой декартов лист (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
