М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Л4ы получим: а+~ = —.,'г '~т (г)йг= — ) Р(р)йр ) еы-оа'йг= а+ю — — йр, (14) нбо в силу того, что йе(р — ра) ='О и 1) О, внутренний инте! грал сходится и равен — . Далее, в силу условий тео- Р Ро ромы на дуге окружности Ся.. ~ р) = й, йе р а, имеем воз гл. гь опеахционнын мгтод н нго пгпложсппя !79 воз $1. ОснОВные понятс!я и методы снах (г(р)( = а» - О при )с' — оо, следовательно, Р(р) а с с„ и этот интеграл стремится к нулю при ст — оо.
Отсюда следует, что прямую интегрирования в (14) можно заменить замкнутым контуром С», составленным из С» и отрезка (а+1(с, а — с(с), проходимого сверху вниз: е с( (() с(1= ~ . ~ Р (Р) с(р з»с а р — р, о он (мы освобождаемся от знака « — ъ в формуле (14), меняя направление обхода прямой). Но внутри контура О» аналитическая функция — имеет лишь одну особую точку р = ро— Р (Р) Р Ро полюс первого порядка с вычетом с(ро); следовательно.
е р с ~ ( ( ) ~ ~ ( р ) о что и требовалось доказать. Заметим теперь, что при 1 ( О по лемме джордана я+ " е' Р (р) с(р=О; РС я следовательно, прямую интегрирования в формуле (11) можно заменить тем же контуром С», что и выше. Мы получим прн (< О $ (с) = —, ~ енсом (р) с(р = О, ся ибо подинтегральная функция аналитична внутри С», так что условие 2' для оригинала выполняется. Далее, из (11) М ! И) ) ~ —,„е" ~ ( р (а + 1о)! ао = Ме". ОО так что н условие 3' также выполняется. На проверке условия 1' мы не будем останавливаться. 504 Гл !'!. Операиионныи метОд и вго прилОжгния 188 80.
Свойства преобразования Лапласа. Мы приведем здесь ряд простых предложений, составляющих аппарат операционного метода. Прежде всего отметим два простых примера преобразования Лапласа *) ! =', ерс= ! с . ! (1) РР— Рв которые получаются непосредственно из его определения (формула (2) предыдущего пункта). Далее мы всюду будем обозначать через !(!), д(!), ... оригиналы и через Р(р), 6(р), ...— их изображения: Р(р) Х ((1) е Рссс(! Сс(р)= )! 8(1) с Рсс(1 о о Непосредственно из свойств интегралов получаем: 1.
Свойство линейности. Для любых (колсплексных) постоянных а и !) ау(1) + рйс(1) =.' ар(р) + ~30(р). (2) На основании этого свойства, например, сразу получаем из формул (1) соотношения р.ас а-сос 1 ) ос э)п шŠ— ',, —.' — ( (3) 2с' ' 21 ! р — 1то р+сюс рс+ в!с ' Аналогично, П. Т е о р е м а п о д о б и я. Для любого постоянного а ) О ! (а1) =.' — Р ~ — ) .
(5) В самом деле, полагая ау =т, имеем: р ! (а1) =,' ) 1(а1) е Рсй= — ~ !(Т) е " аст= — Е(Р). о о П1. Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е о р и г и н а л а. Если функция )(1) непрерывна при 1 > 0 и )'(1) или вообще !1"'(1) является оригиналом, то ! (1) †.
рР (р) — ~(О), (б) или 11"с(1) =.' р"Р(р) — р"-1! (О) — р"--'Г (0) — ... — )1"-')(О), (7) где под )<8'(О) понимается правое предельное значение !!Пт 118! (1). сьч-о ") Здесь ! и ев' по вашему условию обозначают соотвстствснно Ч(1) н р,с ар«п (1) 4 !. Ос!Еовные понятия и методы вз! 505 В самом деле, переходя к изображениям и интегрируя го частям, получаем: О г (() ° [ гг(г) е-и г(1 — [!(1) е-лг) ( о '[ г(!) е-лг ! о о В силу того, что Рер= з > з„имеем (! (1)е-г'!(Ме!'-'!' и подстановка у=со в первый член дает нуль, подстановка же г'=0 дает, очевидно, — )(О)*); второй член равен рГ(р), и формула (6) доказана.
