М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 90
Текст из файла (страница 90)
пример 1 п. 70) для полон!нтельных значений х. Рассмотрим сначала функцию х'-!' ! " ! х'-И ! ! х'-!' "! ) (х) ) е" й(= — — — йе» = — — — е" 2) 1 2х 23 тз! ') При х ) 0 интеграл понимается в смысле главного значения. Рассматриваемый интеграл связан со специальной функцяей — интегральной показательной функцией *) 474 Гл.
ч. пРилОжения теОРгн! Фун!илии к АнАлизу !тв повторна интегрирование по частям, получаем: 1 ! 1 ° 3 1 ° 3 ° 5 л ! 1 ° 3 ° 5...(2и — 3) ) (х) = — — — + — — + ... + (-!)л + 2х 2'х' 2«х' 2'х! йлхгл-! Лля остатка (с помощью интегрирования по частям) получаем оценку О 1 ° 3... (2а — 1) ) ек 1 3... (2и — 1) 2л ) з(! < 2л+ >,гл+ ! откуда вытекает, что кгл '() (х) — з„,, (х))-ьО прн х-ьоо; следовательно кзи 1 1 13 135 к — !! + ' ' + 2х 2'хз 2>хз 2>х> (10) Пользуясь тем, что ~ ек ! и!=ел — (см. п.
67), получим: 2 о х-и кз ) Л кз-Р кз У е >))=ек —,— ~ е л>! е — — — + —.— — + 2 2 2« 2«хз 2зхз и, наконец, 3) Асимптотические разложения можно строить и для функций целочисленного аргумента а; множеством М в этом случае служит последовательность целочисленных точек. В качестве примера рассмотрим задачу об асимптотической оценке нулей функции 1 ) (г) = з!п г+ —, я' (12) близким к точкам гл =ли. В качестве первого приближения примем гл ла. Подставляя г = па + в! (а) в уравнение ) (г) = О, получаем (-1)л з>п в, (а)(- 1 !)л-! + =О, откуда находим е,(и)- +о~ — ! и, следовала+ е! (и) ла а тельно, второе приближение для гл имеет внд +й х 2 Г Р 2 -«> 1 ег1к = ~ е >)! 1 — =е Ук,3 Уй ~2. 40 л ! ° 3...(2а — П Ге« х 1 1 ° 3 1 ° 3 ° 5 2'х' 2'хз 2'х' (11) а з.
мвтоды лсимптотнчгских оцгнок ш! 476 Далее полагаем а=па+ +е,(а) п нз уравнения )(з) =О полу( — !)л па чаем: ( 1)л-1 (-!)лз!н! +е,(а)) 1 аа + ( — 1) — + ез (а) 1 па Заменяя левую и правую части их приближенными выражениями, на- /11 ходим (с учетом того, что ез(а) о( — )): (а) ' ( 1) ез (а) на 3! ( ла з на ( 1)л — + азаз (аз Р откуда е, (а) = — — !! + †! + о ! †), что дает третье приближеаие тзаз 6 ~ (а) для зл.' ( — Вл-' 1 1" ( — 1)" '! ал пн+ — —. !Ь1+ — З!+ о( — ). па ,тзаз ( 6 1 Наш процесс можно продолжать неограниченно, н так как погрешность при- ближений является малой высшего порядка относительно последнего сохра- няемого члена, мы получаем асимптотическое разложение з .
Ю Ряд ~! слил(г) мы называем асижаготическиж разлохсениелз л=е функции )(г), 1(г) ~~'., с„)з„ (г), л=е если л л !ы — )елы~ л ! 0,1,2,...). (1п ,.+ ч (а) ( В качестве примера такого более общего разложения рассмотрим разложение для больших х решения дифференцнального уравнения у" + ~1 — -',, ) д = О, (18) В заключение отметим, что ряды вида (1) по целым отрицательным степеням аргумента являются простейшим, но не всегда наиболее удобным средством асимптотического приближения. Обобщая понятие асимптотического разложения, мы выбираем вместо 1/гл для сравнения произвольную последовательность функций с„(г), удовлетворяющую'условию Ол+ () (14) ч. (з) а для приближения — произвольную последовательность рл(г), такую, что (15) 476 ГЛ. У.
ПРИЛОЖЕГ!ИЯ ТЕОРИИ ФУНКГИ(И К АНАЛИЗУ (та Чтобы получить представление решения, запишем уравнение в виде у +у=а — з и, считая правую часть известной, воспользуемся формулой Коши из курса дифференциальных уравнений: к у (х) = А соз (х — а) + а ~ з(п (х — !) —, Г(!. у (!) И (!9) к М! (! Л (+ ( а ( М! ~ —., <(А (+ ) а( М! —, Г о(! 1 '.) ! хо «о откуда М, < и наше утверждение доказано (число хо можно счи- (А! )а) 1 —— хо тать положительным и сколь угодно большим).
