М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 100
Текст из файла (страница 100)
По правилу дифференцирования и свойству линейности вместо дифференциального уравнения (1) с начальными данными (2) получаем операторное уравнение (а р" + а р" ' + + а.) Х (р) = Р (р) + хо(аор"-' + а,р"-' + ... ... + а„ ,) + х,(а,р"-2 + а,р"-' + ... + а„ ,) + ... + х„ ,а,, или А (р) Х (р) = Р (р) + В (р), (3) где А(р) и В(р) — известные многочлены. Решая это уравнение, найдем операторное региение: Х( )= л (п) (4 ) 542 ГЛ Ч!.
ОПЕРАПИОННЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ьм Если уравнение (!) при начальных данных (2) допускает решение х(1), удовлетворяющее условиям, наложенным на оригиналы (а можно было бы доказать, что такое решение существует в принятых условиях всегда), то это решение является оригиналом Х (р). Приведем несколько примеров решевия ураввений таким методом. !) х" + а'х = Ь Мп а1, обшне начальные данные. Операторное уравнение аЬ (р'+ аг) Х =, + х,р+ хб его решение"): рг+ а' аб р х! (Р)= (рг! аг)э+ э г+аг+сэг! аг (б) Оригиналы второго и третьего члена есть в таблице. Оригинал первого члена находим по формуле 6 таблицы и по теореме об интегрировании оригинала аЬ,Ь ( . Ь (рэ+ ас)г ' 2,! 2аг Ф вЂ” 1 Мп ас с(1 = — (з!п а1 — ас соз а1); о можно было воспользоваться также теоремой разложения, Окончательно: Ь 1 Мпа1 l Ь11 х (1) = ~х! + — ! — + ! хс — — ) соз а1, 2а ) а ~ 2а ) (6) 2) х"'+ Зх" + Зх'+ х = 1, нулевые начальные данные.
Операторное уравнение: (р+ !)'Х = !/р! его решение: 1 1 1 1 ! (Р) р ( ! !)э , . ! ! (, ! !)г (р !. !)г Оригинал находим по формулам 1 и 11 таблицы: х(1) =1 — е — се — — е -с 2 (7) 3) х"'+ х = 1, нулевые начальные давные. Операторное решение: 1 р (р' + 1) ' Оригинал находим по второй теореме разложения: 1-э, 3;1с э'з 1 х (1) = 1 — — е ' + 2 йе =1 — — е 1 — — е соз —.
3 — 3 3 3 2 (8) *) Имеем Исп РХ =х, в соответствии с начальным условием (см, пре- Р.гэ дельное соотношение (1) п. 83). Аналогичную проверку допускают н другие примеры. 4) х~~+2х +х=з!пс, нулевые начальные данные. Операторное решен иис: 1 Х(р) = (, а4! 4 2. ПРиложниин 843 Оригинал находим как вычет функции Х (р) еа' в особой точке р = гц х(!) =!ге —, Д( ., Д = — (3 — !') 21п! — — 1соз !.
(9) й(р+!) й ! 8 8 б) х" + езх = а (т) (!) — 21 (! — Ь)), нулевые начальные данные. Операторное уравнение находим по теореме запаздывании; его решение: а(1 — и ) ""=.( а+е) . По второй теореме разложении а, а а 2а . е! соз ег = 5!пт —, р (рз + ет) ' гоз ез ез по теореме запаздывания ае и, йа, е(! — Ь) и (рз „+сзз) ° ! 2 з!и 2 т) ( Ь). Окончательно 2а Г т е! ., е(! — Ь) х (!) = — (з3п —,21 (!) — 5!пз е' ! 2 ц (! — Ь)~. (10) График решения изображен на рис. 188. б) Точечная масса т совершает прямолинейные колебании, причем сопротивлением среды мы пренебрегаем, а восстанавливающая сила те'х пропорциональна смешению.
В моменты времени ! =Ьт, Ь =О, 1, 2, ... массе сообщаютсн импульсы величины ц Найти движение частицы, если начальное отклонение н начальная скорость равны нул2о. Уравнение движения имеет вид тх" + те'х = а ~ Ь (1 — Ьт), а=з где Ь (!) — импульсная функция. Решение операторного уравнении Х(р)= —,, у е а 1 Ъч атр т р +е~~ а 1 т (р +ез)(1 — е та) Рис. 185. удовлетворяет условиям второй теоремы разложении. Согласно этой теореме оригинал представляет собой сумму нычетов функции Х (р) еа! во всех ее 2йп! полюсах: р = О, р = гс !е и р = — (Ь = 1, 2, ...). Если т не является т 2п целым кратным т, = —, что мы н предположим, то все пол!осы простые, и, найдя вычеты, мы получим окончательно: а го х (1) = — — — созе 1+ — —, соз!г — е! .