Применив формулу (6) дважды, получим: [м (!) = У'(1)Г =.' р [рР (р) — [(О)) — Г (О) = рзР (р) — р[(0) — )'(О) и т. д. В частности, если 1(0) = О, то Г(1) =.' рР(р) (8) и дифференцирование оригинала сводится к унножению на р его изображения (ср. введение к этой главе). Двойственным *") к свойству 1П является свойство 1ьг. Дифференцирование и з о б р а ж е н и я. Дифференцирование изображения сводится к умножениго на — Г оригинала, или вообще Рм'(р) =.' ( — 1)" 1"!' (1). (9) В самом деле, так как Р(р) является в полуплоскости Кер) зо аналитической функцией, то ее можно дифференцировать **") по р, н мы получим: Ю Р' (р) = — [ 11 (!) е (1О) Рг (р) — [ уз!(1)е-лгд( Р! !(з) ( 1) ~ 1 г(!)е-лгсг( о о что равносильно формуле (9).
В качестве примера применения свойства 1тт отметим, что из соотнопгений (1) вытекает: (11) (и — р) ') Очевидно, под !'(0) следует понимать правое предельное значение, левое всегда равно нулю. "") См, примечание к стр. 496. "*') Возможность дифференцировании под знаком интеграла вытекает из того, что все интегралы (!0) сходятся равномерно относительно и в л!обои полуплоскости йер) а > з;, можно такзке использовать теорему Вейгерштрзсса п.
16. а нз формул (3), (4): зягг „г г Гз!Ига(=.' . г р г, ГСОзгггг=.' —,г+ гр г \Р + игр Ч. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р ~ !" (!) Шел о (13) (ср. введение к этой главе) Прежде всего, легко проверить, что функция а (1)= ) )(1) дт о вместе с !(1) является оригиналом, т.
е. удовлетворяет условиям !', 2',,3' п. 79. Тогда в силу формулы (8) (она применима, ибо д(0) = О) имеем: 1(г) = а'(!) - ' Рсг(Р) Таким образом, для изображения 1(1) имеем г"(р) = рб(р), от- куда гр(р) = —. я (р! р что и требуется. Двойственным к свойству Ч является свойство Ч1. Интегрирование изображения. Если интеграл ) Е(р) др сходится, то он служит изображением функции !(1У1: —,=.- ~ Р(р)др, 1 (!) (14) (интегрирование изображения равносильно делению на 1 оригинала) .
В самом деле, имеем: Е(р) др= ) с(р ) !'(1) е р'й!. р р О Предполагая, что путь интегрирования (р, со) весь лежит в полуплоскости Кер~ а) зм получим оценку внутреннего инте- грала ! Ю ,-рг лг ~ М ~ е-~о-рг)гагр о о зеа Гл. гч. ОпеРАциОнный метОд и его прилОжения !80 й с. основнын понятия и методы 507 801 из которой ясна его равномерная сходнмость относительно р„ Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования: О ) О ~ Р(р) с(р= ~ 1(1) сус ~ е Рсфср = ~ — е Р'Й. р о р а Полученное равенство равносильно формуле (14) *).
При мер 1. Имеем (см. (1)): ьс ес р — Ь р — а' Пользуясь свойством Ч1, получаем: О р (!5) При мер 2. Из форчулм (3), применяя свойство Ч1, найдем: ) мпс . Г лр п 3 !+р' 2 — — агс1И р агсс12 р. р Применяя свойство Ч, найдем изображение интегрального синуса с Г зшг атос!яр з! с= ) — вснп — — ° ! ' р в (16) ЧИ. Теорема за п авды в а н и я. Для любого положительного т 1 (1 — т) =.' е Рту (р) (17) )(1 т) ° ~ Г(т т)е-рс с(с = ~ Г(ес) е-рсс~+тс сУ е ртр(р) т и что и требовалось доказать.
