М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 92
Текст из файла (страница 92)
''' соз! — — !и+ — )1~. (10) !' Мп! 2 4...2п 14 ~ 2) Способ построения производящей функции по формуле (1)— далеко не единственный. Для функций не целочисленного, а непрерывно меняющегося переменного часто применяют, папри- тогда разность Р (ж ш) — Рь (з, ш) на окружности (ш ( 1 будет й раз непрерывно дифференцируемой функцией. В самом деле, это очевидно для точек аз Ф еег, а для и =е, например, следует из того, что разложение еы и ! а+- разности по степеням (ш — е!!) начинается (ш — ен) з (это видно из разложений (6) и (7)).
Для того чтобы найти коэффициенты разложения (8) в ряд по степеням !е, ! ч— заменим (!и — е ') с помошью формулы (5). Тогда обший член ряда (8) перепишется в виде з з. мятоды лспмптотичсских оценок тм 489 мер, метод интегральных преобразований, который состоит в замене функции )(1) функцией Р(р) (производящей функцией), определяемой по формуле Р(р)= ~ К(Е р))(1)й~, с где К(Е р) — заданная функция (ядро интегрального преобразования).
Наиболее часто применяются преобразования с ядрамн К(Е р) = е-т' (преобразование Лапласа), К(Е р) = Р ' (преобразование Меллина) и др. Первому из них посвящена следующая глава (см. особенно п, 88). В этой главе будет показано, что в случае преобразования Лапласа функция )(1) па определяется через свою произво !ящую функцию р(р) по формуле х+! ю )(~)= —,', ~ Р(р); й,, (11) где г" (р) — функция комплексного переменного р = э + 1о, аналитическая в правой полуплоскости Ке р ) Х ) О, интеграл берется по вертикальной прямой П: Ке р = Х и 1 — положительный параметр.
В заключение этой главы укажем способ отыскания асимптотического выражения для таких интегралов. Обозначим через Е кривую, состоящую из двубережного разреза вдоль отрицательной оси з и малой окружности, обходящей точку р = О. Через Пя и Е„мы обозначим участки кривых П и Е, для которых соответственно (р(( Р, йер ) — )с, а через Ся — дуги окружностей (р!=тс, Кер(Х (рис. 174). Мы предполагаем, кроме того, что: 1) функция г(р) допускает выделение однозначной ветви в плоскости р с вырезанной отрицательной полуосью; 2) выделенная ветвь имеет конечное число особых точек и па дугах окружностей С„ стремится к нулю при )с в ьь равномерно относительно агар; 3) интеграл по Г(р) егл вдоль Е стремится к нулю при 1 — ~ со, В этих условиях для больших 1 ) (1) = ~~~ гез (Р(рь) еььо, (12) где сумма берется по все,и особью точка.а Р(р) с неотрииательной действительной частью.
— Г (Р) пгм и!Р = З (1) (13) пд+сн+сд где 3(!) — полная сумма вычетов функции Г(р) ер' (мы считаем )с столь большим, что контур рис. 162 охватывает все особые точки). По лемме Жордана п. 73 из условия 2) следует, что при )т'- оо интеграл вдоль Сн стремится к нулю (см. замечание после доказательства этой леммы); следовательно, равенство (13) в пределе принимает вид: г(1)= 2 .
~ Р(Р)а~ гР 5(1) 2 . ~ Р(Р)е тгр. (14) Но при больших 1 члены суммы 5(1), относящиеся к особым точкам Р(р) с отрицательной действительной частью, весьма малы в силу малости множителя ~(ер!1, интеграл вдоль 7. по условию также мал. Отсюда и следует (12). В качестве примера найдем асимптотическое выражение интеграла к рг — т р +гар н (р 1Ф))' рг + 2ар 1(х, 1) = —, 1 2п1 где а, о и ы — положителы!ые постоянные (этот интеграл встречается в задаче включения длинной линии без утечки на э.
