М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 97
Текст из файла (страница 97)
!Я, т)о !(<р ся -а Так как здесь а+гр меняется между О и а, то соз(а+гр) остается ббльшим положительной постоянной. Следовательно, интеграл вдоль Ся стремится к нулю при )(! — Оо. Учитывая еще, что между. Т. и действительной осью плоскости д нет особых точек подынтегральной функции, мы можем заменить интеграл вдоль Л интегралом по пологкителю!Ой полуоси. Обозначая переменную интегрирования снова через 1, получим: Г (е+ 1) а -р! =)1е й. аэ! о При а ) О функция р(1) = 1' (умноженная на т)(1)) является оригиналом; следовательно, последнее уравнение эквивалентно операторному соотношению Г (а+ 1) а-~- ! (4) Полученная формула распространяет соотношение (11) и.
80 на произвольные положительные степени (при а = и — целом неотрицательном Г(а+ 1) = и!), При — ! ( а ( О функция 1' неограниченно возрас~ае~ при 1- О и поэтому не удовлетворяет условиям, наложенных! на оригиналы, Однако для таких значений а интеграл в правой 524 ГЛ. Ч1.
ОПЕРАИИО!П)ЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !зз и отсюда по теореме об ннтегрировавии оригинала 1'ас 1 1 . Г ат ~И 1 2 Г „~ ! ем е ар==== ) е " с(х==ег!(1гас) (8) )сР+а р) Уит )га 1 л в) Уа (мы положила ат = х'). Окончательно, 1р+а 1 щ И = е а + 1га ег((~ ас). Упс (9) Наконец, нз формулы (8) п. 82 с помощью теоремы подобии получасы: ур (((!() =. 1 )с'с,с ()с ' Бесселева функция Ур (И) от чисто мнимого аргумента обозначается специальным символом!р(С); пользуясь этим обозначением и подставляя в последней формуле р+ а вместо р, по теореме смещения находим: =:е ~'Ур ((!!). (10) (р+ а)е — (Р 4) Изображения внтегралов Френеля.
По определение этих интегралов имеем (см. п. 73, пример б); с соз С с(! ( з!п ! с(С и '!с е' 1 2пс р)' 2(р — с) Аналогично найдем." с и с(~ 1 ~ е 1' 2ис р 1' 2 (р -1- с) по свойству линейности отсюда сразу получаем; с(с) —. ( + ' ) — ' ~г) Р +!+Р (!П 2рУ2 (,3'р+с Рр — !! 2р 1~рс+1 с Рассмотрим вместо ннх интеграл ) е . По формуле (5) н теореме о 1' 2и! и 1 . 1 смещения имеем ес =Ф а отсюда по теореме об иптегрпУ2ст( У2 (р — с) рованпи оригинала % !. Осыопыып 635 5) Из теоремы подобия, которую можно переписать в виде Р (ар) = з! — Г ( — ! е Р ~й, а (,а) о внтсгрнрованием по а от О до 1 получаем: ! Р (ар) г(а = ~ е Р Л ~ Г ( — )— о о з (мы предполагаем, что можно изменить порядок интегрирования). Это равенство означает, что ! ~ Г ~ — ~ — Ф ~ Р (ар) о'а.
о е Введем в левом яктеграле новос переменное т= —, а в правом — о=ар; а получим: р — бт=.— ~" (С) й. Г р,) г о (13) С!1= — Г Г созе,1 Г дбс 1 1 дт ен — ) — = — 1п (14) Р З 1+д' р ре+1 о 1 из формулы е —.— ' ! получаем; р+1 е т ! Г г(Е 1 Г «л р+! р о (16) 1 (см. (6) п. 76); из формулы ус (!) =.' У!+«' б)=,— ~ ус(!) . ! !!Р = — 1п (р + У 1 + р ). р„~ У!+' (16) Все оригиналы в формулах (14) — (16) особые, ибо при Г -> О интегралы в левой части расходятся. Прнведем несколько примеров применения форллулы (13), Прежде всего из формулы созг —., получаем изображение ннтегрзльпого косинуса рз + (см. п.
70): Зал! е чан и е. Из теорем об интегрировании оригиналов и иэображений следует: — ат — ) Р(Ч) Фд. ) (.) т Р Складывая это с (!3), будем иметь: Π— от = — ) Р(д) «й. 1(т) 1 ! т Р о о Интегралы в левой и правой частях последнего соотношения постоянные, , В следовательно, это соотношение имеет вид: А=,' —. Сравнивая его с соот- 1 Р ношением ! гы —, по теореме единственности преобразования Лапласа за- Р ключаем, что А = В.
Таким образом, мы приходим к соотношению Ю вЂ” ат = ) Р(д) «д. 1(т) о о (17) 6) П р а в и л о д р о б н ы х п о к а з а т е л е й. Первая теорема разложения п. 82 распространяется и на обобщенные степенные ряды (см. п. 25). Мы ограничимся следующим простым, но важным для практики, случаем. Теор ем а. Пусть Г(р) —.О при р- оо, Кер ( а (а — некоторое положительное число) и не имеет в конечной р-плоскости никаких особенностей, кро.че начала координат р = О, которое является точкой' ветвления конечного порядка.