Таким образом, интеграл (19) сходится иа бесконечности и, следовательно, в (19) можно принять хо= оо. В качестве первого приближения примем у (х) = А соз (х — а) + о (1); полагая у (х) = Асов(х — а) + е, (х) и подставляя это в (19), найдем: х к о(( !1) аА Г е, (х) =аА ) з!п(х — В сов (! — а) — + о ~ — ) = — ) (ып (х — а) + !з ),х) 2,) о(! 7 1! аА I! !о! + з!п (х — 2(+ а)) — +о( — ) = — — з!п (х — а) + о ~ — ) ). И (х) 2к х Мы получаем второе приближение: у (х) = А соз (х — а) — — з(п (х — а) + о ~ — ) . аА /11 2х х Вводя новую поправку а, (х), находим из (19): х к оА Ж о'А Г Ж ез(х) = — ) ебп (х — 2(+ а) — — — ~ ып(к — !) з!и (! — а) — + 2,) И 2 .) гз (11 оЛ а'А /1! + о — ) = — соз (х — а) — — соз (х — а) + о ( — ) ~ х') 4к' йк' ~") «(! /11 ') Интеграл ) тбп(х — 2(+а) — о ( — ), в чем можно убедиться гз ~х) интегрированием по частям.
Из этого представления видно. что у (х) ограничена при х-ь оо. В самом деле, обозначим через М,= !пах )у(к)(; тогда из (!9) получаем: х,<к<к, $ 3 методы Аснмптотичьских Оценоь; 477 первый интеграл мы преобразуем интегрированием по частям, второа — по ( г' 1) формуле тригонометрии; остающиеся интегралы нходят в величину о (1 — 1). Таким образом, мы получаем третье приближение: аА, пА ! о! Г1) у (х)=А соз (х — а) —,з(п (х — а)+ ! 1 — — ) соз (х — а) + о ~ — !. (20) 2х 4х' 1 2) ~ х' /' 1!ашп приближения можно уточнять неограниченно. Получаемое разло. жение является аснмптотическич в обобщенном смысле, причем здесь соз (х — а + пп(2) ! Рп (х) = х» 4» (х) = 77.
Метод перевала. Этот метод применяется для оценки при больших значениях положительного параметра ). контурных интегралов вида Р Р,) = ~ р (г) ем ! 1с(г, (1) с где !'(г) и гр(з) — функции, аналитические вдоль линии интегрирования С, Интегралами вида (1) представляются многие специальные функции, решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частнымм производными; такие интегралы встречаются при решении различных задач физики. Этим объясняется важное место, которое занимает метод перевала в приложениях теории функций комплексного переменного.
Мы начнем с изложения частного случая, который восходит еще к Лапласу и относится к действительным интегралам вида ь Р().) = ~ гр (!) ех( '" д!. а (2) Идея метода Лапласа весьма проста. Предположим, что )(() имеет на отрезке (а, Ь) один резко выраженный лзаксимум. Чем больше значение параметра Л, тем резче выражается этот максимум, и поэтому ясно, что при больших ). основной вклад в значение интеграла дает окрестность точки максимума.
Используем эту идею при доказательстве леммы, которая лежит в основе метода. Л е м м а. Пусть дан интеграл р(!) =!Р(со+с!(+ ... +с„!" +...), (3 > — 1, (4) а Р (л) = )Г ф (!) е х!"Ж (О с. а ( оо, а > 0)„(3) о где функция гр(!) при (!) м., 2Ь представляется сходяи!имея ря- дом 478 гл. у. ИРиложения теОРии Фу!3кпии к А3!Ализу а! где à — гамма-фрнкция Эйлера. Для доказательства заметим, что при Л ) Ло а и А3а ~~ Р, А,11,а ~ ( (!)( ! !ад л л = О (е-1'-'1л') = О (е-Ала) поэтому Р(Л) = )Г 3р(!) е л" д(+ 0(е-А"'), Так как величина 0(е-"ла) при Л- оо много меньше любой степени Л-а(п ) О), то в соответствии с идеей Лапласа на асимптотическое разложение влияет лишь часть (О,й) отрезка интегрирования, примыкаюшая к точке максимума.
В выделенной части интеграла мы делаем подстановку ЛТа = т, а затем, поль- а-! зУЯсь тем, что пРИ 333~ й имеем 3Р(!) = ~о слт + 0(! + ) и л-о что для любых р~ )О и с ) О а то-1е-т дт а.. ~ то-1е-! дт — Г (р) о о находим: л а ! ~( .-1-- Ч3(!)е л! а! ~ Зри ) ~т Л ае 'т'а Ил) 1 о о и — 1 ~гг а+о+, 9+а+1) а 2л (б) Заметим, наконец, что лла л ( — — 3,а! т' 'е ' 3(т = Г (р) + 0 !е а пРичем )' ( 3Р (!) ! е А"а г(! а М длЯ некотоРого Ло. Тогда имеет о место асимптотическое разложение Р(Л)-')' — '„" Г("+" +!) Л а=о тп $3.