д. с. е а; его асимпготиче. ское выражение дает установившийся режим в линии — см, п. 87 следующей главы). Здесь условия 1) и 2) выполняются при л ) О, если под )г р' + 2ар понимать однозначную в плоскости с вырезанной отрицательной полуосью з ветвь, которая при положительных р принимает положительные значения. "!тобы доказать выполнимость условия 3), положим р1 *= д, отчего контур ь перейдет в контур Ь' такого же вида, и мы будем иметь: ч — ', Ка'+заж ое г(о, (О йнт) )г Ч г + 2аег откупа непосредственно видно, что этот интеграл стремится к нулю при 1-н аа. Таким образом, описанный метод применим, н асимптотическое выражение интеграла (15) дает вычет подынтегральной функции в полюсе р = йа! к 1ы йа1 — У зайа-а' )(х 1)= е н У2а1в — ег (16) 490 ГЛ тг НРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКНИН К АНАЛИЗУ !гэ Действительно, на основании теоремы о вычетах имеем: литгплткпл к гллвк ц Литература к главе т' ]Ц А.
И. М а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, Гостехнздат, 1950. )2) А. Гурвиц и Р. Курант, Теории функций, «Наука», 1968. 13] Унттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, Физматгиз, 1963. ]4) Н. Г. Ч е 6 о та р е в к Н. Н. М ей м а и, Проблема Реуса — Гурвица для полиномов и целых функций. Труды Матем, института им. В.
А. Стеклова, ХХ «'1, 1949, ]5] Основы автоматического регулирования, под ред. В. В, С оп о донн икова а, Машгнз, 1954. [6] 14 я н ь Сюэ-сан ь, Техническая кибернетика, Ииоиздат, 1956. ]7) М. А. Евграф он, Асямптотнческпе оценки и целые функции, Фи»маттиа, 1962. (8) Р. К у р а н т и Д. Г и л ь 6 е р т, Методы математической физики, т. 1, Гостехнздат, 1951. ]9) Я и ке н Э иле, Таблицы функций с формулами и кривыми, Физматгиз, 19о9.
]1О] Б. В. Ш а б а т, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969. ]11] Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольск ей, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1963. ]12] Н. Г, де Брей н, Аснмптотические методы в анализе, Инонздат, 1961. ]13) А. Э р де й и, Асимптотические разложения, Физматгиз, 1962. 114) Э, К о п с о н, Асимптотические разложения, «Мир», 1966. Глава И Операционный метод и его приложения В прошлом столетии многие математики (в том числе у нас а России, например, Ващенко-Захарченко и Летников*)) занимались так называемым символическим исчислением.
В основе этого исчисления лежит построение математического анализа как системы формальных операций над символом р = — (! — независимая переменная). Например, л-я аг производная функции х = х(1) представляется как результат и действия на х символа р = — „„. левая часть линейного диф= лги ференциального уравнения с постоянными коэффициентами Е[Х) = а,Х1"!+ а!Х!"-'>+...
+ ачХ вЂ” КаК рЕЗуЛЬтат дЕйСтВИя На х символа Ь(р) = аор" + а!р"-'+... + а„, операция интегриро1 вания ~ х(!) агг' рассматривается как применение символа —, о и Гч так что —.1= [ агг=т, —, 1= —, ..., — „1= — и т. д. р ' [ ' р' ' 2 ' ''' р" ' л! о Символическое исчисление оказалось довольно удобным для решения различных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Его популяризации уже в нашем веке в сильной мере способствовал английский инженер-электрик О.
Хевисайд, который успешно использовал символическое исчисление в электротехнических расчетах. Для иллюстрации метода Хевисайда приведем решение простого дифференциального уравнения х' — х= 1 ') Сн. М. Ващенко-Захарченко, Сннволическое исчисление и приложение его к нитегрнрованию линейных лифференциальиых уравнеыий, Квев, 1862.