Тогда, если разложение Г(р) в обобщенный степенной ряд имеет вид р(р)=р«Х сара», а=о (18) где р — рационально и положительно, то оригиналом с(р) служит (умноженный на т) (!)) ряд г(-«-йр) !с» ' (19) в котором вычеркнуты все члены с целыми неотрицательными а+ й8. Рассмотрим замкнутый контур Ся „составленный из отрезка (а — (Ь,а-)-!Ь), дуг Ся н Ся окружности )р1=)(, Мер(а, двубережного разреза !', П вдоль отрезка — )т ( р ( — г и окружности с,: )р) = г (см. рис. 181). 526 гл тк опнглпионнын метод и нго поиложения 1зз З Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ аз) б27 Так как Е(р) аналитична и однозначна внутри этого контура л К' (мы считаем для определенности — — ( агар ( — 1, то по тео- 2 2 реме Коши интеграл вдоль отрезка (а — 1Ь,а-т-1Ь) можно заменить интегралом по остальной части контура.
Так как, кроме того, прн 1) О по лемме Жордана интеграл от Р(р)ен' вдоль Си+Си стремится к нулю при )с- оо, то формулу обращения можно записать в виде )(1)= !Нп' —,, ) Е(р)е" г(р= —, ~ Р(р)емг(р, 1 сй „ сг где С, *— контур, составленный из двубережного разреза — оо( ( р «- — г по отрицательной полуоси р и окружности )р~ = г (без точки р — г). Подставляя в последнюю формулу разложение (18) для Р(р) и интегрируя почленно *), найдем: Введем новое переменное интегрирование 9 = р1; так как 1) О, то эта замена не изменяет вида контура, и мы получаем: 2К ! Р Р 1"-"Ьа+' ) гчьаат' Г( — а — Чр) Сг с„г (см.
ханкелевскос интегральное представление гамма-функции — формула (15) п. 74). Г!одставляя этот результат в предыдушую формулу, мы и найдем искомое разложение (19) Если а + кр — целое неотрицательное число, то интеграл от ро ььреп' вдоль С; равен нулю, следовательно, нз нашего разложения нужно вычеркнуть все члены с такими х+ й(! е*). 3 ам еч а н ие.
Так же как и в первой теореме разложения, ряд (19) формально получается почленным применением к ряду (18) формулы изображения степеней 1 а— Г (- и) гат~ . *) Строго говоря, для Возможности почлепного интегрнропания ряда вдоль б е с к о н с ч н о й прямой требуются дополнительные условия достаточно, например, потребовать сходимости интеграла вдоль С' от суммы ряда ,г,' )с !)р! р (см. Ватсон !7! из литературы к гл. Ч[1, стр. 727).
а=о **) Это следует также нз того, что целая функция 1/Г(а) нмеет нули н точках а = О, — 1, — 2,... (см. гл. Н11, п. 89). Однако эта формула была доказана только для отрицательных а, для а - 0 она имеет условный характер. Кроме того, заметим, что сумма ряда (19), вообцге говоря, не удовлетворяет условиго 3' н, следовательно, является особым оригиналом.
Пример. Пусть Р (р) = — е 1 Ув и-и =Ф~ зя т! Зи Положим р= реве, ! — 1= 122 е; прн )!е р < О, т. е. —, < ф< —, имеем 2 2' — г — ( 4р Зп) ф Зя Зп )!е т р (!' — 1) = у 24гсоз ! —,+ — ! < О, ибо тогда и< — + — '< —, !2 4! 2 4 2 ' 4! Зл Кроме того, для больших 1ш р н О < )!е р < а будем пьгеть 4р — или — '; 2 2 ' следовзтельио т' р (! — 1) = — Р 2Р илп — 4 )' 2Р.
Из всего етого следует, что Р(р)-ьб, если р-ьоо и )(ер< а, т. е, что Р(р) удовлетворяет условиям привили дробных покезететей. Имеем: вя в 2 34Г! А ! 4 2 е=о Переходя формально к оригиналам и осте А — 1 2 не является пелым числом, т. е. — е 1-' в=о вляя лишь те члены, для которых члены с четным 5=2а, получим 2Я 1 ! в+в Г( — — л) В следующей главе будет показано (см. формулу (19) п. 89), что 1 ! ° 3 ° 5 ... (2а — 1) ( — 1)" ва учитывая зто и подставляя (2л)! 1 ° 3 ° 5 ...
(2а — 1) 2"а4, будем иметы в=о илн етр,—,е!р.11,1,1 соз ! р + ! з!П)/р — ' соз + 4, з4п ! р 1'р )гп( 21 7'пг 21 ' Отсюда =сов — Ф= е сов 1 Р, — мп — ~= е з!п~/ (29) Упг 2! )4 р ' Уй! 2(' 528 гл, ть опврлционныи мгтод и гпо придел!ения (вз основные понятия и мвтоды 529 7) И м пульс н ы е ф у н к ц и и. Если функция г (р) = 1Д7 р уже является особым изображением, то функции Р(р) =1, р, р",..., которые даже не стремятся к пулю прн р- оо, можно считать изображениями лишь в совершенно условном смысле. Эти условные изображения и соответствующие нм оригиналы, так называемые импульсные функции, были введены Д и р а к о и и оказались полезными в ряде прикладных задач, в которых приходится иметь дело г! с величинами, имеющими характер мгновенного толчка. ;„ 7тl Рассмотрим функцию бк (1), график которой изображен н а рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