методы лспмптотических Оценок 479 ибо для любого с > О, полагая т= а+ с, имеем: аа ~ тл 'е "дт=е ' ~ (а+ с)л |е 'йа < С ю а / аз <е ' ~ (2с)л 'е ~да+~(2а)л 'е айою=е а(Ас~+В~=О(е '). ю ю Поэтому, учитывая е/це, что 0(е-х') = 0(Л ") для любых фиксированных е > 0 и п > О, мы можем переписать (6) в виде ь ю Л а а по определению и. 76 это и доказывает справедливость аснмптотического разложения (6). К доказанной лемме сводится оценка интеграла (2). Имеет место Теорема !. Пусть интеграл (2) абсолютно сходится для некоторого Л = Лю, т.
е. ь ~ ) ф (() ) е~ я/ юп й/ е" я, а и /(/) достигает своего наибольшего значения во внутренней точке /ю отрезка (а, //), в окрестности ) 1 — /ю) ( 6 которой /(/) представляется рядом 1(/)=1(/ю)+аю(à — Гю)'+ . +а„(à — /ю) +... (а <0), (6) причем существует и 0 такое, что вне этой окрестности /(/ю) — /'(/) > й, Пусть еще функ/4ия Г = ф(т) определяется в окрестности точки т = 0 из уравнения /(Сю) — )(/) = т', причем в этой окрестности ф(ф(т)) ф'(т) = ~ с„с",. (9) Тогда интеграл (2) имеет асимптотическое разложение Ь Р(Л)= ~ ф(/)ем<//й/ ем "и ()// —" ~ — '„" „, (10) Лл лл Заметим прежде всего, что, как и в лемме, асимптотическое разложение г(Л) определяется окрестностью точки макси- 480 ГЛ.
У. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К ЛНАЛИЗУ (77 мума рш В самом деле, в соответствии с условиями теоремы 7,-б гв — б )(()Е-! И!в,! — (Гн)ав( — ~ ф(()Е-4И!гв!-7И7)Е-(7-Ьв7И!ва-!ГО(С(( ( в а ь .-,— Ьв(го!Е-!Ь-Ьв)Ь ] ], (() ]Езчмо,(( О (,— ЗЛ) а и аналогично оценивается интеграл по отрезку (го+8, Ь). В оставшейся окрестности (з~ — й, го+ 6) полагаем ) (го) — ~ (~) = с' и на основании (8) находим: т'= — аз(! — го)з — аз(! — 7о)з — ..., откуда т= (( — (о) ]/ — аз — аз (! — (о) — ...; разлагая корень по формуле Тейлора, получаем ряд т= ~й а'„(! — во)".
В окрести=! ности точки т=О этот ряд можно обратить (см, п. 70), и мы получим (= вр(т) =( + ~ с'„те е). =1 Пользуясь сказанным, мы делаем замену ) ((о) — (" (() = т' в интеграле !в+о / (() Е-Ь(7!7в)-)Ива(( — ~ гр [!]7(т)] Зр'(т) Š— гв' С(т !.-о затем замечаем, что с принятой степенью точности можно считать Ь' = 6" = 6! **) и, обозначая для простоты письма ф(вр(тН вр (т) = вр! (т), получаем: б, о о, ~ вр, (т)е зиг(т= ~ ф, (т)е-!' 'а1т ] ]г вр (т) е -б, -б, о = ) (ф! ( — т)+вр, (т)] е — ьтв,(т о (в первом интеграле мы заменили т на — т), ! / 2 *) Отметим, что с, = ], — — и, следовательно, в раз)' — взз ] Еч Оо) в,' 2 Лежсини (9) СВОбОЛПЫй ЧЛЕН СΠ— — Вр((О) С! = Вр((О) О7в — „.
ЭТИЫ ЗаМЕ- ) (го) чанием !вы воспользуемся в дальневшем. *') погрешность включается в член 0(е ). 4 а метОды Асимптотических ОценОк 77! Теперь мы можем применить лемму, в которой для нашего случая р = О и я = 2. Так как на основании (9) имеем: ф! ( — Т) + ~р! (Т) = 2 ~", сг„т'", л=ь то лемма дает ь е е!!А! ~-! и! г„ р(Р)= ~,(!) е гв!,й-— л2л х« (П) ь=ь В качестве примера применения метода Лапласа рассмотрим вывод асимптотической формулы для гамма-функции Эйлера Г (!. + 1) = ( х~е-"йх. о Полагая х = йг, получаем: (!!+1) !л+! (!А -мс(! )А4! -л ( -А77-7-!А77й! (12) ь о К интегралу в последней форме применима теорема 1, в которой 7р(!) = — 1 и !(1) = — (! — 1 — !и !) достигает наибольшего ь ! 7р (!) е ~>!и 7-ги7! Ж )~~ с,„Г (и + — ) Х ь А=О Остается воспользоваться тем, что Г(п+ — ) = „(зту ! ! (277)! У и 2 ) 4"77! формулу мы докажем в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