А. В. Лет ников, Теория лифференцирования с произвольаыч указателен, Москва, !868. гл. ть опвпдционнып мптод н пго прнложпння 493 при начальном условии х(0) = О, Заменяя дифференцирование умножением на р, получим вместо дифференциального уравнения уравнение рх — х = 1, откуда х = —, и после формальр — ! ных преобразований получаем: ! 1 ! ! 1 ! ! х= — ° = — (1+ — + —,+ ...
+ — „+ ...). Р ! ! Р Р Р' Р Р ! ! Учитывая сказанное выше относительно символов — и — „, Р Р находим окончательно; х=~ (1+(+ — + ... + — + ...)И=а! егЖ=е — 1. 2 ''' и! В правильности полученного решения можно убедиться нспосредствснной проверкой, Однако Хевисайд нисколько не заботился об обосновании применяемых им методов и в ряде случаев приходил к неверным результатам. Обоснование символического нли, как его стали теперь называть, операционного метода было дано лишь в двадцатых годах нашего столетия Бромвичем и Карсоном, связавшими этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом интегральных преобразований, которым с успехом пользовались Коши, Лаплас и другие математики. При этом символ (оператор) р получил новое толкование, как комплексное переменное р = з+(п, а вместе с ннм новую трактовку получил и сам операционный метод ').
Пусть, например, требуется найти функцию х(!) действительного переменного ( из некоторого уравнения, содержащего эту функцшо под знаками производных и интегралов. Операционный метод решения задачи сводится к следующим этапам: 1) от искомой функции х(!) переходят к функции Х(р) комплексного переменного р — «изображению» х(!); 2) над изображением Х(р) производят операции, соответствующие заданным операциям над х(!),— получают «операторное уравнение» относительно Х(р). При этом операции над изображением оказываются значительно более простыми, например: дифференцированию соответствует умножение на переменное р, интегрированию — деление на р и т.
д.; 3) полученное операторное ') Операционный метод получил таиже иное строгое обоснование с помошью обшей теории операторов, развитой в функциональном анализе — см., аапример, работу В. А. Д итк ин а и А, П. Пруди икова [!Ц. В последнее время весьма оригинальную и простую трактовку операционного метода дал вольский математик Ян Минусинский [!2]. 494 гл. гь опв лционньщ мгтод и его пюгложиння пч уравнение решают относительно Х(р), что обычно сводится к простым алгебраическим действиям; 4) от найденного изображения Х(р) переходят к оригиналу х(!), который и является искомой функцией. Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, когда: !) от чисел переходят к логарифмам, 2) над логарифмами производят действия, соответствующие действиям над числами, причем умножению чисел соответствует более простая операция сложения логарифмов и т.
д., 3) от найденного логарифма снова возвращаются к числу, В этой главе излагаются основные положения операционного метода и иллюстрируются его применения к различным задачам анализа н математической физики. 9 1. Основные понятия и методы 79. Преобразование Лапласа "). Функцией-оригиналол мы будем называть любую комплексную функцию 7(!) действительного аргумента 1, удовлетворяющую следующим условиям: 1'. Функция 7(!) удовлетворяет условию Гельдера всюду на оси у, кроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого рода, причем на каждом конечном интервале таких точек конечное число.
Это означает, что для каждого ! (кроме указанных искл!очительных точек) существуют положительные постоянные А, сс ( 1 и йо такие, что !!(!+Ь)-1(!) (<А!й!' (!) для всех 6, (!г!( йо. 2'. г(!) = О для всех отрицательных й 3'. 7(!) возрастает не быстрее показательной функции, т, е. существуют такие постоянные М ) О, зо ) О, что для всех ! ~ (!) ! ( Ме г, (2) Число эо назовем показателем роста 7(8); для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять еа) но — — О. С точки зрения физических приложений условия !' и 3' не нуждаются в пояснениях — онн, очевидно, выполняются для большинства функций !(!), описывающих физические процессы (! интерпретируется как время).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