(11) те т 2 з1п — ет 2 т' — Ь'т,- т 2 Гл. ог. ОпеРАционнын метод и его приложенИЕ !34 Отх!етим особо роль интеграла Дюамеля п. 81. Пусть требуется решить линейнос дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами ~ (х) = Г (!) (12) прн н у л е в ы х начальных условиях.
Если известно решение х1(1) уравнения Е(х) =1 1!8) с той же левой частью и правой частью 1, также прн нулевых начальных условиях, то интеграл Дюамеля позволяет написать решение уравнения (12) без всяких вычислений. В самом деле, операторные уравнения, соогветстпукицпе уравнениям (12) и (13), имеют вид л(р) х(р) =р(р), л(р) х,(р) = — ', где гс(р) — изображение )(!), откуда х (р) = рх, (р) р (р).
Таким образом, согласно формуле Дюамеля, х(!) = ) ! (т) х1 (! — т) г(т о (14) (мы учитываем, что х1(0) = 0 согласно начальным условиям), нли 2 х (1) = х, (!) 1'(О) + ) х, (т) 7' (! — т) г(т. (15) о Прим е р. Уравнение х — а х=ае, нулевые начальные условия.
а 2 Р Сначала решаем уравнение л" — аех=! прв тек же условиях 1 ! Х1=, = — ) з!2 аГ 211 = —, (с)!а! — 1) р(рз — аг) ' а,) аз о к(1) = — ) е з!1а (à — т) ат, ь Г а о которое после простых преобразований выражается через функцию егй х(Г) = — е ' 1 е ег!11+ — ) — е ег! (à — —,) — 2ег11-1с)гаГ~. (!6) га! (мы воспользовались формулой !О таблицы и теоремой об интегрировании оригинала). По формуле (14) накопим искомое решение В41 4 я.
пигложения 345 Совершенно аналогично применяется операционный метод н к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть, например, нужно решить систему и дифференциальных уравнений второго порядка я в А = ~ (п,а — „„, + (г,ь — + с,ьха) =),(!) (тг= 1, 2... „п) (17) при заданных начальных условиях г!хь (О) хь(0)=аь, — = бь г!г (18) Если считать хь(!) и );(!) оригиналами и обозначить через Хь(р) и ге(р) их изображения, то система (17) с начальными условиями (18) заменится операторной системой г| ~~'.~ (а врт -1- Ь ар + сть) Ха (р) = ь=! = г", (р) + хл На,ар + (гть) аь + ать()ь1 (19) 1) Решить систему (2х" — х' + 9х) — (у" + у'+ зу) = О, (2х" + х'+ 7х) — !у" — у'+ бу) = 0 при иачальиык условиях х (0) = х'(0) = 1, у (0) = у' (О) = О.
к операторной системе (2р' — р + 9) Х вЂ” (р' + р + 3) У = 2р + 1, (2р'+ р + 7) Х вЂ” (р' — р + 5) У = 2р + 3 Переходим н для упрощенна берем сумму и разность ее уравыений 2Х вЂ” У = 2 , Х + У = р+1 ! ° р'+4' р — 1 ° Отсюда 1 ! 2 р 2 1 Х= — — + — — + — —, ар — 1 ар+4 3 р+4' 2 ! 2 р 2 ! зр — ! ар+4 3 р+4' Переходя к оригиналам, находим окончательно; у = — (2ег — 2 соа 2! — Ми 2!). (20) 1 3 х — (е + 2 сов 2! + Мп 2!), 1 3 Решая ее как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем Хь(р), а затем н их оригиналы хг,(!). Приведем несколько примеров. 846 ГЛ. Ч!. ОПЕРА!!ИОГП!ЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !а! 2) Система х" — х+у+г О, х+у у+а=О, х+у+г" — г=О, начальные условия х(0) =1, у(0) г(0) =х'(0) у'(0) г'(0) =О.
Операторная система имеет внд (Р'- !) Х+У+Х=Р, Х + (Р' — !) У + Х = О, Х+ У + (р — П Х = О. Ее решение легко получить с помощью определителей (Р» + 1) (Рз — 2) ' (Р» + 1)(р' — 2) По второй теореме разложения находим оригиналы х — сЬ (1)' 2) + — соз 1, у г = — — сЬ (1)' 2 ) + —, соз !. (2!) 2 — 1 1 1 3 3 ' 3 3 3) Система уравнений I г ха — ахо, ха+ах» — — ах» ! (й 1, 2,..., «) при начальных данных х»(0) 1, х, (0) ... х„(0) =О.