*) Заметим, что яз нашего рассуждения следует стоданость интеграла — е Р с)С. 10) -с с о (включение оригинала с запаздьсванием на т (рис. 177) равносильно умножению изображения на е-и'). Так как )(1 — т) = О при 1( т, то, делая замену переменных 1 — т = гс, получим: 508 гл. тп опвпационныи мвтод и нго приложения ио Теорему, в частности удобно применять при отыскании изображений функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями. о г гг зг «х Рве, 178. Рис.
177. П р и и е р !. 11айдеи изображенве ступенчатой функдии, графвк которой изображен на рас. !78. Имеем, очевидно, 1 (!) = А (ч (О + ч (1 — т) + ч (г — 2т) + ° .): следовательно, по теореме запаздывания 1(Г) им А! — + — е гт+ — е "" + ...~. 1 Р Р Р Справа мы имеем сходяптуюся геометрическую прогрессию, ибо! е Рт)= = е зт (1, поэтому у)) с ) (П =,' — = — ( 1 + с( — ) . (18) .А 1 А I ртт игу \ р 1 — ел~ 2Р(, ° )' П р н м е р 2.
Периодический прямоугольный импульс д (Г), график которого изображен на рис 179, можно записать в виде я (1) еа А (т) (1) — 20 (1 — т) + 2Ч (à — 2т)— следовательно, по теореме запаздывания -А7 1! 2 — т 2 у (1) =.' Ас — — — е Рт+ — е Р Рис. 179. = — ~! — 2 ) = — !)т —. (19) Рт !+епт) Р 2 Периодический треугольный импульс и (1), график которого изображен пунктиром на рис. 179, равен ) д (!) ой следовательно, по свойству 17 о Ь (1) гм — !)з —.
А Рт р' 2 (20) Двойственной к теореме запаздывания является 'тг!11. Т е о р е м а с м е щ е н и я. г(ля л юбого комплексного р, ели) (!) =.' и (р — р„) (2! ) («смещениеь изображения на ро равносильно умножению оригинала на еа'). оп 509 Имеем: ео~ю~ (1) — ' ~ 1(Е) е-[Р-Р~!! Ж вЂ” Р (р ро) о что и требовалось доказать.
Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на экспоненту, например: р+Л (р+Л)'+ ' ' ' 'о'" . (р+!)'+ ' ' (22) е 1о =.' (р+ л) 81. Теоремы умножения. Особое место в операш!овном методе занимают предложения, выражаю!1ще связь между оригиналами и изображениями произведения 'ЩЪкций. 1Х. Теорема умножения (Э. Бар ель). Произведе- ние двук изображений г(р) и б(р) также является изображением, причем Р (р) 6 ( ) =.' ~ ! (т) й (1 — т) й . (1) о В самом деле, интеграл в правой части формулы (1) является оригиналом: свойства !' и 2' очевидны, а для доказательства 3' заметим, что если взять число зо равным наибольшему из показателей роста 1(1) и д(1), то 1(г) д(т — т) а!т < М ) сотен(!-о!ат о о с = М(ем!. Рис.
!00. Отсюда и следует, что интеграл (1) не превосходит некоторой константы, умноженной на е<н+м', тле е сколь угодно малое положительное число. Рассмотрим теперь изображение интеграла (1): )г ) (т) д (1 — т) с(т =.' )г е р' Ж ~ ! (т) д (1 — т) йт.
о о Справа здесь стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор 5 плоскости (1,т) (рис. 180), нбо при фиксированном Г интегрирование по т ведется в пределах от 0 до т=1, а затем изменяется от 0 до оо. Так как при Ке р ) зо этот двукратный В)О Гл. те ОпеРАшюниыи метод и его ппилОакения 181 интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования*), и мы получим (заменяя еше ! на 7, = = ! — т): О )г ! (т) и (! — т) г(т =.' )! ) (т) агт ~ е Р'д (! — т) ж = = )Г ! (т) е г" г(т )Г а (1,) е-Рй г)!г = г (р) 6 (р), о о что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