Операторная система имеет внд! (р+ а) Ха=! (р+ а) Х» «Х, =О, откуда аг (а=о, 1, 2...., «). (Р+ а) +' Оригиналы находим по формуле 3 таблицы х (!) — (а!) е а!. й! (22) а) Три одинаковые точечные массы !«закреплены на ртруие так, что расстояния между ними и расстояния от крайних масс до закрепленных концов струны равны 1. В начальный момент все массы находятся в положении равновесия, причем средней массе сообщается импульс п». Найти движение системы. Дифференциальные уравнения движения системы проще всего найти с помощью уравнений Лагранжа, которые для малых свободных колебаний име!от вид (см. [8)): где Т вЂ” кинетическан, П вЂ” потенциальная зпергия системы, 4)» — обобщенные координаты, и точка означает дифференцирование по времени.
аз> 4 2. ЛРИЛОЖЕНИЯ 547 В нашем случае, если обозначить хг(Г), хг(0, хз(0 отялонения масс от положения равновеспя, будезг иметь; Т = — (хг + хг+ хат), П = — (хг + хг+ ха — хзхг — хгхг), гп .2 ,2 , Р 2 2 2 2 3 ( где Р— натяжение струны. Следовательно, уравнения движения имегот вид х, + Л (2х, — хг) = О, хг+ Л (2хг — хг — хз) = О, Хз+ Л (2хз — хг) =0 Реппзв эту систему, найдем: рз+ 2Л (рг + 2Л)' — 2Л' Л Хз =Хо = ( г ( 2>„)г 2Лг о.
Прил>енин вторую теорему рааложення, получаем; ио г 5(П Юг( 5!Пм ( т х,(0=,(0= — ( — — —." ), 2Р> ( ыг хг(0 — — ( + ) где ьп = )г (2+ )' 2 ) л, ыг = )г (2 — )' 2 ) л. (23) Операционный метод может оказаться полезным и при решет нин некоторых линейных дифференциальных уравнений с пере- меннымп коэффициентами. Пусть х(() ма Х(р); по теоремам о дифференцировании оригиналов и изображений имеем: х=.' Х, гх=.' — Х', ггх=.' Х", ..., х'=.' рХ вЂ” х(0), )х'=,' — (рХ)', (гх'=,' (рХ)", ..., (24) х"=.' р'Х вЂ” х(0) р — х'(О), )хгг =,' — (р'Х)'+ х(0), (гхгг =.'(р'Х)", и т.
д, Переход к изображениям позволяет иногда упростить дифференциальные уравнения, содержащие члены подобного инда. П р и зг е р. Лифференшзалыгое уравнение (хо + х' + ох = 0 (25) называется уравнением пилиндричесяих фуняпий с нндеисом 0 (сп. и. 95). По формулан (24) натоднп операторное уравнение (Р' + 1) Х' + РХ = О. Р где Л= —. Учитывая начальные условия х, (0) =хг(0) =х,(0) =хг (0) = т( ' =хз (0) =О, хг(0) = по, получим операторные уравнения (р'+ 2Л) Х, — ЛХ, =О, — ЛХз + (рг+ 2Л) Х вЂ” ЛХз = ио — ЛХ, + (рг+ 2Л) Х, = О. 548 Гл.
Ре ОпеРАциОнньнт метод и его пРилОжения (зз Это уравнение с разделяющимися переменнымв, оио легко решается и дает: С )')+р' где С вЂ” произвольная постоянная. Так как Нш рХ = С, то согласно пре- Р + \ дельному соотношению (1) п. 88 мы должны иметь С = х(0). Положив для определенности х(0) = 1, мы найдем по формуле 28 таблицы, что решением уравнения (25) прн эгон начальном условии служит бесселева функция ') х — У, (1) — ~ —,( — ) (26) 85.
Расчет электрических контуров. Как известно, ток ((() и напряжение и(г) на концах элемента цепи, содержащего активное сопротивление )т, самоиндукцию х. или емкость С, связаны соответственно соотношениями .м-знч, н-с"",,"..и- —,'((на« -~ ). ш (о где Оэ — начальный заряд на обкладках конденсатора. Если ввести изображения 1(1) и и(() — «операторный ток» ((р) и «операторное напряжение» ()(р), то эти соотношения перейдут в следующие: С=В, У=(. Р( —;), (У= — ((+Оо), (2) Последние соотношения объединяются в форме «опериторкого закона Ома» У =лт', (3) где Š— «операторное сопротивление» (его называют также импеданг(ем), которое в случае активного сопротивления, самонндукции и емкости соответственно равно 1 ~.=~р. 2'с= — ° Ср ' (4) ") Точка 1= 0 является особой для дифференциального уравнения (25); этим и объясняется, что операторное уравнение не содержит начальных усло. внй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
